四川省成都市新津中学2015-2016学年高二下学期4月月考数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年四川省成都市新津中学高二(下)4月月考数学试卷
（文科）
一、选择题（每小题5分）
1．命题“∃x∈Z，使x2+2x+m＜0”的否定是（）A．∀x∈Z，使x2+2x+m≥0 B．不存在x∈Z，使
x2+2x+m≥0
C．∀x∈Z，使x2+2x+m＞0 D．∃x∈Z，使x2+2x+m ≥0
2．双曲线﹣y2=﹣1的焦点到其渐近线的距离等于( )
A．B．C．1 D．
3．设a≠0，a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（）A．(a，0）B．（0,a）C．（0，）D．随a符号而定4．双曲线x2﹣4y2=1的离心率为（）
A．B． C．D．
5．若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0)，△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为（) A．B．（y≠0）
C．（y≠0）D．（y≠0）
6．“m∈（2，6）”是“方程+=1为椭圆方程”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．过（1，1)的直线l与双曲线有且仅有一个公共点的直线有（）条．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．设F1，F2为双曲线=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足=0,则△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．D．2
9．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2,则点P的轨迹为（)
A．圆B．双曲线C．抛物线D．椭圆
11．设u,v∈R，且｜u|≤,v＞0，则(u﹣v）2+（）2的最小值为（）
A．4 B．2 C．8 D．
12．如图,F1F2为椭圆C：=1的左、右焦点，点P 为椭圆C上一点，延长PF1、,PF2分别交椭圆C于A，B．若=2，=，则λ=(）
A．1 B．C． D．
二．填空题（每小题5分)
13．已知“∃x∈R,ax2+2ax+1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是．
14．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．
15．过椭圆+=1内一点M（2,1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．16．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若｜PQ|=4,F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．
三、解答题（5*12+10=70分)：
17．已知a＞0,设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真,求a的取值范围．
18．（1）已知双曲线与椭圆=1共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线方程．
（2）已知椭圆经过点A(0，)和B（1,1），求椭圆标准方程．
19．已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B 两点．
（1）求弦AB的长度;
（2）若点P在抛物线C上,且△ABP的面积为12，求点P的坐标．
20．已知椭圆(a＞b＞0）的右焦点为F2（3,0)，离心率为e．
（Ⅰ）若,求椭圆的方程;
（Ⅱ)设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°．
（Ⅰ)求椭圆G的标准方程;
（Ⅱ）已知直线l1:y=kx+m1与椭圆G交于A,B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB｜=｜CD|，如图所示．
（ⅰ)证明：m1+m2=0；
(ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．
22．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线
2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
2015-2016学年四川省成都市新津中学高二（下）4月月
考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分）
1．命题“∃x∈Z,使x2+2x+m＜0”的否定是（) A．∀x∈Z,使x2+2x+m≥0 B．不存在x∈Z，使x2+2x+m ≥0
C．∀x∈Z,使x2+2x+m＞0 D．∃x∈Z，使x2+2x+m≥0【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定的是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以,命题“∃x∈Z,使x2+2x+m＜0"的否定是∀x∈Z，使
x2+2x+m≥0．
故选：A．
2．双曲线﹣y2=﹣1的焦点到其渐近线的距离等于（）
A．B．C．1 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
【解答】解：由题得：双曲线﹣y2=﹣1其焦点坐标为（0,)，(0,﹣）．渐近线方程为y=±x
所以焦点到其渐近线的距离d==．
故选：B．
3．设a≠0,a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（）A．（a，0）B．（0，a）C．（0，）D．随a符号而定
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程,进而根据抛物线的性质求得答案．
【解答】解：∵y=4ax2，
∴x2=y,
∴p=
∴抛物线焦点坐标为（0,)
故选C
4．双曲线x2﹣4y2=1的离心率为（）
A．B． C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线化为标准方程，结合双曲线离心率的定义进行求解即可．
【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1,
则焦点在x轴上，且a=1，b2=,
则c2=a2+b2=1+=,
即c==，
则离心率e==，
故选:C
5．若△ABC的个顶点坐标A(﹣4，0）、B（4,0），△ABC 的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A．B．（y≠0）
C．（y≠0）D．（y≠0）
【考点】与直线有关的动点轨迹方程;椭圆的标准方程．【分析】由△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B(4，0），△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10＞8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．
【解答】解:∵A（﹣4，0)、B(4，0），∴｜AB｜=8，又△ABC的周长为18，∴｜BC｜+｜AC|=10．
∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，
则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，
∴顶点C的轨迹方程为．
故选:D．
6．“m∈(2，6）"是“方程+=1为椭圆方程”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】原方程要表示椭圆方程，需满足,即2
＜m＜6，且m≠4，所以看m∈(2，6）能否让方程满足这个条件，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的充分条件;然后看若方程表示椭圆方程，则它要满足条件：2＜m＜6，且m≠4，这时候看能否得到2＜m＜6，这样即可判断m∈（2，6）是否是方程表示椭圆方程的必要条件；这样即可找到正确选项．【解答】解：（1)若m∈（2，6),则：0＜m﹣2＜4，0＜6﹣m＜4,m﹣2=6﹣m时，m=4；
∴方程不一定为椭圆方程；
∴m∈（2，6）不是方程为椭圆方程的充分条
件；
（2）若方程为椭圆方程,则：
，解得2＜m＜6，且m≠4,所以能得到m∈（2,6);∴m∈（2,6)是方程表示椭圆方程的必要条件；∴m∈（2，6）是方程表示椭圆方程的必要不
充分条件．
故选：B．
7．过(1,1）的直线l与双曲线有且仅有一个公共点的直线有（）条．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可利用几何法考虑，直线与双曲线有一个公共点的情况有两种，一种是直线与双曲线相切，一种是直线平行于双曲线的渐近线，只需判断P点与双曲线的位置关系，就可找到结论．
【解答】解:双曲线双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴点P（1,1）不在双曲线的渐近线y=x上,
∴可过P点作双曲线的l两条切线，和两条平行于渐近线y=x的直线,
这四条直线与双曲线均只有一个公共点，
故选：A．
8．设F1,F2为双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上，且满足=0，则△F1PF2的面积是（）A．1 B．C．D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设｜PF1｜=x,|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°,求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y)2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积．
【解答】解：设|PF1｜=x，｜PF2|=y，（x＞y）
双曲线=1的a=2，b=1,c=,
根据双曲线性质可知x﹣y=2a=4，
∵=0，
∴∠F1PF2=90°，
∴x2+y2=4c2=20，
∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4，
∴xy=2，
∴△F1PF2的面积为xy=1．
故选：A．
9．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠OMF2==，进而可得b和c的关系式，进而根据a=求得a和b的关系式．最后代入离心率公式即可求得答案．
【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b,
∴a==b，
∴e==．
故选B．
10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为( ）
A．圆B．双曲线C．抛物线D．椭圆
【考点】轨迹方程．
【分析】由直线C1D1垂直平面BB1C1C,分析出｜PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义,问题解决．
【解答】解:由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即｜PC1｜就是点P到直线C1D1的距离,
那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离的2倍,即离心率为，
所以点P的轨迹是椭圆．
故选：D．
11．设u,v∈R，且｜u｜≤，v＞0,则（u﹣v）2+（）2的最小值为（)
A．4 B．2 C．8 D．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】设P（u，),Q(v，)，则（u﹣v)2+(）2的看成是P，Q两点的距离的平方，P点在圆x2+y2=2上,Q点在双曲线y=，如图，由图象得出P，Q两点的最小距离即可．
【解答】解:设P(u，)，Q（v,），
则（u﹣v）2+（）2的看成是P,Q两点的距离的平方，
P点在圆x2+y2=2上，Q点在双曲线y=，如图，
由图象得出P,Q两点的最小距离为AB=2
则（u﹣v）2+（）2的最小值为8，
故选C．
12．如图，F1F2为椭圆C:=1的左、右焦点，点P 为椭圆C上一点,延长PF1、，PF2分别交椭圆C于A,B．若=2，=，则λ=（）
A．1 B．C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆方程求出椭圆两个焦点的坐标，设出PA所在直线方程，和椭圆方程联立，求出P的坐标，再由=,把B的坐标用含有λ的代数式表示，代入椭圆方程求得λ的值．
【解答】解：由=1，得a2=4，b2=3,∴c2=1．
则F1(﹣1，0），F2(1，0），
设PA所在直线方程为x=ty﹣1，
联立，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0．
解得：，
由题意知：y P=﹣2y A,即,
不妨取t=,则y P=，则．
∴p（，），
由=，得，
∴B（，），代入，
得,解得：．
故选：C．
二．填空题（每小题5分）
13．已知“∃x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是[0,1) ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据已知中“∃x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，我们可以得到否定命题，“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题,对二次项系数a分类讨论后,综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：∵“∃x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，∴其否定“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”为真命题,
当a=0时，显然成立；
当a≠0时，ax2+2ax+1＞0恒成立可化为:
综上实数a的取值范围是[0，1）
故答案为:[0，1）
14．已知直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 ．
【考点】点到直线的距离公式；抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2,求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2,2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，
则d1+d2=+a2+1=,
当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
故答案为2
15．过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为x+2y﹣
4=0 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】设A(x1,y1），B（x2,y2），由题意可得，
两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程
【解答】解:设直线与椭圆交于点A，B，设A(x1,y1)，B （x2，y2）
由题意可得，两式相减可得
由中点坐标公式可得，,
==﹣
∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣(x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=0
16．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是12 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】△PF2Q的周长=｜PF2|+|QF2|+｜PQ|，由双曲线的性质能够推出|PF2|+|QF2|=8,从而推导出△
PF2Q的周长．
【解答】解：由题意，｜PF2|﹣｜PF1|=2，|QF2|﹣｜QF1｜=2
∵｜PF1｜+｜QF1|=|PQ｜=4
∴|PF2｜+｜QF2|﹣4=4，
∴|PF2｜+｜QF2｜=8，
∴△PF2Q的周长=|PF2｜+｜QF2｜+|PQ｜=8+4=12，故答案为12．
三、解答题（5＊12+10=70分）：
17．已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=a x在R 上单调递增,由指数函数的单调性解决；等式ax2+ax+1
＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．
【解答】解:∵y=a x在R上单调递增，
∴a＞1；
又a＞0，不等式ax2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，
∴△＜0，即a2﹣4a＜0,∴0＜a＜4，
∴q：0＜a＜4．
而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．
①若p真，q假,则a≥4；
②若p假，q真，则0＜a≤1．
所以a的取值范围为（0，1]∪［4，+∞）．18．(1)已知双曲线与椭圆=1共焦点，且以y=±x
为渐近线，求双曲线方程．
（2）已知椭圆经过点A（0,）和B（1，1)，求椭圆标准方程．
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】（1)由题意求得双曲线的焦点坐标,由双曲线的渐近线方程,设出双曲线的方程,由双曲线的
性质即可求得λ=1，即可求得双曲线方程．
（2）由题意设椭圆方程为：,将A和B代入椭圆方程，即可求得m和n的值，求得椭圆标准方程．【解答】解:（1）椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为（0，﹣5)，（0,5），
由c=5,
由y=±x为渐近线的双曲线方程：（λ≠0），则双曲线的标准方程：，
∴16λ+9λ=25，
故答案为：λ=1,
双曲线方程；
（2）由题意可知：设椭圆方程为:，
椭圆经过点A（0,），B(1，1），
∴解得：,
椭圆标准方程．
19．已知抛物线C:y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．
（1)求弦AB的长度；
（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；两点间的距离公式．
【分析】（1）利用弦长公式即可求得弦AB的长度; (2)设点，利用点到直线的距离公式可表示出点P到AB的距离d，S△PAB=••d=12，解出即可；【解答】解：(1）设A（x1,y1）、B（x2，y2），
由得x2﹣5x+4=0，△＞0．
由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=4，
∴｜AB｜
==，
所以弦AB的长度为3．
（2）设点，设点P到AB的距离为d，则
，
∴S△PAB=••=12，即．
∴，解得y o=6或y o=﹣4
∴P点为（9，6）或（4，﹣4)．
20．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3,0），离心率为e．
（Ⅰ）若,求椭圆的方程；
（Ⅱ)设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M,N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1,y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON
知,四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为
，，所以
．由此能求出k的取值范围．
【解答】解:（Ⅰ）由题意得，得．
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）由得（b2+a2k2)x2﹣a2b2=0．
设A（x1，y1），B(x2,y2）．
所以，
依题意，OM⊥ON，
易知,四边形OMF2N为平行四边形，
所以AF2⊥BF2，
因为，，
所以．
即，
将其整理为k2=﹣=﹣1﹣
因为，所以，12≤a2＜18．
所以，即．
21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．
(Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点,直线l2:y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C,D两点，且|AB|=｜CD|,如图所示．
（ⅰ）证明:m1+m2=0；
（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据F1(﹣1，0），∠PF1O=45°,可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2,故可得椭圆G的标准方程；
(Ⅱ)设A(x1，y1）,B（x2，y2)，C（x3，y3），D（x4,y4)．（ⅰ)直线l1:y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB｜=|CD|，可得结论;（ⅱ)求出两平行线AB，CD间的距离为d,则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式,即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．
【解答】（Ⅰ）解:设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1,0），∠PF1O=45°,所以b=c=1．
所以，a2=b2+c2=2．…
所以，椭圆G的标准方程为．…
（Ⅱ)设A（x1，y1），B（x2，y2）,C（x3,y3），D（x4，y4）．(ⅰ)证明:由消去y得：．则，…
所以
==
=．
同理．…
因为｜AB|=|CD|，
所以．
因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB,CD间的距离为d，则．因为
m1+m2=0,所以．…
所以
=
．
(或）
所以当时,四边形ABCD的面积S取得最大值为．…
22．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线
2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，再利用直线与圆相切的性质可得：圆心到直线的距离等于半径即可解出．
【解答】解：由圆ρ=3cosθ，可得ρ2=3ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=3x，
配方为，圆心为C，半径r=．
直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为直角坐标方
程:2x+4y+a=0．
∵直线与圆相切可得：=，解得a=﹣3．
2016年11月17日。