例谈高考数学题的函数零点问题

例谈高考数学题的函数
零点问题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
例谈高考数学题的函数零点问题
梁关化，2015，11，12
高考数学题的函数零点问题，早前都是以小题出现为多，但近几年却变为大题，甚至是难题。

例如，今年全国卷（1）、广东和江苏等省的高考数学题都把函数零点问题作为大题、难题来出。

函数零点问题，归纳起来，常有如下几种类型：一、求零点的值或判断零点所在区间；二、讨论是否有零点或零点个数；三、由零点个数求函数解析式中参数取值范围。

解决零点问题，首先要掌握好零点概念的三个等价形式：（1）函数值为零的自变量值；（2）方程
f(x)=0的解（也可以把方程f(x)=0变形为g(x)=h(x),那么两函数g(x)和h(x)的图象的交点的横坐标即为方程f(x)=0的解）；（3）函数图象与x 轴的交点的横坐标。

因此，零点与方程知识，与数形结合的数学思想紧密相关。

其次，还需要掌握好零点存在性的判断定理；此外，还需要掌握好利用函数的导数来研究函数的单调性，极值，最值的方法。

求函数解析式中参数取值范围问题，往往还需要分类讨论的数学思想。

下面一起分析几道高考题或高考题的改编题。

例1 （广东2015年高考数学理科题）
设1a >，函数2()(1)
x f x x e a =+- (1)
求()f x 的单调区间； (2)
证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点； (3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线
与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.
解：（1）解略。

（答案：()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞）
（2）由（1）得()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，又
(0)10(1),(1)0f a a f a a =-<>=-=->，
从而有(0)0f f <，
0x ∴∃∈使得0()0f x =，
∴()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点。

（说明：这里用到零点存在性的判断定理。

还有：当一个函数在(,)-∞+∞单调且在其一个子区间里有一个零点，那么它在(,)-∞+∞上的零点是唯一的。

）
（3）（思路：由在点P 处的切线与x 轴平行先求出点P 的坐标，进而求出直线OP 的斜率，再由导数求在点M （m,n ）处的切线的斜率，从而得到一个关于
m,a,e 的关系式22(1)m m e a e
+=-，再把要证不等式转化为一个不含根号的不等式来证，即
3221(1)(1)(1)m m m m a m e m e e
≤⇐+≤-=+⇐+≤，最后构造一个函数()1m h m e m =--，再研究其单调性，极值，最值，不等式即可得证。

例2（广东2015年高考数学文科题） 设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---． ()1若()01f ≤，求a 的取值范围；
()2讨论()f x 的单调性；
()3当2a ≥时，讨论()4f x x
+在区间()0,+∞内的零点个数． 解：（1）（思路：解绝对值不等式，一是分类讨论，一是整体等价转化，本小题可等价转化为221(1)212
a a a a ≤-⇔≤⇔≤
） （2）原函数即下面分段函数：
22(21),()(21)2,x a x x a f x x a x a x a ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 分段研究，即可得以下结论：()f x 在（,)a -∞上单调递减，在[,)a +∞上单调递增。

（3）分a=2和a>2两种情况讨论。

1）当a=2，()f x 为
223,2()54,2
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 在同一直角坐标系分别作出()f x 和g(x)= 4x
-的图象，易得两图象在()0,+∞得一个交点，交点的横坐标为x=2, 从而()4f x x
+在区间()0,+∞内有一个零点。

2）当a>2时
由于()f x 的最小值在x=a 处取得，而此时g(x)= 4x -的值为4a
-，但()f x 的最小值小于4a
-（可作差比较，把差分解或构造函数解决），再在同一直角坐标系分别作出()f x 和g(x)= 4x
-的图象，易得两图象在()0,+∞有两个交点，从而()4f x x
+在区间()0,+∞内有两个零点。

例3（江苏2015年高考题的改编题）
已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。

（1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若点(a,b)在直线43
y x =-上，且函数)(x f 有三个不同的零点，求a,b 的取值范围。

解：（1）通过导数，再分a=0，a>0，a<0三种情况讨论即可得出以下结论：
1）当a=0，函数)(x f 在(,)-∞+∞上单调递增；
2）当a>0，函数)(x f 在2(,),(0,)3a -∞-
+∞上单调递增；函数)(x f 在2(,0)3a -上单调递减；
3）当a<0，函数)(x f 在2(,0),(,)3a -∞-
+∞上单调递增；函数)(x f 在2(0,)3
a -上单调递减； （2）由已知得43
b a =-，再由（1）知函数)(x f 的两个极值为324(0),()327
a f
b f a b =-=+，那么，函数)(x f 有三个不同的零点⇔ 3324(0)()0()0327
04027a f f b a b a a b -<⇔+<⇔>⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027
a a
b <⎧⎪⎨->>⎪⎩ 把43b a =-代入，解得34a b <-⎧⎨>⎩或34a b >⎧⎨<-⎩
， 例4(2015年全国卷（1）文科高考题)
设函数()2ln x f x e a x =-.
（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；
（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a
≥+.
解：（1）导数为'2()2(0)x a f x e x x
=-> 分0a ≤和0a >两种情况讨论：
1）当0a ≤时，易得'()0f x >，故()f x '没有零点；
2）当0a >时，易知()f x '在x>0时为单调递增
'()0f a >，当02a <<，'()08a f <，故在(,)8
a a 必有零点，从而()f x '在(0,)+∞有唯一零点。

（2）设零点为0x ,从而有020
20x a e x -=。

易得0()f x 为函数()f x 的最小值，即0()()f x f x ≥，又00022()2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a
=++≥+，从而，当0a >时()22ln f x a a a
≥+.。

练习：
1．设函数()()()2142 1.
x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
． 2.已知32,(),x x a f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .
3、若函数f （x ）=| 2x -2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.
4．已知函数()()22,2,2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
（C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.已知函数22||,2()
(2),2x x f x x x ，函数()3(2)g x f x ，则函数y ()()f x g x 的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
6．设函数f （x ）=2
2
χ-ln k ,k>0 （I ）求f （x ）的单调区间和极值；
（II ）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。