第二章 一元函数微分学及其应用
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lim
x 0 x
x 0
x
L( x) lim
L( x) R( x) C ( x),
4、边际需求（书本65页）
4.2 弹性与弹性分析
弹性函数（书本66页）
若函数
y f (x)在
(a, b)可导，且对
x (a, b), f ( x) 0
则称
dy
Ey
x
边际函数
|Δx|要小得多，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似
代替曲线段
书本p73
3.基本微分公式
由函数微分表达式 dy =f'(x)dx
可知
计算导数的微分，就是计算函数的导数，再
乘以自变量的微分。
4.微分四则运算
• = ，＝（）都可导，C为常数
• 书本p74
个极大值；如果对此领域内任一点x (x不等
于x。)，都有f(x)>f(x。)，则称f(x。)是函数
f(x)的一个极小值.
定理2.7(可导函数存在的必要条件)
• 设函数f(x)在点x。处导数存在，且在x。处取得极
值，则f'(x。)=0.
定理2.8 (函数极值存在的第一充分条件)
如果函数y= f(x)在x。连续，在x。的两侧附近可导，
• （1）如果f′(x)>0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内单调增加；
• （2）如果f′(x)< 0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内单调减少；
• （3）如果f′(x)=0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内恒为常数，即f(x)=C（C为常数）.
• 导数值的大小及f(x)变化率的大小.如果f′(x)大，那么函数值
Ex ax b
Ey
y ax ,
b;
Ex
b
Ey
y ae ,
x.
Ex
x
经济学中常见的弹性函数
设商品的需求量为
需求的价格弹性（书本67页）
Q ， 价格为
p ，需求函数
Байду номын сангаас
Q Q( p)
可导，则称
EQ
p
Q ( p )
Ep Q( p )
为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为
f ( x) dx
y 平均函数
Ex f ( x)
x
为函数
y f (x)在区间 (a, b)内的点弹性函数，简称弹性函数。
，
Ey
x
f ( x)
Ex f ( x)
常用的弹性公式
（1）
（3）
（4）
（5）
Ey
y c,
0;
Ex
（2）
Ey
y ax,
1;
Ex
Ey
ax
;
y ax+b ,
当x从x。的左侧经过x。到达x。的右侧时：
（1）如果f‘(x)的符号由负变正，则f(x)在点x。去极
小值.
（2）如果f‘(x)的符号由正变负，则f(x)在点x。去极
大·值.
（3）如果f‘(x)的符号不变，则f(x)在点x。不去极值.
3.最大值与最小值
• 极值反映的是一个函数在局部上的最大或
最小性质，有时需要在整个定义区间上的
式，导数的四则运算法则，
反函数的求导法则及复合函
数的求导法则
定理:设函数 , ()在点处可导，则 ±
， , ()/()在点x处皆可导，且有：
2.3函数的单调性与极值
1.函数单调性的判断
2.极大值与极小值
3.最大值与最小值
1.函数单调性的判断
定理2.6 设函数y=f（x）在【a，b】内可导，那么
第二章 一元函数微分学及其应用
2.1导数的概念
2.2导数的运算法则
2.3函数的单调性与极值
2.4导数在经济学中的应用
2.5微分
第一节 导数的概念
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
引例
导数的定义
单侧导数
导数的几何意义与物理意义
可导与连续性的关系
小结
导数的运算法则
学习要求：
掌握基本初等函数的导数公
f(x)的变化就比较快，反映在图形上就是急剧上下变化的；
如果f′(x)小，那么函数值f(x)的变化就比较慢，反映在图形
上就是缓慢倾斜的.
2.极大值与极小值
• 定义2.3 设函数f(x)在x。的某领域有定义，
且对此领域内任意一点x（x不等于x。），
都有f(x)< f(x。)，则称f(x。)是函数f(x)的一
1、边际成本（书本64页）
C ( x 1) C ( x) C ( x) C ( x).
2、边际收益（书本65页）
R
R( x x) R( x)
R( x) lim
lim
x 0 x
x 0
x
3、边际利润（书本65页）
L
L( x x) L( x)
表示某商品
当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映
程度. 当价格上涨时，需求减少，因而
有
( p).
Q( p) 0, 从而 ( p) 一般为负值。
Q( p ) 是递减函数，
4．3经济中的优化问题
在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好
等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。
2.5 微分
1.微分的定义
2. 微分的几何意义
3.基本微分公式
4.微分四则运算
1.微分的定义
书本p72
书本p73
2. 微分的几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是
曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切
线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比
以求出函数在左右两端点的函数值以及可
能的极值点的函数值，则其最大者为最大
值，最小者为最小值.
第四节 导数在经济学中的应用
1.边际与边际分析
2.弹性与弹性分析
3.经济中的优化问题
4.1边际与边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济
济变量的变化率。
利用导数来研究经济变量边际变化
规律的方法叫作边际分析法。
最大或最小性质.
• 首先判断函数在定义区间上是否有最值；
其次，需要给出函数在定义区间的什么地
方取得最值；最后，确定函数最值.
极值与最值的区别
• （1）极值一定是区间内部的点，不可能在端点取
到.最值没有这个限制.
• （2）闭区间上的连续函数一定有最大与最小值.
• 所以，要求连续函数在[a，b]上的最值，可
x 0 x
x 0
x
L( x) lim
L( x) R( x) C ( x),
4、边际需求（书本65页）
4.2 弹性与弹性分析
弹性函数（书本66页）
若函数
y f (x)在
(a, b)可导，且对
x (a, b), f ( x) 0
则称
dy
Ey
x
边际函数
|Δx|要小得多，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似
代替曲线段
书本p73
3.基本微分公式
由函数微分表达式 dy =f'(x)dx
可知
计算导数的微分，就是计算函数的导数，再
乘以自变量的微分。
4.微分四则运算
• = ，＝（）都可导，C为常数
• 书本p74
个极大值；如果对此领域内任一点x (x不等
于x。)，都有f(x)>f(x。)，则称f(x。)是函数
f(x)的一个极小值.
定理2.7(可导函数存在的必要条件)
• 设函数f(x)在点x。处导数存在，且在x。处取得极
值，则f'(x。)=0.
定理2.8 (函数极值存在的第一充分条件)
如果函数y= f(x)在x。连续，在x。的两侧附近可导，
• （1）如果f′(x)>0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内单调增加；
• （2）如果f′(x)< 0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内单调减少；
• （3）如果f′(x)=0，x∈(a，b)，则函数在[a，
b]内恒为常数，即f(x)=C（C为常数）.
• 导数值的大小及f(x)变化率的大小.如果f′(x)大，那么函数值
Ex ax b
Ey
y ax ,
b;
Ex
b
Ey
y ae ,
x.
Ex
x
经济学中常见的弹性函数
设商品的需求量为
需求的价格弹性（书本67页）
Q ， 价格为
p ，需求函数
Байду номын сангаас
Q Q( p)
可导，则称
EQ
p
Q ( p )
Ep Q( p )
为该商品的需求的价格弹性，简称为需求弹性，常记为
f ( x) dx
y 平均函数
Ex f ( x)
x
为函数
y f (x)在区间 (a, b)内的点弹性函数，简称弹性函数。
，
Ey
x
f ( x)
Ex f ( x)
常用的弹性公式
（1）
（3）
（4）
（5）
Ey
y c,
0;
Ex
（2）
Ey
y ax,
1;
Ex
Ey
ax
;
y ax+b ,
当x从x。的左侧经过x。到达x。的右侧时：
（1）如果f‘(x)的符号由负变正，则f(x)在点x。去极
小值.
（2）如果f‘(x)的符号由正变负，则f(x)在点x。去极
大·值.
（3）如果f‘(x)的符号不变，则f(x)在点x。不去极值.
3.最大值与最小值
• 极值反映的是一个函数在局部上的最大或
最小性质，有时需要在整个定义区间上的
式，导数的四则运算法则，
反函数的求导法则及复合函
数的求导法则
定理:设函数 , ()在点处可导，则 ±
， , ()/()在点x处皆可导，且有：
2.3函数的单调性与极值
1.函数单调性的判断
2.极大值与极小值
3.最大值与最小值
1.函数单调性的判断
定理2.6 设函数y=f（x）在【a，b】内可导，那么
第二章 一元函数微分学及其应用
2.1导数的概念
2.2导数的运算法则
2.3函数的单调性与极值
2.4导数在经济学中的应用
2.5微分
第一节 导数的概念
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
引例
导数的定义
单侧导数
导数的几何意义与物理意义
可导与连续性的关系
小结
导数的运算法则
学习要求：
掌握基本初等函数的导数公
f(x)的变化就比较快，反映在图形上就是急剧上下变化的；
如果f′(x)小，那么函数值f(x)的变化就比较慢，反映在图形
上就是缓慢倾斜的.
2.极大值与极小值
• 定义2.3 设函数f(x)在x。的某领域有定义，
且对此领域内任意一点x（x不等于x。），
都有f(x)< f(x。)，则称f(x。)是函数f(x)的一
1、边际成本（书本64页）
C ( x 1) C ( x) C ( x) C ( x).
2、边际收益（书本65页）
R
R( x x) R( x)
R( x) lim
lim
x 0 x
x 0
x
3、边际利润（书本65页）
L
L( x x) L( x)
表示某商品
当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映
程度. 当价格上涨时，需求减少，因而
有
( p).
Q( p) 0, 从而 ( p) 一般为负值。
Q( p ) 是递减函数，
4．3经济中的优化问题
在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好
等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题。
2.5 微分
1.微分的定义
2. 微分的几何意义
3.基本微分公式
4.微分四则运算
1.微分的定义
书本p72
书本p73
2. 微分的几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是
曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切
线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比
以求出函数在左右两端点的函数值以及可
能的极值点的函数值，则其最大者为最大
值，最小者为最小值.
第四节 导数在经济学中的应用
1.边际与边际分析
2.弹性与弹性分析
3.经济中的优化问题
4.1边际与边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济
济变量的变化率。
利用导数来研究经济变量边际变化
规律的方法叫作边际分析法。
最大或最小性质.
• 首先判断函数在定义区间上是否有最值；
其次，需要给出函数在定义区间的什么地
方取得最值；最后，确定函数最值.
极值与最值的区别
• （1）极值一定是区间内部的点，不可能在端点取
到.最值没有这个限制.
• （2）闭区间上的连续函数一定有最大与最小值.
• 所以，要求连续函数在[a，b]上的最值，可