2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课五数列的综合
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高考大题研究课五 数列的综合
题型一 等差数拟]设等比数列 an 的前n项和为Sn，已知Sn＋
Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 cn 是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数
列 bn 的前n项和Tn.
题后师说
巩固训练2
[2022·安徽十校联考]已知数列 an 满足a1 ＋a2 ＋…＋an－1 －an ＝－
2ሺn ≥ 2且n ∈ ∗ ሻ，且a2＝4.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列
2n
an −1 an+1 −1
2
的前n项和为Tn，求证： ≤Tn<1.
3
题型三 数列中的结构不良试题
(1)求数列 an 的通项公式；
n
(2)若bn＝
，求数列 bn 的前n项和Tn.
2Sn +n an
题型二 数列与不等式的综合问题
1
例2 [2023·山东烟台模拟]已知数列 an 的前n项和为Sn ，a1 ＝ ，当
2
n≥2时，Sn2 ＝anSn－an.
(1)求Sn；
(2)设数列
值范围．
2n
Sn
的前n项和为Tn ，若λTn≤ n2 + 9 ·2n 恒成立，求λ的取
数λ使得数列 bn 是等差数列．
注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分．
题后师说
结构不良试题是近几年新高考命题的新题型，对这类题型的解法是：
先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”
的条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解．
巩固训练3
[2023·山东济南历城二中模拟]在“①an＋1>an，a3a10＝44，a4＋a9＝
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9
3．[2021·浙江卷]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且4Sn＋1＝
4
3Sn－9(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.
若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
题后师说
等差数列、等比数列的综合问题是新高考命题的热点之一，对这类
问题应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等
差、等比数列的求和、裂项相消法求和及错位相减法求和．
巩固训练1
[2023·河南洛阳模拟]已知数列 an 是公差大于1的等差数列，前n项
和为Sn，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．
15；②S7＝5a6，a2＝3；③2Sn＝n(n＋3)”三个条件中任选一个，补充
到下面的横线上，并解答．
已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且________．
(1)求 an 的通项公式；
1
1
(2)若bn＝
，求 bn 的前n项和为Tn，求证：Tn< .
an an+1
2
真题展台
1.[2022·新高考Ⅱ卷]已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数
列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
2．[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n
项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn }是等差数列；③a2＝3a1.
例3 [2023·河北沧州模拟]已知数列 an 满足a1＝2，前n项和为Sn，且
an＋1＋an＝3×2n.
(1)写出a2，a3，并求出数列 an 的通项公式；
(2)在①bn＝log2 an an+1 + λ ；②bn＝log2(Sn＋λ)这两个条件中任选一
个补充在下面横线中，并加以解答．若数列 bn 满足________，求实
题型一 等差数拟]设等比数列 an 的前n项和为Sn，已知Sn＋
Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 cn 是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数
列 bn 的前n项和Tn.
题后师说
巩固训练2
[2022·安徽十校联考]已知数列 an 满足a1 ＋a2 ＋…＋an－1 －an ＝－
2ሺn ≥ 2且n ∈ ∗ ሻ，且a2＝4.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列
2n
an −1 an+1 −1
2
的前n项和为Tn，求证： ≤Tn<1.
3
题型三 数列中的结构不良试题
(1)求数列 an 的通项公式；
n
(2)若bn＝
，求数列 bn 的前n项和Tn.
2Sn +n an
题型二 数列与不等式的综合问题
1
例2 [2023·山东烟台模拟]已知数列 an 的前n项和为Sn ，a1 ＝ ，当
2
n≥2时，Sn2 ＝anSn－an.
(1)求Sn；
(2)设数列
值范围．
2n
Sn
的前n项和为Tn ，若λTn≤ n2 + 9 ·2n 恒成立，求λ的取
数λ使得数列 bn 是等差数列．
注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分．
题后师说
结构不良试题是近几年新高考命题的新题型，对这类题型的解法是：
先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”
的条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解．
巩固训练3
[2023·山东济南历城二中模拟]在“①an＋1>an，a3a10＝44，a4＋a9＝
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9
3．[2021·浙江卷]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且4Sn＋1＝
4
3Sn－9(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.
若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
题后师说
等差数列、等比数列的综合问题是新高考命题的热点之一，对这类
问题应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等
差、等比数列的求和、裂项相消法求和及错位相减法求和．
巩固训练1
[2023·河南洛阳模拟]已知数列 an 是公差大于1的等差数列，前n项
和为Sn，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．
15；②S7＝5a6，a2＝3；③2Sn＝n(n＋3)”三个条件中任选一个，补充
到下面的横线上，并解答．
已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且________．
(1)求 an 的通项公式；
1
1
(2)若bn＝
，求 bn 的前n项和为Tn，求证：Tn< .
an an+1
2
真题展台
1.[2022·新高考Ⅱ卷]已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数
列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
2．[2021·全国甲卷]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n
项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn }是等差数列；③a2＝3a1.
例3 [2023·河北沧州模拟]已知数列 an 满足a1＝2，前n项和为Sn，且
an＋1＋an＝3×2n.
(1)写出a2，a3，并求出数列 an 的通项公式；
(2)在①bn＝log2 an an+1 + λ ；②bn＝log2(Sn＋λ)这两个条件中任选一
个补充在下面横线中，并加以解答．若数列 bn 满足________，求实