正项级数相关知识点总结

正项级数相关知识点总结
1110810115 马舜
1. 给定一个数列{u n }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u 1+u 2+...u n +……称为
数项级数。

其中u n 为通项。

记作1
n u
∞
=∑n。

若级数
1
n u
∞
=∑n
的各项都是非负的实数，则称其
为正项级数。

2. 正项级数收敛性的判别方法。

（1） 正项级数
1
n u
∞
=∑n
收敛的充要条件是：部分和数列{s n }有界，即存在某正数M ，对一
切自然数n 有S n <M 。

（2） 比较判别法 设u
∑n
和
v
∑n
是两个正项级数，如果存在某正整数N ，对一切n>N
都有u n ≤v n ，那么 1) 若级数
v ∑n
收敛，则级数
u ∑n
也收敛； 2）若级数
u
∑n
发散，则级数
v ∑n
也发散。

（3） 比较判别法的极限形式 设u
∑n
和
v
∑n
是两个正项级数，若lim n →∞
（u n /v n ）=p 则
1）当0<p<+∞时，u ∑n
与
v
∑n
同时收敛或同时发散；
2）当p=0时且级数v
∑n
收敛时，
u
∑n
也收敛；
3）当p=+∞时且
v
∑n
发散时，
u
∑n
也发散。

（4） 比值判别法 设
u
∑n
是正项级数，且存在某个自然数N 0及常数q （0<q<1）。

1) 若对一切n >N 0，不等式（u n+1/u n ）q ≤成立，则级数u ∑n
收敛； 2）若对一切n >N 0，不等式（u n+1/u n ）1≥成立，则级数u
∑n
发散。

（5）比值判别法的极限形式 若u ∑n
是正项级数，若lim n →∞
（u n+1/u n ）=q ，则
1）当q<1时，级数
u
∑n
收敛；
2）当q>1或q=+∞时，级数u
∑n
发散。

（6）根值判别法 设
u
∑n
是正项级数，且存在某个正数N 0及正常数q
1）若对一切n >N 0n ≤q<1成立，则级数
u
∑n
收敛；
2）若对一切n >N 0
n ≥1成立，则级数u
∑n
发散。

（7）根值判别法的极限形式 设u
∑n
是正项级数，且lim n
→∞
=q ，
1）当q<1时，级数u ∑n
收敛； 2）当q>1时，级数
u
∑n
发散。

（8）积分判别法 设()f x 为[1, +∞]上非负递减函数，那么正项级数
()f n ∑与积分
()_a
f x dx +∞
⎰
同时收敛或同时发散。

（9）拉贝判别法 设
u
∑n
是正项级数，且存在某个自然数N 0及常数q ，
1）若对一切n >N 0，不等式1(1(/))1n n n u u q +-≥>成立，则级数u
∑n
收敛；
2) 若对一切n >N 0，不等式1(1(/))1n n n u u +-≤成立，则级数u
∑n
发散。

（10）拉贝判别法的极限形式 设u
∑n
是正项级数，且极限1lim (1(/))n n n n u u q +→∞
-=存
在，则
1）当q<1时，级数u ∑n
发散； 2）当q>1时，级数
u
∑n
收敛；
3）当q=1时，拉贝判别法无法判断。

例题 证明
22
111
0(),ln ln (ln )k n
n k k n n n n +∞
==+→+∞∑. 证明：因为21
()0ln f x x x
=
> （x>1）
，且单调减， 所以
2222111ln ln ln ln n
n k n dx
dx x x k k
n n x x +∞+∞
+∞=≤≤+∑⎰
⎰。

（1） 反复利用分部积分法，
2222231112ln ln (ln )ln (ln )(ln )
n
n n dx dx dx
x x n n x x n n n n x x +∞
+∞+∞=-=-+⎰
⎰⎰ 又233
23
1
10,(ln )(ln )(ln )n
n
dx dx x x n x n n +∞
+∞
≤
≤
=⎰
⎰
所以
223
211
ln ln (ln )(ln )
n n
dx x x n n n n n n θ+∞
=-+⎰
（0<n θ<1） (2) 将（2）式代入（1）得
22
111
0(),ln ln (ln )k n
n k k n n n n +∞
==+→+∞∑.
（判别法（9）（10）为查找资料学习的，如果有错误，希望老师指导。

例题为我找的一道感觉较难的题，望老师多多指教。

）。