第二章 ⑤有理数的乘方、科学计数法、混合运算

七年级上数学教案基础Ⅰ类
第二章、有理数及其运算
五、有理数的乘方、科学计数法及混合运算
（一）乘方的引入
1、看下面的故事：从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。

他想，天
天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一
半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭
了！请思考，再算一算，如果把整块面包看成整体“1”，那第十天他将吃到面包
的 ，那么他的想法可行吗？
２、拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再
拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条.想想看，捏合 次后，就可以拉出３２根面条。

3、一般地，n 个相同因数a 相乘，即个a
n a a a a ⨯⨯⨯⨯，记作n a ，读作a 的
n 次方（或a 的n 次幂），乘方的结果叫做幂。

在n a 中，a 叫做底数，n 叫作指
数。

特别地一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即155=，
指数为1通常省略不写。

将下列各式写成乘方（即幂）的形式：
（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）＝ .
()2008x x x x ⋅⋅⋅⋅个＝
思考：（-2）4和-24的意义一样吗？为什么？
例1、计算
（1）35 （2）43-（） （3）3
12⎛⎫- ⎪⎝⎭
（4）46 从例题1可以知道：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数
的偶次幂是正数，0的任何非零次幂都是零。

乘方的理解：
①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求n 个相同因数连乘的简便形式；
②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；
③乘方具有双重含义：既表示一种运算，又表示运算的结果；
④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用括号把底数括起来，以体现底数的整体性。

计算并记忆下列各数的平方和立方：
211= 224= 239= 2416= 2525=
2636= 2749= 2864= 2981= 210100
= 211121= 212144= 213169= 214196
= 215225= 216256
= 311= 328= 3327= 3464= 35125= 36216=
（二）、科学计数法
现实生活中，我们会遇到一些比较大的数，如太阳的半径、光速，日前世界人口等，读写这样大的数有一定的困难，先看10的乘方的特点：
210100= 3101000= 610=1000 000 910=1000 000 000
10100n =（在1后面有 个0）
对于一般的大数如何简单地表示出来？
3000 000 000 3=×1000 000 000 83=×10
6960006961000 6.96==××100 000 56.9610=×读作6.96乘10的5次方（幂） 像上面这样，把一个大于10的数表示成a ×10n
的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n 是整数），使用的是科学记数法，“科学记数”谨记三点：
（1）弄清a ×10n 中的a 的取值范围（110≤<a ）
（2）正确确定a ×10n 中的n 的值，当所记数绝对值大于10时，n 是正整数，当所记数绝对值小于1时，n 是负整数。

（3）会将用科学记数法表示的数还原。

提醒：a 符号与原数的符号相同，如：将37000-科学记数时，a 为 3.7-而
不是3.7。

（三）、有理数运算的顺序
有理数的混合运算顺序：（1）先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号里的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

（四）、有理数的乘方
什么叫做有理数的乘方？什么是幂、底数、指数？多个不为0的数相乘，积的符号怎样确定？
（五）、科学计数法与有效数字
a⨯中a的什么叫做科学计数法？科学计数法有什么好处？科学计数法10n
取值范围是多少？n与原数的位数有何关系？
（六）、有理数的混合运算
加入乘方后，有理数混合运算的顺序如何？
（七）、练习1：有理数的乘方
一.填空题
1、0n=（n为正整数）1n=(n为整数)
n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1后面有____个0),
2、101000
3、0.1n=0.00…01 (1前面有______个0)
4、2(3)-= ；23______-=
5、已知n 是正整数，那么2(1)n -= ，21(1)n +-=
6、如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个有理数是 。

A 、正数
B 、负数
C 、0
D 、任何有理数
7、平方等于9的数是 ，立方等于27的数是 ，平方等于本身的
数是 ，立方等于本身的数是
8、把333()444
-××写成乘方形式 。

9、若249
x =，则x = 若327x =-，则x =
二、计算题：
1. 2010(1)- 5
(2)- 38 3(5)- 41()2
- 4(10)- 3
(2)-- 223-× 2、计算：23456789102222222222--------+
3、2
32______=，
4、观察下列数，根据规律写出横线上的12；34-；58；716-；______； （八）练习2：科学计数法
1、用科学记数法表示下列各数：
1000 00 572 000 000 30900000-
-800000 567000
0.000032 0.000000015
2、下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
7110× 4.5610× 7.04510× 3.96410× 7400-510×
3、下列各数，属于科学记数法表示的是 。

A 、53.7210×
B 、0.537410×
C 、537210×
D 、5.37310×
4、在比例尺为1：8000 000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4㎝，将 实际距离用科学记数法表示为 ㎞。

5、第五次人口普查知山西省人口总数约为3297万人，保留三位有效数字，用 科学记数法表示是多少人？
6、地球绕太阳公转的速度约为 1.1510×㎞/h ，声音在空气中传播速度为330m/s,试比较这两个速度的大小。

（九）练习3：有理数的混合运算
1.计算题
（1）3114(2)11(2)425⎡⎤-----⎢⎥⎣
⎦×÷÷
（2）2
233311(12)674⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦÷×(-)
（3）3232333519143()2(1)()()251949252
⨯--⨯⨯-+⨯-(-)
(4)223311233(3)3()2⎡⎤-----⎣⎦×÷÷
(5)20092010(0.25)4×
(6)14533⨯÷⨯ (7)14566⎛⎫⨯÷⨯ ⎪⎝⎭
2、观察下面行数： ① -3，9，-27，81，-243，729，…
② 0，12，-24，84，-240，732，…
③ -1，3，-9，27，-81，243，…
（1）第①行数有什么规律？
（2）第②行数与第①行数有什么关系？
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和。

3、x 、y 为有理数，且212(3)0x y -++=，求22
32x xy y -+的值。

4、一根1米长的绳子，第一次剪去12，第二次剪去剩下的12
，如此剪下去，第 六次后剩下的绳子还有1厘米长吗？为什么？
总结：
1.一般地，n 个相同因数a 相乘，即个a
n a a a a ⨯⨯⨯⨯，记作n a ，读作a 的n 次方（或a 的n 次幂），乘方的结果叫做幂。

在n a 中，a 叫做底数，n 叫作指数。

特别地一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即155=，指数为1通常省略不写。

2.①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求n 个相同因数连乘的简便形式； ②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；
③乘方具有双重含义：既表示一种运算，又表示运算的结果；
④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用括号把底数括起来，以体现底数的整体性。

3.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是 数，0的任何正整数次幂都是0。

4.把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（110≤<a ，n 是整数）叫做科学记数法。

5.有理数的混合运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同 5、已知22(1)0-+-=ab b ，求
1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)+++++++++ab a b a b a b 的值。