四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题

一、单选题
二、多选题
1. 8位选手参加射击比赛， 最终的成绩(环数) 分别为42，38，45，43，41，47，44，46，其分位数是（ ）
A ．44.5
B ．45
C ．45.5
D ．46
2. 已知函数
3
2
在定义域x ∈[－2，2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：
①
是奇函数；②若
在[s ，t ]内递减，则|t －s |的最大值为4
；③若
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0；④若对∀x ∈[－
2，2]
，恒成立，则k 的最大值为
2.
其中正确命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.
已知函数
，若
在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A
．B
．C
．
D
．
4. 已知函数
，点
是直线
与函数
的图象自左至右的某三个相邻交点，若
，则
（ ）
A
．B
．
C ．3
D
．
5. 已知
，，则集合
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
6. 已知函数f （x ）＝sin 2xcosφ+cos 2xsinφ
图象的一个对称中心为
，则φ的一个可能值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
7. 一个袋子装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4，从袋中随机抽取两个球，则取出的球的编号之和等于5的概率
为（ ）
A
．B
．C
．
D
．
8.
已知集合
，，则
（ ）
A
．
B
．C
．D
．
9. 如图，在某城市中，
、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、
、
是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路
网
，
处的甲、乙两人分别要到
，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、
处为
止．则（
）
A ．甲从
到达处的方法有30种
B
．甲从经过
到达处的方法有9种C
．甲、乙两人在
处相遇的概率为
四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题
四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试理科数学试题
三、填空题
四、解答题
D
．甲、乙两人不相遇的概率为
10. 已知一组样本数据为1，1，4，5，1，4，现往这组数据中加入一个新数据，则新数据与原数据相比，可能（ ）
A ．方差变小
B ．众数变多
C ．极差变小
D ．第80百分位数变大
11. 已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A ．
在上恒为正B ．在上单调递减C ．a ，b ，c 中最大的是a
D ．a ，b ，c 中最小的是b
12. 过抛物线C ：
的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列判断正确的是（ ）
A ．可能为锐角三角形B
．过点且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2条C ．若，则
的面积为
D
．
最小值为
13.
定义在上的奇函数
，满足对且
，都有成立，则当不等式成立
时，
的最小值为________.
14. 已知函数
，若函数
有两不同的零点，则实数的取值范围是__________．
15.
若
，则
的最小值为 __________.
16. 据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位：亿元）的10年数据如下表所示：第年12345678910居民年收入32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0
商品销售额
25.0
30.0
34.0
37.0
39.0
41.0
42.0
44.0
48.0
51.0
依据表格数据，得到下面一些统计量的值
.
379.6391247.624568.9
(1)根据表中数据，得到样本相关系数.以此推断，与的线性相关程度是否很强？
(2)根据统计量的值与样本相关系数
，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(3)根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点
对应的残差（精确到0.01
）；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，的
值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）.
附：样本的相关系数，
，，
.
17. 如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为1，求的长度．
18. 如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
19. 为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
学生编
号
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.
20. 已知数列为等比数列，在数列中，，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和.
21. 定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶
和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．。