考点集训25 圆的弧长和图形面积的计算 浙江《中考面对面》课件PPT
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面最深地方的高度为 6cm，请你求出这个圆形截面的半径 r 及破裂管 道有水部分的截面图的面积 S.
解：(1)如图；
(2)过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交弧 AB 于 C，则 CD＝6cm.∵OC⊥AB， ∴BD＝AD＝12AB，∴BD＝AD＝6 3cm，设半径为 r，则 OD＝(r－ 6)cm，在 Rt△BOD 中，BD2＋OD2＝BO2，∴(6 3)2＋(r－6)2＝r2，解 得 r＝12，∴这个圆形截面的半径为 12cm.又∵设弧长 AB 所对圆心
考点集训25 圆的弧长和图形面积的计算
一、选择题 1．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A) A．20πcm B．10πcm C．10cm D．20cm
【解析】圆心角 120°即32π.弧长＝32π·30＝20πcm
2．已知圆锥的底面半径为 4cm，高为 3cm，则圆锥的侧 面积是( B )
∴劣弧B︵C长为601π8×0 1＝π3.
12．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管 道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有
水部分的截面图(如图)． (1)请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面(不写作法，但应保留
作图痕迹)； (2)维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝12 3cm，水
4．如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序
折叠，使A︵B和B︵C都经过圆心 O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的( B )
1
1
2
3
A.2
B.3
C.3
D.5
【解析】折叠 AC，会发现A︵C也会经过圆心 O, 此时观察图像易 发现阴影部分面积占全圆的13.
5．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与⊙O 交
(2)S 阴影＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50cm2.
(1)求BD的长； (2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝ 6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm.∴OB＝5cm.连接 OD，∵OD ＝ OB ， ∴∠ODB ＝ ∠ABD ＝ 45°.∴∠BOD ＝ 90°.∴BD ＝
OB2＋OD2＝5 2cm
∠D′AC′＝45°.∴∠COC′＝120°－45°－45°＝30°.∠COC′
即为旋转角，而∠DAD′也为旋转角．∴∠D′AD＝30°.∴D︵ D′＝
30° 180°π
×6＝π
.
9．如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形， 则S扇形＝__4__cm2.
【解析】弧长＝8－2－2＝4cm，∴S扇＝×2×4＝4cm2.
径均为6cm，则点D运动的路径长为__π__cm.
解析】设 D 到点 D′C 到 C′，点 B 到点 B′，设圆心为 O.连接
D′O，BO，AC，AC′.易知△AOD′，△AOB 均为等边三角形，∴∠BAD′
＝ 120°.△AD′C′ 与 △ABC 均 为 等 腰 直 角 三)，B(2 3，1)，将△AOB 绕着点 O 逆
时针旋转，使点 A 旋转到点 A′(－2，2 3)的位置，则图中阴影部分的
面积为 34π
．
【解析】由 A 与 A′的坐标易知旋转角度为 90°，由已知条件可得
OA ＝
（2 3）2＋22 ＝ 4 ， OB ＝
（2
3）2＋12 ＝
角为 θ，在 Rt△BOD 中，∴sin∠DOB＝BODB＝ 23，求得∠DOB＝12θ ＝60°，∴θ＝120.∵S＝扇形 OACB 面积－△OAB 面积＝132600·π·122－ 12×12 3×6＝(48π－36 3)cm2
13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝ 6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
×62 ＝12π
cm2.
7．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三 角形，则这个圆锥的表面积为__7_π_cm2.
【解析】底面半径为 r＝1，母线长 l＝6，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl＋ πr2＝π×1×6＋π×1＝7π
8．如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上， 顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转， 使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半
于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD.若∠A＝30°，⊙O 的半径为 2，
则图中阴影部分的面积为( A )
A.43π－ 3 B.43π－2 3
C．π－ 3
D.23π－ 3
【解析】作 ON⊥DC 于 M, 交⊙O 与 N, ∠A＝30°，∴∠AOB＝
60°，∠DOC＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°.△OMC≌△OMD, 而 OC
13 .∴S
阴
＝
1 4
(π·OA2－π·OB2)＝14(16π－13π)＝43π.
三、解答题 11 ． 如 图 ， AB 切 ⊙O 于 点 B ， OA ＝ 2 ， ∠OAB ＝ 30° ， 弦 BC∥OA.求：劣弧BC的长．(结果保留π)
解：连接 OC，OB，∵AB 为圆 O 的切线，∴∠ABO＝ 90°，在 Rt△ABO 中，OA＝2，∠OAB＝30°，∴OB＝1，∠AOB ＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，又 OB＝OC， ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°，
＝OD＝2∴OM＝1，DM＝MC＝ 3.S△ODC＝21×2 3×1＝ 3.S 扇形 ODC
＝120×36π0×22＝43π.∴S
阴＝S
扇形
4 ODC－S△ODC＝3π－
3.
二、填空题 6．半径为6cm，圆心角为120°的扇形的面积为 12π cm2.
【解析】直接运用扇形面积公式，∴S＝120×36π0
A．20cm2B．20πcm2C．12πcm2D．10πcm2
【解析】圆锥母线长 l＝ 42＋32＝5cm，S 侧＝πrl＝π×4×5＝20πcm2.
3．钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上
扫过的面积是( A )
A.12π
B.14π
C.18π
D．π
【解析】分针扫过整个钟面的一半，分针长为 1，故 S＝π×21＝2π.
解：(1)如图；
(2)过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交弧 AB 于 C，则 CD＝6cm.∵OC⊥AB， ∴BD＝AD＝12AB，∴BD＝AD＝6 3cm，设半径为 r，则 OD＝(r－ 6)cm，在 Rt△BOD 中，BD2＋OD2＝BO2，∴(6 3)2＋(r－6)2＝r2，解 得 r＝12，∴这个圆形截面的半径为 12cm.又∵设弧长 AB 所对圆心
考点集训25 圆的弧长和图形面积的计算
一、选择题 1．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A) A．20πcm B．10πcm C．10cm D．20cm
【解析】圆心角 120°即32π.弧长＝32π·30＝20πcm
2．已知圆锥的底面半径为 4cm，高为 3cm，则圆锥的侧 面积是( B )
∴劣弧B︵C长为601π8×0 1＝π3.
12．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管 道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有
水部分的截面图(如图)． (1)请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面(不写作法，但应保留
作图痕迹)； (2)维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝12 3cm，水
4．如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序
折叠，使A︵B和B︵C都经过圆心 O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的( B )
1
1
2
3
A.2
B.3
C.3
D.5
【解析】折叠 AC，会发现A︵C也会经过圆心 O, 此时观察图像易 发现阴影部分面积占全圆的13.
5．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与⊙O 交
(2)S 阴影＝39600π·52－12×5×5＝25π4－50cm2.
(1)求BD的长； (2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝ 6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm.∴OB＝5cm.连接 OD，∵OD ＝ OB ， ∴∠ODB ＝ ∠ABD ＝ 45°.∴∠BOD ＝ 90°.∴BD ＝
OB2＋OD2＝5 2cm
∠D′AC′＝45°.∴∠COC′＝120°－45°－45°＝30°.∠COC′
即为旋转角，而∠DAD′也为旋转角．∴∠D′AD＝30°.∴D︵ D′＝
30° 180°π
×6＝π
.
9．如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形， 则S扇形＝__4__cm2.
【解析】弧长＝8－2－2＝4cm，∴S扇＝×2×4＝4cm2.
径均为6cm，则点D运动的路径长为__π__cm.
解析】设 D 到点 D′C 到 C′，点 B 到点 B′，设圆心为 O.连接
D′O，BO，AC，AC′.易知△AOD′，△AOB 均为等边三角形，∴∠BAD′
＝ 120°.△AD′C′ 与 △ABC 均 为 等 腰 直 角 三)，B(2 3，1)，将△AOB 绕着点 O 逆
时针旋转，使点 A 旋转到点 A′(－2，2 3)的位置，则图中阴影部分的
面积为 34π
．
【解析】由 A 与 A′的坐标易知旋转角度为 90°，由已知条件可得
OA ＝
（2 3）2＋22 ＝ 4 ， OB ＝
（2
3）2＋12 ＝
角为 θ，在 Rt△BOD 中，∴sin∠DOB＝BODB＝ 23，求得∠DOB＝12θ ＝60°，∴θ＝120.∵S＝扇形 OACB 面积－△OAB 面积＝132600·π·122－ 12×12 3×6＝(48π－36 3)cm2
13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝ 6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
×62 ＝12π
cm2.
7．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为6cm，底边长为2cm的等腰三 角形，则这个圆锥的表面积为__7_π_cm2.
【解析】底面半径为 r＝1，母线长 l＝6，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl＋ πr2＝π×1×6＋π×1＝7π
8．如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上， 顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点逆时针旋转， 使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半
于点 C，BD 为⊙O 的直径，连接 CD.若∠A＝30°，⊙O 的半径为 2，
则图中阴影部分的面积为( A )
A.43π－ 3 B.43π－2 3
C．π－ 3
D.23π－ 3
【解析】作 ON⊥DC 于 M, 交⊙O 与 N, ∠A＝30°，∴∠AOB＝
60°，∠DOC＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°.△OMC≌△OMD, 而 OC
13 .∴S
阴
＝
1 4
(π·OA2－π·OB2)＝14(16π－13π)＝43π.
三、解答题 11 ． 如 图 ， AB 切 ⊙O 于 点 B ， OA ＝ 2 ， ∠OAB ＝ 30° ， 弦 BC∥OA.求：劣弧BC的长．(结果保留π)
解：连接 OC，OB，∵AB 为圆 O 的切线，∴∠ABO＝ 90°，在 Rt△ABO 中，OA＝2，∠OAB＝30°，∴OB＝1，∠AOB ＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，又 OB＝OC， ∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC＝60°，
＝OD＝2∴OM＝1，DM＝MC＝ 3.S△ODC＝21×2 3×1＝ 3.S 扇形 ODC
＝120×36π0×22＝43π.∴S
阴＝S
扇形
4 ODC－S△ODC＝3π－
3.
二、填空题 6．半径为6cm，圆心角为120°的扇形的面积为 12π cm2.
【解析】直接运用扇形面积公式，∴S＝120×36π0
A．20cm2B．20πcm2C．12πcm2D．10πcm2
【解析】圆锥母线长 l＝ 42＋32＝5cm，S 侧＝πrl＝π×4×5＝20πcm2.
3．钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上
扫过的面积是( A )
A.12π
B.14π
C.18π
D．π
【解析】分针扫过整个钟面的一半，分针长为 1，故 S＝π×21＝2π.