西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy 平面内有一分布着质量的曲线弧L ,在点(,)x y 处它的线密度为(,)x y ρ,用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L 的长度_______S =; （2）这曲线弧L 的质量_______M =;

（3）这曲线弧L 的重心坐标：___x =;___y =;

（4）这曲线弧L 对x 轴,y 轴及原点的转动惯量____x I =;____y I =;0____I =. 解 （1）d L

S s =⎰;

（2）(,)d L

M x y s μ=

⎰

;

（3）(,)d (,)d L L

x x y s x x y s

μμ=⎰⎰, (,)d (,)d L L

y x y s y x y s

μμ=

⎰⎰, （4）2(,)d x L

I y x y s μ=

⎰

, 2(,)d y L

I x x y s μ=⎰, 220()(,)d L

I x y x y s μ=+⎰

2.（1）设L 为椭圆

22

143

x y +=,其周长为a ,求⎰+L s y x d )43(22. （2）设L 为圆周2

2

64x y +=,求

⎰

+L

s y x d 22.

解 （1）L ：22

143

x y +=,即223412x y +=, 从而

⎰+L

s y x

d )43(22

=⎰L

s d 12=⎰L

s d 12=12a .

（2）L ：2

2

64x y +=, 从而

⎰

+L

s y x d 22=⎰L

s 8d =⎰L

s d 8=8π28⋅⋅=128π.

3.计算

22

()d L

x y s +⎰,其中L 是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. 解 如图10.1所示,

1L ：0y =,x 从02→,

2L ：0x =,y 从01→, 3L ：22x y =-,y 从01→,

图 10.1

d s y y ==. 从而

2

2()d L

x

y s +⎰=1

22()d L x y s +⎰+2

22()d L x y s +⎰+3

22()d L x y s +⎰

=

211

22220

d d [(22)]d x x y y y y y +-+⎰

⎰

=12

081(485)d 33

y y y +-+=3+

4.计算

s ⎰

,其中L 为曲线222x y x +=.

解1 L 的参数方程为 L ：1cos ,

sin ,

x y θθ=+⎧⎨

=⎩ 02πθ≤≤. 计算出d d s θ=,于是

s ⎰

=20

θ⎰

=2π02cos d 2

θ

θ⎰

2

u θ

=π

4cos d u u ⎰=π20

8cos d u u ⎰=8.

解2 在极坐标系下,L :2cos ,r θ= ππ

22

θ-

≤≤.计算出d s θ==2d θ,于

是

s ⎰

=22

2cos 2d π

π

θθ-

⋅⎰

=208cos d π

θθ⎰=8.

5.求空间曲线e cos t

x t -=,e sin t

y t -=,e (0)t

z t -=<<+∞的弧长.

解 d s t =

t

d t

t -,

从而 0

e d t s t +∞-=.

6.有一铁丝成半圆形cos x a t =,sin y a t =,0t π≤≤,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.

解 d s t =t =d a t . d L m s ρ=

⎰=d L y s ⎰=π

sin d a t a t ⋅⎰=π

2

sin d a t t ⎰=22a .

7.计算

22()d L

x y z s +-⎰

,其中L 为球面222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线.

解 由于222

x y z a ++=与0x y z ++=对x ,y ,z 都具有轮换对称性,故 2d L

x s ⎰

=2d L

y s ⎰=2d L

z s ⎰,d L

x s ⎰=d L

y s ⎰=d L

z s ⎰.

于是

2d L x s ⎰=2221(d d d )3

L L L x s y s z s ++⎰⎰⎰ =222

1()d 3L

x y z s ++⎰=

2d 3L a s ⎰=22π3a a ⋅=3

2π3

a . 其中d L

s ⎰为圆周2222

x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩的周长,显然平面0x y z ++=过球面

2222x y z a ++=

的球心(0,0,0)O ,所以L 为该球面上的大圆,即半径为a ,故周长为2a π.又因为

()d L

y z s -⎰=d d L

L

y s z s -⎰

⎰=0,

所以

22

()d L

x y z s +-⎰=32π3

a .

第二节 第二类曲线积分

1.计算

⎰+--+L

y

x y y x x y x 22d )(d )(,其中L 为圆周222

x y a +=（按逆时针方向绕行）. 解 L :cos ,sin x a t y a t ==,t 由0到2π, 从而

I =⎰

+--+L y x y

y x x y x 2

2d )(d )(

=

20

[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]d t t t t t t t π+---⎰

=20

d t π-⎰

=2π-.

2.计算

2

2()d L

x

y x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

解 I =

22()d

L

x y x -⎰

=2

240

()d x x x -⎰=56

15

-

. 3.计算

(2)d d L

a y x x y -+⎰,其中L 为摆线

(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-

上对应t 从0到π2的一段弧（图10.2）.

图 10.2