《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分

x2
dS y2

z2

2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz

4
lim
a1

D1
(1

z
2
1 )
1
x2
dxdz

4
lim
a1
01dz
a
0
(1

1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1

2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z

1
其中 是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算


x2
dS y2

z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2

(
y1 z
)2
dxdz

1 dxdz. 1 x2

1
x2
dS y2

z2


Dxz
1 1 z2

1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面 右 向 xoz 面投影，得
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy 题 (4) 在D内, P Q
y x
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
n
n
定 义
f (x, y, z)dS lim 0 i1
f (i ,i , i )Si

R( x, y, z)dxdy

(
P x

Q y

R z
)dv


Pdydz

Qdzdx

Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P


(
y

z
)dydz

( z

)dzdx (
x
x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系

[P(,) Q(,)]dt
(与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域 D 上 P( x, y),Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
f ( x, y)ds
b
f [ x, y( x)]
1 y2dx, (ds线元素(曲))
L
a
f ( x, y)dx b f [x, y( x)]dx, (dx线元素(投影))
L
a
f ( x, y, z)dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
i 1
f (i , i )si
Ln

lim
0
i1
[P(i
, i )xi
Q(i , i )yi ]
联 系
L Pdx Qdy L(P cos Qcos )ds
计 L f (x, y)ds
算


f [,]
2 2dt

( )
LPdx Qdy
x , 1 x2
y2 z

0.
dS
1
(
y2 x
)2

(
y2 z
)2
dxdz

1 dxdz. 1 x2

2
x2
dS y2

z2


Dxz
1 1 z2

于是，


x2
dS y2

z2
1 dxdz 1 x2

2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
于是，

lim
0
i 1
f (M )i ,
f (M )点函数
定积分
当 R1上区间[a, b]时,
b
f (M )d a f ( x)dx.
二重积分 当 R2上区域D时,
f (M )d f ( x, y)d .
D
三重积分
当 R3上区域时,
f (M )d f ( x, y, z)dV

lim
0
i1
R(i ,i , i )(Si )xy
联 系
Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcos Rcos )dS


计
f (x, y, z)dS


f [x, y, z(x, y)]
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
将曲面 左 向 xoz 面投影，得
Dxz : 1 x 1, 0 z 1.
y1 x

x, 1 x2
y1 z

0.
z
1
左
Dxz
o x1
y
dS
1

(
y1 x
)2

(
y1 z
)2
dxdz

1 dxdz. 1 x2

1
x2
dS y2

z2


Dxz
1 1 z2
Dxy
算 一投,二代换(与侧无关)
R( x, y, z)dxdy

R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
一投,二代,三定号 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算
Guass公式
计算 重积分
积分概念的联系
n

f (M )d

理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
f ( x)dx F (b) F (a) (F( x) f ( x)) a 牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D
(
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(沿L的正向)
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系

前侧
D yz

01dz
1
0
z
1 y2 dy


8
.
z
(2) 计算 xydzdx

：y 1 x2 右侧.
将曲面 向 xoz 面投影，得
Dxz 1
o x1
Dxz : 0 x 1, 0 z 1.
xydzdx xydzdx x 1 x2 dzdx
思考: 用Stokes公式计算如何? 不易求 P,Q,R !
z
1
o x1
Γ y
1

(
R y

Q z
)dydz

(
P z

R x
)dzdx

(
Q x

P y
)dxdy

Pdx Qdy Rdz

例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy, 其中 是圆柱面




(
P x

Q y

R z
)dv
例1
计算


x2
dS y2

z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.
1
例2 计算 ( x2 y2 z2 )dS,

其中 是球面 x2 y2 z2 R2.
o x1
z
解
z
z
1
1
1
左
o x1
1
y
o
o x1
y
x1
右 y
1
将 分成 左 + 右 。
左 : y1 1 x2 ,
右 : y2 1 x2 .
解 将 分成 左 + 右 。
左 : y1 1 x2 , 右 : y2 1 x2 .


x2
dS y2
z
1
o x1
D yz y
1
Dyz : 0 y 1, 0 z 1.
zxdydz zxdydz z 1 y2 dydzy

前侧
D yz

01dz
1
0
z
1 y2 dy


8
.
zxdydz zxdydz z 1 y2 dydzy
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds ,

其中Σ为锥面 x2 y2 z2 介于平面 z 0 及

o x1
于是， zxdydz xydzdx yzdxdy

zxdydz xydzdx yzdxdy





8

1 3
.
y
1
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy, 其中 是圆柱面

x2 y2 1 在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧.
曲线积分(I) 当 R2上平面曲线L时,
f (M )d L f ( x, y)ds.
曲线积分(I) 当 R3上空间曲线时,
f (M )d f ( x, y, z)ds.
曲面积分(I) 当 R3上曲面时,
f (M )d f ( x, y, z)dS.

x2 y2 1 在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧.
思考: 用Gauss公式计算如何? 要补面D1, D2 , D3, D4 ! 烦!!
z
D1 1 D3
o
D2 y
1
x 1 D4
(
P x

Q y

R z
)dv


Pdydz

Qdzdx

Rdxdy


例 4 利用高斯公式计算曲面积分

右侧
Dxz

01dz
1
0
x
1 x2 dx

1 3
.
y
1
xydzdx xydzdx x 1 x2 dzdx

右侧
Dxz
01dz01 x
1 x2 dx

1 3
.
(3) 计算 yzdxdy
z

平行于 z 轴或垂直于 xoy 面，
1
因此， yzdxdy 0.
Dxz : 1 x 1, 0 z 1.
y2 x

x , 1 x2
y2 z

0.
dS
1
(
y2 x
)2

(
y2 z
)2
dxdz

z
1
Dxz
o x1 1 dxdz. 1 x2
右 y
1
Dxz : 1 x 1, 0 z 1.
y2 x

D1
1 o
x
1
z
D1 o a1 x
D1 :
0 x a, 0 z 1,
例2 计算 ( x2 y2 z2 )dS,

其中 是球面 x2 y2 z2 R2.
解 被积函数中的 x，y，z 满足球面方程， 因此
( x2 y2 z2 )dS R2dS


R2 dS

R2 4R2 4R4.
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy, 其中 是圆柱面

x2 y2 1 在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧.
解 (1) 计算 zxdydz

：x 1 y2 前侧.
将曲面 向 yoz 面投影，得
计算上的联系
f ( x, y)d
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (d面元素)
a y1 ( x )
D
f (x, y, z)dV
bdxຫໍສະໝຸດ y2(x)
dy
z2( x,y) f ( x, y, z)dz, (dV体元素)

a
y1 ( x )
z1 ( x, y )

z2


1
x2
dS y2

z2


2
x2
dS y2

z2
左 : y1 1 x2 ,
将曲面 左 向 xoz 面投影，得
Dxz : 1 x 1, 0 z 1.
y1 x

x, 1 x2
y1 z

0.
z
1
左
Dxz
o x1
y
左 : y1 1 x2 ,

Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Qcos )ds
Pdydz Qdzdx Rdxdy

(P cos Q cos Rcos )dS
Green公式
L
Pdx

Qdy


D
(Q x

P y
)dxdy
或 L

Qdx

Pdy


D
(P x

Q y
)dxdy
推广
推广
Stokes公式
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy


x
y
z
PQ R
Guass公式
Pdydz Qdzdx Rdxdy
（一）曲线积分与曲面积分
曲线积分
曲面积分
曲对 线坐 积标 分的
联系 计算
曲对 线弧 积长 分的
曲对 面坐 积标 分的
联系 计算
曲对 面面 积积 分的
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分