七年级同步第10讲：提取公因式法、公式法分解因式-教师版

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提取公因式法与公式法

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．

2、因式分解与整式乘法互为逆变形：

()

m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解

式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．

3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．

4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．

（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1；

（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；

（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．

【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．

（1）()()22

x y x y x y +-=-；

（2）()322

x x x x x x +-=+；

（3）()2

3232x x x x +-=+-；

（4）()()111xy x y x y +++=++．

【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．

【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式． 【总结】本题主要考查因式分解的定义．

【例2】 指出下列各式中的公因式： （1）43224832a a b a b -，，； （2）2318m m a a -，

； （3）()()()23

369a b a b a b ++-+，，．

【答案】（1）24a ；（2）3m a ；（3）3()a b +． 【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式． 【总结】本题主要考查公因式的定义． 【例3】 分解因式： （1）2368a a -；

（2）322618m m m -+-；

（3）2124ad bd d --+．

【答案】（1）22(34)a a -；（2）22(39)m m m --+；（3）2(62)d a b -+-． 【解析】（1）232682(34)a a a a -=-； （2）32226182(39)m m m m m m -+-=--+；

（3）21242(62)ad bd d d a b --+=-+-．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．

【例4】 分解因式： （1）32228x y x y +；

（2）22462a b ab ab --；

（3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．

【答案】（1）22(4)x y x y +；（2）2(231)ab a b --；（3）122(326)m n m m x y x x y y --+-． 【解析】（1）3222282(4)x y x y x y x y +=+； （2）224622(231)a b ab ab ab a b --=--；

（3）3121122326(326)m n m n m n m n m m x y x y x y x y x x y y -+---+=-+-．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．

【例5】 分解因式：232

2

9632

x y x y xy ++

．

【答案】23

(423)2

xy x x y y ++．

【解析】2322293

63(423)22

x y x y xy xy x x y y ++=++．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．

【例6】 把下列各式分解因式： （1）()()43x x y x y +-+；

（2）()()23

43x x y y x -+-；

（3）()()()()3

2

522322x y x y -----．

【答案】（1）()(43)x y x +-；（2）2()(3)x y x y -+；（3）2(2)(2)(57)x y x ---． 【解析】（1）()()43()(43)x x y x y x y x +-+=+-； （2）原式23224()3()()[43()]()(3)x x y x y x y x x y x y x y =---=---=-+；

（3）原式3225(2)(2)3(2)(2)(2)(2)(57)x y x y x y x =--+--=---．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并．

【例7】 把下列各式分解因式： （1）()()68a m n b m n -+- ；

（2）()()23

m x y n y x -+-；

（3）()()22

a b x y ab x y -+-；

（4）()2

a b a b --+ ．

【答案】 （1）2()(34)m n a b -+ ；

（2）2()()x y m nx ny --+； （3）()()ab x y a b -+；

（4）()(1)a b a b ---．