抛物线焦点弦的性质探究学案

《抛物线焦点弦的性质探究》学案

【学习目标】

1、通过复习抛物线的定义，对抛物线的焦点弦的探究，体验、感悟知识的生成和发生过程，体会数形结合的思想，理解抛物线焦点弦有关性质，掌握性质的推导过程．

2、通过参与课堂活动，逐步学会发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯．感受探索、合作的乐趣并从中获得成功的体验。

【学习重点与难点】

焦点弦有关性质的探究与证明.

【学习导航】

一、知识点回顾

1、 复习抛物线的定义，并写出抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。

2、 若AB 是过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的弦，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ，则AF = ；BF= ；弦AB=________ （用A ，B 两点的坐标及p 表示）

二、探究问题

已知直线l 过抛物线

)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 探究1:

引例：已知倾斜角为45的直线l 过抛物线26y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB 。

探究：已知倾斜角为α的直线l 过抛物线

)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB

小结1：

探究2:过焦点的所有弦中,何时最短?

小结2： 探究3:从刚才的解题过程中能否发现12x x = ；12y y = ；

小结3：

探究4:

=+BF

AF 11

小结4:

探究5: 引例：已知倾斜角为45的直线过抛物线2

6y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，求证以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

探究：已知直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？以AF 为直径的圆与y 轴的位置关系?

小结5:

探究6: 是否在准线上找一点Q ，使QB QA ⊥，若能，找出Q 点的位置。

小结6:

探究7: 连接F B F A 11,（1A 、1B 分别是A 、B 在准线上的射影）,则F B F A 11,的位置关系是 ；

小结7:

探究8：以焦点弦AB 在准线上的射影11A B 为直径的圆与焦点弦AB 的位置关系？

小结8:

探究9:1,,B O A 这三点的位置关系

小结9:

思考:抛物线的焦点弦还有很多有趣的性质,再举两例,供大家思考,同时也希望大家能自己发现更多的性质:

1、过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作两条互相垂直的弦,,CD AB 则=+CD

AB 11 2、已知AB 是过抛物线

)0(22>=p px y 的焦点F 的弦，AOB ∆的面积是否存在最大值或最小值，为什么？

【学习总结】

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【学习拓展】

1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =

2、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是

3、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AF a BF b ==，Q 为''A B 的中点，则QF = （用,a b 表示）

4、过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，则OA OB ⋅=

5、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则

11p q

+=