一元函数的导数及其应用 单元测试-2021-2022学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
第一部分（选择题60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2021福建福州高二上期末）下列求导运算正确的是（ ）
A ．(sin x ＋cos x )'＝cos x ＋sin x
B ．(x ln x )'＝
1x
C ．(e 2x )'＝e 2x
D ．1e e x
x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭
2．（2021广东深圳实验学校高二上第二阶段考试）函数y ＝f (x )在区间（a ，b ）内可导，且x 0∈（a ，b ），若000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--＝2，则f '(x 0)＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．不确定
3．（2020山东聊城高二下期末教学质量抽测）函数y ＝f (x )的导函数y ＝f '(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是（ ）
4．（2021湖南常德高二上期末）函数f (x )＝e
x x
在区间[0，3]上的最大值为（ ） A ．0
B ．1e
C ．22e
D ．33e
5．（2021吉林白山高二上期末）已知函数f (x )＝x 3＋kx －k ，则“k ＜0”是“f (x )有极值”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（2021山东临沂高三上期末检测）已知函数g (x )的图象关于y 轴对称，当x ∈(－∞，0]时，g'(x )＜0，g (2)＝0．若g (x )＝f (x ＋1)，则(x ＋1)f (x )＞0的解集为（ ） A ．（3，＋∞） B ．{x |x ∈R ，x ≠1}
C ．（1，＋∞）
D ．{x |x ＜－1或x ＞3}
7．（2021天津耀华中学高二下期末）设函数f '(x )是奇函数f (x )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf '(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（－1，0）∪（1，＋∞） B ．（－∞，－1）∪（0，1）
C ．（－∞，－1）∪（－1，0）
D ．（0，1）∪（1，＋∞）
8．（2021安徽淮南高二上期末）已知函数f (x )＝ln 0(2)e 0x x
x x x x ⎧⎪
⎨⎪+⎩
，＞，，≤，若函数g (x )＝f (x )－a
仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．（2，＋∞）
B ．（2，＋∞）∪31e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，-
C ．31e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，-
D ．12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∪31e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，-
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（2021山东青岛高二上期末）如图是函数y ＝f (x )的导函数f '(x )的图象，则下面判断正确的是（ ）
A ．f (x )在（－3，1）上单调递增
B ．f (x )在（1，3）上单调递减
C ．f (x )在（1，2）上单调递增
D ．当x ＝4时，f (x )取得极小值
10．（2021湖南郴州高二上期末）已知函数f (x )＝13
x 3＋x 2－2在区间（a －2，a ＋3）上存在最小值，则整数a 可以取（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
11．（2021山东临沂高二上期末）设函数f (x )＝x ·ln x ，则关于x 的方程 | f (x ) |－m ＝0的实数根的个数可能为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．（2021河南南阳高三上期中）已知函数f (x )＝sin x ＋x 3－ax ，则下列结论正确的是（ ） A ．f (x )是奇函数
B ．当a ＝－3时，函数f (x )恰有两个零点
C ．若f (x )为增函数，则a ≤1
D ．当a ＝3时，函数f (x )恰有两个极值点
第二部分（非选择题90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2021河南名校高二上质量检测）函数 f (x )＝ln x 在区间[1，e]上的平均变化率为 ．
14．（2021河南天一大联考高二上期末）函数y ＝13
x 3
－2x 2－96x ＋8的极小值是 ．
15．（2021山东二模）已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，也是曲线y ＝ln x ＋m 的切线，则实数k ＝ ，实数m ＝ ．
16．（2021陕西西安铁一中学高二上期末）若函数f (x )＝(2－a )21(2)e 2x x ax ax ⎡⎤
--+⎢⎥⎣⎦（a
∈R ）在12⎛⎫
⎪⎝⎭
，1上有最大值，则a 的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（本小题满分10分）（2020山东潍坊高二上期末）已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋
3a)e x（x∈R），其中a＜2
3
．
（1）当a＝0时，求曲线y＝f (x)在点（1，f (1)）处的切线方程；
（2）求函数f (x)的单调区间与极值．
18．（本小题满分12分）（2021天津红桥高三上期末）已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，记f(x)的导数为f '(x)．若曲线f (x)在点（1，f (1)）处的切线斜率为－3，且x＝2时y＝f (x)有极值．
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）求函数f (x)在[－1，1]上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）（2021陕西宝鸡高二上期末）已知函数f (x )＝x ＋(1－a )ln x ＋
a
x
(a ∈R )． （1）讨论函数f (x )的单调性；
（2）当a ＞0时，若f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分12分）（2021安徽皖江名校联盟二联）新冠肺炎疫情发生后，某地政府为了支持企业复工复产，决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在x ∈[4，8]的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款 f (x )（万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%．经测算，政府决定采用函数模型f (x )＝4x m
x
＋4（其中m 为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数m ＝12是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）（2021河北张家口高三上期末）已知函数f (x)＝e x－ax－1．（1）当a＝2时，求曲线在（1，f (1)）处的切线方程；
（2）若g (x)＝f (x)－x2，且g (x)在[0，＋∞)上的最小值为0，求a的取值范围．
22．（本小题满分12分）（2021山西晋中、大同高三上期末）已知函数f (x)＝a ln x2＋1 x
（a≠0）．
（1）讨论函数f (x)的单调区间；
（2）若f (x)在x∈（0，＋∞）上存在两个不同的零点x1、x2，求a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．D；2．A；3．D；4．B；5．C；6．A；7．B；8．D．
二、多项选择题
9．CD；10．BCD；11．BCD；12．ACD．
三、填空题
13．
1
e1
；14．－856；15．e；2；16．（√e，2）
四、解答题
17．（1）当a＝0时，f (x)＝x2e x，f (1)＝e，
f'(x)＝(x2＋2x)e x，所以f'(1)＝3e．
故所求切线方程为y－e＝3e(x－1)，即y＝3e x－2e．（2）f'(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x．
令f'(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2．
由a＜2
3
知，－2a＞a－2，列表如下：
x（－∞，a－2）a－2 （a－2，－2a）－2a（－2a，＋∞）
f'(x) ＋0 －0 ＋
f (x) ↗极大值↘极小值↗
所以f (x)的增区间为（－∞，a－2），（－2a，＋∞），减区间为（a－2，－2a）．函数f (x)在x＝a－2处取得极大值，且极大值为f (a－2)＝(4－3a)e a-2．
函数f (x)在x＝－2a处取得极小值，且极小值为f (－2a)＝3a e-2a．
18．（1）由题意得f'(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f'(1)＝3＋2a＋b＝－3，f'(2)＝12＋4a＋b＝0，
解得a＝－3，b＝0，经检验，满足题意．
所以f (x)＝x3－3x2＋1．
（2）由（1）知，f(x)＝x3－3x2＋1，∴f'（x）＝3x2－6x，
令f ' (x )＝0，解得x ＝0或x ＝2，
当－1＜x ＜0时， f '(x )＞0， f (x )在（－1，0）上是增函数， 当0＜x ＜1时， f '(x )＜0， f (x )在（0，1）上是减函数，
所以f (x )的极大值为f (0)＝1，又f (1)＝－1， f (－1)＝－3， 所以f (x )在[－1，1]上的最大值为1，最小值为－3．
19．（1）易得f (x )的定义域为（0，＋∞），
由题意，得f '（x ）＝1＋
22
1(1)()
a a x x a x x x -+--=
，
若a ≤0，当x ＞0时， f ' (x )＞0， f (x )单调递增，
若a ＞0，当x ＞a 时， f ' (x )＞0， f (x )单调递增，当0＜x ＜a 时， f '(x )＜0， f (x )单调递减．
综上，当a ≤0时， f (x )在（0，＋∞）上单调递增；
当a ＞0时， f (x )在（a ，＋∞）上单调递增，在（0，a ）上单调递减．
（2）由（1）知，当a ＞0时， f (x )在（a ，＋∞）上单调递增，在（0，a ）上单调递减，
∴f (x )min ＝f (a )＝a ＋(1－a ）ln a ＋1，若f (x )≥2恒成立， 则a ＋(1－a )ln a ＋1≥2，∴(a －1)(ln a －1)≤0，
∵当0＜a ＜1时，ln a ＜0，∴不等式(a －1)(ln a －1)≤0不成立，
∴1ln 1a a ⎧⎨⎩
≥，
≤，解得1≤a ≤e ，
∴a 的取值范围为[1，e]． 20．（1）当m ＝12时，f (x )＝
124x x -＋4（x ∈[4，8]），所以f '(x )＝2112
4x
+＞0， 所以函数f (x )在x ∈[4，8]上为增函数，满足条件①．
由不等式
124x x -＋4≥1
2
x ，x ∈[4，8]，可得x 2－16x ＋48≤0，
设g （x ）＝x 2－16x ＋48，x ∈[4，8]，则g （x ）图象的对称轴为直线x ＝8， 所以g （x ）在x ∈[4，8]上为减函数且g （4）＝0， 所以f （x ）＝
124x x -＋4≥1
2
x 恒成立， 综上可得，当使用参数m ＝12时满足条件．
（2）由函数f (x )＝
4x m
x
-＋4， 可得f '(x )＝222
1444m x m
x x ++=，
所以当m ≥0时， f '(x )＞0，满足条件①，
当m ＜0时，由f '(x )＝0，可得x ＝（负值舍去）， 若f (x )在[4，8]上单调递增，
则≤4，解得－4≤m ＜0， 综上可得，m ≥－4．
由条件②可知，f (x )≥2x 在[4，8]上恒成立，即不等式4x m
x +≤4在x ∈[4，8]上恒成立，
等价于m ≤14
-x 2＋4x ＝－1
4
(x －8)2＋16在x ∈[4，8]上恒成立． 当x ＝4时，y ＝－
1
4
(x －8)2＋16（4≤x ≤8）取最小值，最小值为12，所以m ≤12． 综上，参数m 的取值范围是[－4，12]．
21．（1）当a ＝2时， f (x )＝e x －2x －1，
∴f '(x )＝e x －2， f '（1）＝e －2， 又f （1）＝e －3，
∴切线方程为y －(e －3)＝(e －2)(x －1)， 即(e －2)x －y －1＝0．
（2）由题意得g (x )＝e x －x 2－ax －1． ∵g (0)＝f (0)－0＝0，
∴原条件等价于在（0，＋∞）上，g （x ）＝e x －x 2－ax －1≥0，
整理得a ≤2e 1
x x x --，
令h (x )＝2e 1
x x x
--（x ＞0），
则h' (x )＝222
(e 2)(e 1)(1)(e 1)
x x x x x x x x x x
-------=，
令m (x )＝e x －x －1，则m' (x )＝e x －1，
在（0，＋∞）上，m' (x )＞0，m (x )单调递增，
又m (0)＝0，
∴在（0，＋∞）上，e x －x －1＞0，
故在（0，1）上，h' (x )＜0；在（1，＋∞）上，h' (x )＞0， ∴h (x )的最小值为h (1)＝e －2，∴a ≤e －2．
22．（1）易得函数f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
f ' (x )＝222121a ax x x x --=，
若a ＜0，当x ∈12a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，时，f ' (x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（0，＋∞）时， f ' (x )＜0， f (x )单调递减；
若a ＞0，当x ∈（－∞，0），102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，时， f '(x )＜0， f (x )单调递减， 当x ∈12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，时， f '(x )＞0， f (x )单调递增． 综上，当a ＜0时， f (x )在12a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，（0，＋∞）上单调递减；当a ＞0时， f (x )在（－∞，0），102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增．
（2）由（1）知，a ＜0不合题意，故在a ＞0的情况下考虑，
当a ＞0时，若x ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，则f '(x )＜0， f (x )单调递减， 若x ∈12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，，则f ' (x )＞0， f (x )单调递增， 故f (x )在x ＝12a 处取得极小值，也是最小值，为f 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝－2a ln(2a )＋2a ， 要想 f (x )在x ∈（0，＋∞）上存在两个不同的零点，需 f 12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝－2a ln(2a )＋2a ＜0⇔2a [1－ln(2a )]＜0⇔ln （2a ）＞1，解得a ＞e 2
，
当x ＝2136a ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，易得f 2136a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝－2a ln(36a 2)＋36a 2＞0， 因此f (x )在102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上存在一个零点， 当x ＝1∈12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，时， f (1)＝1＞0，因此f (x )在12a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上存在一个零点， 综上，a ＞e 2．。