2021届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考数学试题(解析版)

2021届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题
1．已知集合{42}M x
x =-<<∣，{}260N x x x =+-<∣，则M N =（ ）
A ．{33}x x -<<∣
B ．{32}x
x -<<∣ C ．{22}x x -<<∣ D ．{23}x
x <<∣ 【答案】B
【分析】解一元二次不等式求出集合N ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得{}()(){}
{}26032032N x
x x x x x x x =+-<=+-<=-<<∣， 又∵{42}M x
x =-<<∣ ∴{}32M N x x ⋂=-<<． 故选：B ．
2．若实数x ，y 满足约束条件20
27030x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则2z y x =-的最小值为（ ）
A ．1
B ．13
C ．7-
D ．9-
【答案】C
【分析】根据约束条件画出可行域，再根据目标函数的几何意义求解最小值即可. 【详解】由实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，画出示意图如下：
将目标函数2z y x =-化成斜截式得：2y x z =+， 则z 的几何意义是斜率为2的直线在y 轴上的截距， 由图可知，当直线过(5,3)A 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时min 3257z =-⨯=-， 故选：C
【点睛】简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．
3．函数()f x 的图象如下，最恰当的解析式为（ ） A ．(sin c s )o y x =
B ．cos(sin )y x =
C ．sin(sin )y x =
D ．cos(cos )y x =
【答案】D
【分析】先分析各选项中函数的奇偶性，然后在奇偶性满足的选项中分析(),02f f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的
大小关系，由此判断出最恰当的解析式.
【详解】每个选项中的函数()f x 的定义域均为R ，关于原点对称， A ．()()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==，为偶函数；
B ．()()()()()()cos sin cos sin cos sin f x x x x f x -=-=-==，为偶函数；
C ．()()()()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x f x -=-=-=-=-，为奇函数；
D ．()()()()()cos cos cos cos f x x x f x -=-==，为偶函数；
由图象可知()f x 为偶函数，排除C ；又由图象可知()02f f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
在A 中：()()sin cos sin 00,0sin cos 0sin1022f f ππ⎛⎫⎛
⎫=====> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；
在B 中：()()cos sin cos1,0cos sin 0cos 01cos122f f ππ⎛⎫⎛⎫
=====> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，不符合；
故选：D.
4．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．1
3
B ．
23
C ．
233
D ．
223
【答案】D
【分析】首先还原几何体，再根据几何体的结构特征求体积即可. 【详解】由三视图分析几何体结构，得到如图所示几何体， 该几何体为正方体截去了左右顶点的两个三棱锥，
所以此几何体的体积为1122
82112323-⨯⨯⨯⨯⨯=，
故选：D
【点睛】
(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 5．已知条件:1p t =，条件q ：直线1x ty =-与圆221
2
x y +=相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先根据直线与圆相切求得1t =±，最后根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围做出判断即可.
【详解】因为直线1x ty =-与圆2212
x y +=相切，
则d =
=1t =±，
所以条件q ：1t =±， 又因为条件:1p t =，
所以p 是q 的充分不必要条件； 故选：A
【点睛】本题主要考查充分必要性的判断，主要根据就是小范围能推出大范围，大范围推不出小范围，在备考过程中，要多总结提高.
6．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量ξ．则ξ的数学期望()E ξ是（ ） A ．
65
B ．75
C ．85
D ．95
【答案】B
【分析】首先列出分布列，然后由期望的定义计算即可. 【详解】ξ的可能取值为0，1，2.
()273
2
10
k k C C P k C ξ-==， ∴()1015P ξ==
，()7115P ξ==，()7215
P ξ==， ξ的分布列为
∴()17770121515155
E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故选：B.
7．若10210
01210(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，x ∈R 则下列结论正确的是（ ）
A ．01024a =-
B ．12101a a a ++⋅⋅⋅+=-
C ．10
012103a a a a +++⋅⋅⋅+=
D ．123923910a a a a +++⋅⋅⋅+=
【答案】C
【分析】A ．令0x =可计算出0a 的值；
B ．令1x =结合0x =的结果可计算出1210...a a a +++的值；
C ．分别令1x =±，然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出
01210a a a a +++⋅⋅⋅+的值；
D ．将原式求导，然后令1x =即可得12309110239a a a a a +++⋅⋅+⋅+的值，再根据展开式的通项公式即可求解出10a 的值，则1239239a a a a +++⋅⋅⋅+的值可求. 【详解】A ．令0x =，所以()10
100221024a =-==，故错误；
B ．令1x =，所以01210...1a a a a ++++=，所以1210...1023a a a +++=-，故错误；
C ．令1x =-，所以()1010
01210...33a a a a -+-+=-=，又01210...1a a a a ++++=， 所以()10024102...31a a a a ++++=+，()10
13592...13a a a a ++++=-，
又因为()102x -的展开式通项为()1010
2r
r
r C x -⋅⋅-，所以当r 为奇数时，项的系数为负数， 所以101010012103113322a a a a +-+++⋅⋅⋅+=+=，故正确； D ．因为()10
210012102x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，所以求导可得：()9
291231010223...10x a a x a x a x -=++++，
令1x =，所以1239102391010a a a a a +++⋅⋅⋅++=-，
又因为展开式通项为()1010
2r r
r C x -⋅⋅-，当0r =时，()0
0101021C a ⋅-==， 所以1239101032029a a a a +++⋅⋅⋅+=--=-，故错误； 故选：C.
8．若数列{}n a 的通项公式为()2
2020
n n
a n n *=∈+N ，则这个数列中的最大项是（ ） A ．第43项 B ．第44项 C ．第45项 D ．第46项
【答案】C
【分析】设()22020
x f x x =+，化简得到
()1
2020f x x x
=
+
，结合基本不等式，求得当x
()f x
取得最大值，再根据数列的通项公式和4445，即可求解.
【详解】根据题意，设()2
(0)2020
x f x x x =>+，则()1
2020f x x x =
+，
因为2020x x +
≥
x
则当x 2020
x x
+取得最小值，此时()f x 取得最大值，
对于数列{}n a ，其通项公式为()2
2020
n n
a n n *=∈+N ，
又由4445，则有44452
24445
442020452020
a a =<=++，
所以数列中最大项为第45项. 故选：C.
9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且1
13AM MD =，13BN NB =，11AP xAC yBD =+，,x y R ∈，则MP NP +的最小值为（ ）
A
B
C
． D
【答案】A
【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量坐标运算，利用
11AP xAC yBD =+可求得P 点轨迹为平面11ABC D ，求出M 关于平面11ABC D 对称点
1M ，从而得到11MP NP M P NP M N +=+≥，由此可求得最小值.
【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 正方向为,,x y z 轴可建立如图所示空间直角坐标系，
113A M MD =，又111A M MD
+=，1A M ∴
=，1MD =
同理可得：BN
=
，1
NB =， ()0,0,0A ，()11,1,1C ，()1,0,0B ，()10,1,1D ，()11,1,1AC ∴=，()11,1,1BD =-， ()()()1,1,11,1,1,,AP x y x y x y x y ∴=+-=-++，
P ∴的轨迹为y z =（平面），即平面11ABC D ；
点M 关于平面11ABC D 对称点1M 在1DD 上且满足1113DM M D
=，1M ⎛∴ ⎝⎭
； 11MP NP M P NP M N ∴+=+≥（当且仅当1,,M P N 三点共线时取等号）
，
1M ⎛ ⎝
⎭，N ⎛ ⎝⎭
，11M N ∴=+=
MP NP ∴+
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求得动点P 的轨迹，进而结合轨迹，利用对称性得到最值.
10．已知函数ln(),0()1,0x x f x x x
-<⎧⎪
=⎨->⎪⎩的图像与曲线22220x y ay a ---=恰有4个交点，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．01a << B ．12a << C ．02a << D ．13a <<
【答案】B
【分析】首先化简曲线22220x y ay a ---=得到两直线，接着根据数形结合求得实数a 的取值范围.
【详解】由22220x y ay a ---=得22222()x y ay a y a +=+=+， 开平方得()x y a =±+，即0x y a ±--=，
所以函数ln(),0
()1,0x x f x x x
-<⎧⎪
=⎨->⎪⎩的图像与两条直线0x y a ±--=共有四个交点，
如图画出示意图：
由于两条直线0x y a ±--=斜率为±1，截距为a -，
当y x a =--与函数()f x 的左半支相切时，1a =，此时两直线与函数()f x 图像有3个交点；
当y x a =-与函数()f x 的右半支相切时，2a =，此时两直线与函数()f x 图像有5个交点；
由图可得：当12a -<-<-即12a <<时，两直线与函数()f x 图像有4个交点； 故选：B
【点睛】本题主要考查函数图像交点个数的问题，解决本题主要通过数形结合给出参数的取值范围，关键在于把握满足题意的临界状况，根据求切线斜率及截距给出范围，在平时做题时要多总结多提高. 二、填空题
11．将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答．．．．．） 【答案】150
【分析】首先确定将5名同学分成3组共有两种分法，接着计算每种分法下安排方法种数，最后相加即可.
【详解】将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，分组方法有（113），（122）两种分法，
当分成（113）时，有33
5360C A =种安排方法；
当分成（122）时，有223
53322
90C C A A =种安排方法；
综上，共有150种安排方法. 故答案为：150
【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 12．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上第一象限内的点，O
是原点．若2||FO FP PF ⋅=，则椭圆C 离心率的取值范围是______．
【答案】⎫
⎪⎪⎣⎭
【分析】设出P 点坐标00,x y ，根据2||FO FP PF ⋅=得到关于0x 的一元二次方程，根据方程有解0∆≥求得,a b 之间的不等关系，结合222a b c =+可求解出离心率的取值范围.
【详解】设()00,P x y ，(),0F c ，所以()()00,,,0FO c FP x c y =-=-，所以20FO FP c cx =-⋅，
又()22200PF x c y =-+，所以()2
2
200
0x c y c cx -+=-，所以220000x cx y -+=， 又2200221x y a b
+=，所以22
22
00020b x x cx b a -+-=，所以2220020c x cx b a -+=，
因为上述方程有正数解，只需2
2
2
240c c b a
∆=-⋅≥，
所以224a b ≥，所以2243c a ≥，
所以2
3
4e ≥
且01e <<，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭
e .
故答案为：⎫
⎪⎣⎭
.
13．设32
1()(1)()3
f x x ax a x a =++-∈R ，若对于满足()()()123f x f x f x ==的三个不同
实数(1,2,3)i x i =，恒有1223134x x x x x x -+-+-≤，则实数a 的最小值为______． 【答案】1-
【分析】设()()()123f x f x f x k ===，且123x x x <<，则满足
()()()()123f x k x x x x x x -=---，原不等式化简可得312x x -≤，结合展开式的根与系数关
系可得()1231223131
13x x x a x x x x x x a ++=-⎧⎪⎨++=-⎪⎩
，将()231x x -变形为()2
13134x x x x +-，再结合根与系数关系化简，由配方法和二次函数性质放缩即可求解 【详解】设()()()123f x f x f x k ===，且123x x x <<，
则1223131223134x x x x x x x x x x x x -+-+-=-+-+-+≤，即312x x -≤，由题意知，
()()()()232131
(1)03
x f x k x x x x a x ax x k x ++-=-----==，
即()()32
1231223131230x x x x x x x x x x x x x x x -+++++-=，
根据对应关系有：()1231223131
13x x x a x x x x x x a ++=-⎧⎪
⎨++=-⎪⎩
， 故()()()()()2
2
2
31131322131
4413x x x x x x a x a x x x ⎡⎤
-=+-=-----+⎢⎥⎣⎦
2
22244444433333333a a a a a x ⎛
⎫=-++-+≤-+ ⎪⎝
⎭，
故只需满足2444
4333
a a -+≤，即220a a --≤，解得[]1,2a ∈-，故a 的最小值为1- 故答案为：1-
【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，二次函数的性质，考查了转化与化归思想，其中对于三次函数的根与系数的关系接触较少，应类比于二次函数推导关系进行求解，属于难题 三、双空题
14．设平面向量(1,2)a =，(3,)b x =-，//a b ，则x =______，||b =______． 【答案】6
-【分析】首先根据向量平行的坐标运算求出x ，然后根据向量的模长公式计算可得||b . 【详解】∵(1,2)a =，(3,)b x =-，//a b ， ∴()123x ⋅=⨯-，∴6x =-，
∴(3,6)b =--，
∴()2||3b =
-
故答案为：6-；.
15．设复数z a bi =+（i 是虚数单位），若232z z i +=+，则a =______，b =______． 【答案】1 2-
【分析】首先表示出z ，然后根据复数的加法运算得出23z z a bi +=-，然后根据复数相等列出方程组，解之即可得到结果. 【详解】∵z a bi =+，∴z a bi =-
∵232z z i +=+，∴()232a bi a bi i ++-=+，即332a bi i -=+
根据复数相等可得332a b =⎧⎨-=⎩，即1
2a b =⎧⎨
=-⎩ 故答案为：1,2-.
16．函数()sin 2cos 226f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最小正周期为____________，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，
()f x 的值域为____________．
【答案】2π⎡⎢⎣
⎦
【分析】首先化简函数1()sin(4)23f x x π=++调性求值域.
【详解】因为1()sin 2cos 2cos 22sin 2)262f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
114sin 4sin(4)423x x x π=
+=+， 所以()f x 的最小正周期为242
T ππ==， 因为0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦， 44333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，
所以
sin(4)3x π⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，
故1sin(4)023x π⎡+⎢⎣⎦，
()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦
，
故答案为：2π；⎡⎢⎣
⎦；
17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()1
x
x a
f x e x +=-
+，则a =____________，若(|1|)(2)f m f m ->，则实数m 的取值范围是______．
【答案】1 1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【分析】由奇函数的定义得(0)0f =，结合函数解析式可得a 的值，再对函数求导讨论其单调性，结合不等式解出m 的范围.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故(0)0f =，
当0x ≥时，2()=1
x
x a
f x e x +-
+，则(0)10f a =-=，1a =， 所以当0x ≥时211
()==211
x
x x f x e e x x +-
+-++， 有()
2
1
()=01x
f x e x '-
>+，
则()f x 在[)0+∞，
上为增函数， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在(]0-∞，
上增函数， 所以()f x 在R 上为增函数；
若(1)(2)f m f m ->，必有12m m ->， 即{1
12m m m ≤->或{1
12m m m >->，解得1
3
m <，
即m 的取值范围为：13⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，，
故答案为：1；13⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭，
四、解答题
18．已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，b a c <<，且2c b =，
1
cos sin 5
A A -=-． （1）求函数sin A 的值；
（2）若ABC 的面积为20，求a 的值．
【答案】（1）4
sin 5
A =
；（2）a =【分析】（1）根据边的大小关系确定角A 为锐角，结合同角的平方关系，解方程即可； （2）结合（1）的结果以及已知条件求出10c =，5b =，然后根据余弦定理即可求出结果.
【详解】解：（1）因为b a c <<，所以A 为锐角
由1cos sin 5A A -=-，结合22cos sin 1A A +=，求得3
cos 5
A =，4sin 5A =．
（2）由（1）知4
sin 5
A =
根据面积公式1
sin 2
S bc A =可求得50bc =，
结合2c b =，求得10c =，5b =，
又由余弦定理求得2
310025250655
a =+-⨯⨯=，
所以a =
19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AC ，AB AC ⊥，1AC BC ⊥，1120CBB ∠=︒．
（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ； （2）求直线11B C 与平面1ABC 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取BC 中点E ，连接AE 和1C E ，根据AB AC ⊥和1AC BC ⊥，证得BC ⊥面1AEC ，得到1BC C E ⊥，利用勾股定理证得1C E AE ⊥，得到1C E ⊥面ABC ，进而证得
平面ABC ⊥平面11BB C C ；
（2）以E 为原点，射线EA 为x 轴，射线EC 为y 轴，建立空间直角坐标系，求得平面1ABC
的一个法向量(3,=-n 和向量11B C ，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】（1）取BC 中点E ，连接AE 和1C E ，设1AC ==因为AB AC ⊥，1AB AC ==且E 是BC 中点，
所以12AE BC =
=
且AE BC ⊥， 又因为1AC BC ⊥，且1
AC AE A =，可得BC ⊥面1AEC ，
因为1C E ⊂面1AEC ，所以1BC C E ⊥， 又因为E 是BC 中点，所以11C B C C =，
因为1120CBB ∠=︒，可得160C CB ∠=︒，所以1C CB △是等边三角形，
所以1C E =
222
11C E AE AC +=，所以1C E AE ⊥，
又因为1BC C E ⊥，且BC AE E =，所以1C E ⊥面ABC ，
又由1C E ⊂面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .
（2）以E 为原点，射线EA 为x 轴，射线EC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设12AC =，
则(1,0,0)A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C
，1C
，1(0,B -
可得11(0,2,0)BC =
，1(0,1
BC =，(1,1,0)BA =， 设平面1ABC 的一个法向量(,,)n x y z =，则100n BC n BA ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即0
0y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
，
取x =
1y z ==
，则(3,=-n ，
设直线11B C 与平面1ABC 所成角为θ，则111111
21
sin cos ,7
n B C n B C n
B C θ⋅===
⋅， 故直线11B C 与平面1ABC ． 20．已知数列{}n a 中，112
a =，()12122n n n n a a n *
++=-∈N ．
（1）求数列{}2n
n a 的通项公式；
（2）设数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ，求证2n T <．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）化简递推关系得到()112221n n n n a a n n +*+=++∈N ，构造新数列{}2n n a ，利
用累加法求其通项公式；（2）利用错位相减求和，再根据2
2
n n +>0证明2n T <. 【详解】解：（1）由()1112122
n n n n a a n *+++=+∈N
知()112221n n n n a a n n +*
+=++∈N
令2n
n n b a =，
则11b =且()121n n b b n n *
+=++∈N
由()()()2
112211(21)31n n n n n b b b b b b b b n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅++=,
所以2
2n n a n =.
（2）易知2
2
n n n a =，所以2n n a n n =，
于是123411234(1)222222
n n n n n T --=
++++⋅⋅⋅++ 所以2345111234(1)2222222
n n
n n n
T +-=++++⋅⋅⋅++ 两式相减得23451111111122222222n n n n T +=+++++⋅⋅⋅+-，
1111222n n n n T +=--，所以112
22222n n n n n n T -+=--=-，
由于
2
2n n +>0，所以2222
n n n T +=-<， 即2n T <得证．
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·
b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．
21．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N ，且当AF x ⊥轴时，||4MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线AN ，AM 分别交抛物线C 于G ，H （不同于A ），直线AB 交GH 于点P ，且直线AB 的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB 使得B ，H ，P ，M 四点共圆． 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.
【分析】（1）当AF x ⊥轴时得A ，B 点坐标及圆的方程，即||||24MN AB p ===可得答案；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，直线:1AB x my =+与抛物线方程联立12y y +、12y y ⋅，1y 和12x x +，圆的方程并令0y =，得34x x +，34x x ⋅， 即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥，再证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥可得答案.
【详解】（1）当AF x ⊥轴时，,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭
故圆的方程为2
222p x y p ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭，
即||||24MN AB p ===，得2p =，
故抛物线C 的方程为2
4y x =；
（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()3,0M x ，()4,0N x ，
直线:1AB x my =+，联立241y x
x my ⎧=⎨
=+⎩
得：2440y my --=，()2
Δ1610m =+>，
124y y m +=，124y y ⋅=-
，所以12y m ==+
∴()2
1212242x x m y y m +=++=+，故圆心()221,2m m +，
半径
()21||212r AB m ==+，
即圆的方程为()()2
2
22221(2)41x m y m m --+-=+，
令0y =，则()()2
2
22221441x m m m --+=+，
化简得：()22
4230x m x -+-=，
23442x x m +=+，343x x ⋅=-，
若B ，H ，P ，M 四点共圆，则090BPH BMH ∠=∠=， 即B ，H ，P ，M 四点共圆等价于HG AB ⊥， 下证：存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥， 设()55,H x y ，()66,B x y ，
直线()111:AM x x t y y -=-和直线()121:AN x x t y y -=-， 联立()
21114y x x x t y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得：2
11114440y t y t y x -+-=，
所以1514y y t +=，5114y t y =-，同理1624y y t +=，6214y t y =-，
∴()656522
65656512144
424
HG y y y y k y y x x y y t t y --=
===--++-，
又∵1311
x x t y -=，14
21x x t y -=，
∴
1134341
1
4242HG
y k x x x x x y y ==-=--+- 又1AB
k
m =，得HG k m =-=
，所以32m m m +=
， 即32m 62410m m --=，
设3()41f x x x =--，(0,)x ∈+∞，2()121f x x '=-，
故()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增，
又∵(0)10f =-<，0f <⎝⎭
，且(1)20f =>，
故存在唯一(0,)x ∈+∞满足()0f x =，
即存在唯一(0,)m ∈+∞，满足62410m m --=， 综上结论得证．
【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B ，H ，P ，M 四点共圆和证明存在唯一直线AB 满足HG AB ⊥，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.
22．设函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的最小值；
（2）设()()g x f x kx b =--存在两个不同零点1x ，2x ，记122
x x M +=，122x x
N -=，
求证：1()
ln
02g M N
<<． 【答案】（1）min ()=1
f x e
-；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用导函数求出函数的单调性，进而求出最小值；
（2）设()()g x f x kx b =--，首先利用导函数求出函数的单调区间，其次先证明()0g M N <，然后证明1()
ln 2g M N
<，在解题中涉及到基本不等式. 【详解】（1）函数()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞， ()1ln f x x '=+，
当10x e <<时，1
()()0f x f e ''<=，函数()f x 在1(0,)e 上单调递减；
当1
x e >时，1()()0f x f e
''>=，函数()f x 在1[,)e +∞上单调递增；
所以min 11()()f x f x f e e ⎛⎫
≥==- ⎪⎝⎭
；
（2）不妨设120x x <<,122x x M +=，212
x x
N -= ()(1)ln g x k x -+'=，
当10k x e -<<时，1()()0k g x g e -''<=，函数()g x 在1(0,)k e -上单调递减； 当1k x e ->时，1()()0k g x g e -''>=，函数()g x 在1,()k e -+∞上单调递增；
∴()g x 在()
10,k e -递减，在()1
,k e -+∞递增，
∴11(0,)k x e -∈，2x ∈1,()k e -+∞，()()120g x g x == ∴122x x M +=
()12x x ∈，，2102
x x
N -=> ∴()0g M <，
()
0g M N
< ∵()()120g x g x ==，即111ln 0x x kx b --=，222ln 0x kx x b --= ∴
112212ln ln 022x x x x x x k b ++⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，
∴121122ln ln 22x x x x x x k b ++⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
要证1()
ln 2g M N <， 即1()ln 2g M N >
即证1212112221ln ln ()ln ln 22222
x x x x x x x x x x
g M +++-=
->- 即证()()()()121212112212ln ln 2ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-+-->- 即证()1212121212
ln
ln ln 222x x x x
x x x x x x +++>- 又由于()2
12124x x x x +>，122
112
2ln
ln 2x x x x x x +>+， 所以只需证()21212121222ln
ln ln 22x x x
x x x x x x x ++>-+ 即证明()()2
121212
2ln
ln 2x x x x x x x ->-+， 即证212222x x x <+， 即证10x >
该式显然成立，于是原命题得证．
【点睛】导数中双变量问题，处理的方式一般是通过变形,把
2
1
x x 看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量，这是一种比较常见的解题方法，然而这道题目是利用倒推的思想来证明的,在化简中注意基本不等式的应用.。