2018届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第八节 曲线与方程教师用书 理

第八节曲线与方程

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

自|主|排|查

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：

(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；

(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)；

(3)列式：列出或找出动点P满足的等式；

(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程；

(5)验证：验证所求方程即为所求的轨迹方程。

3．曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。

微点提醒

1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系。检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义。

2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等。

3．求轨迹问题常用的数学思想

(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y 的方程及函数关系。

(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合。

(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化。

小|题|快|练

一、走进教材

1．(必修2P124B组T1改编)等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2)，B(－2,0)，A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为( )

A．x2＋y2－8x－4y＝0

B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)

C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠10，x≠－2)

D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠10，x≠－2)

【解析】设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠10，x≠－2。整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)。故选B。

【答案】 B

2．(选修2－1P36例3改编)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线。故选D。

【答案】 D

二、双基查验

1．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是( )

【解析】 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋y 2

－4＝0，

x ＋y ＋1≥0，

它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x

2

＋y 2

－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分。故选C 。

【答案】 C

2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →

，则动点P 的轨迹C 的方程为( )

A ．x 2

＝4y B ．y 2

＝3x C ．x 2＝2y

D ．y 2

＝4x

【解析】 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)。 ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，

∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2

－2(y －1)，整理得x 2

＝4y ，

∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。故选A。

【答案】 A

3．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为________。

【解析】设点的坐标为(x，y)，由题意知

(x－2＋y－2)2＋(x－c2＋y－2)2＝c，

即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，

即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0。

【答案】2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0

4．MA和MB分别是动点M(x，y)，与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是________。

【解析】点M在以A、B为直径的圆上，但不能是A、B两点。

【答案】x2＋y2＝1(x≠±1)

5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________。

【解析】设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，

∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)。

【答案】x2

4

＋

y2

3

＝1(y≠0)

【典例1

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点。

【解析】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，