人教版高中数学必修5第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和

n (2 2n)
Sn
2
n(n 1).
3.等差数列5, 4, 3, 2, 前多少项和是-30？
解：a1 5,d 1, Sn 30.
n(n 1) Sn 5n 2 (1) 30 n 15 或 n 4(舍).
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn

n(a1 2
an ) ,Sn

na1

n(n 1) d
2
说明：两个求和公式的使用-----知三求一.
第2课时 等差数列习题课
1.能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的 实际问题； 2.能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等差数列 的实际问题．
重点：能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差 数列的实际问题．
伟大的数学家高斯十岁时,一天上数学课老师出了 一道题目：1+2+…+100=?其他同学忙用笔在纸上计算， 而小高斯却很快求出了他的结果.后人称其使用的方法 为 “高斯算法”.
1.等差数列定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2） 2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式：
// \\ \\
2S100=101+101+101+…101+101+101
多1少00个个110011 ?
1 所以S100= 2 (1+100)×100
=5050
？总和

1 2
( 首项？ ＋ ？尾项 ）？项数
这就是等差 数列前n项
和的公式！
Sn

n(a1 2
an )
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则

2550.
(3)a1 14.5,d 0.7,an 32.
n 32 14.5 1 26, 0.7
S26

26 (14.5 2

32)

604.5.
2. (1)求正整数数列中前n个数的和.
n (1 n) n(n 1)
Sn
2

.
2
(2)求正整数列中前n个偶数的和.
14
5 (n 15)2 1125 . 14 2 56
于是，当n取与
15 2
最接近的整数即7或8时，Sn取最大值.
方法技巧：
解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
等差数列： an+1-an=d（常数） 公 差： d 通项公式： an=a1+(n-1)d 等差中项： 2A=a+b 重要性质: (1)an=am+(n-m)d
(2)当m+n=p+q时am+an=ap+aq
注意：这里m,n,p,qN*.
1+2+3+…+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，
an


S1 Sn

Sn1
(n (n

1) 2)
11.等差数列的前n项和公式 :
Sn

n(a1 2
an ) 或Sn

na1

n(n
1)d 2
注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d ,an中的三个.
12.性质: Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列.
结论：等差数列的前n项和Sn
如何算的呢？
高斯 (1777—1855） 德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出 一堆钢管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
数列{an}为等差数列
Sn An2 Bn,( A, B为常数)
例1 已知等差数列5,
42, 7
34, 7
....的前n项和为Sn，求使
得Sn最大的序号n的值.
分析：等差数列的前n项和公式可以写成
Sn

d 2
n2


a1

d 2

n,
所以Sn可以看成函数
y

d 2
x2


a1
每层都是14根；
1 (4 10) 7 49(根) 2
1+2+3+···+100=?
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100
作
+ +++
+++
加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
法
// // // //
2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过 程，并能用公式解决简单的问题； 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般， 再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的 思想．
重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用． 难点：获得推导公式的思路．
等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？
分析：∵当n>1时， an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q
当n=1时，a1=S1=p+q+r 又∵当n=1时，a1=2p-p+q=p+q
∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q
故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项 a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
将它们代入公式
Sn

na1

n（n 1）d， 2
得到
1200aa11

45d 310， 190d 1220.
解这个关于a1与d的方程组，得到
a1 4，d 6,
所以 Sn

4n

（ n n 1） 2
6

3n2

n.
技巧方法： 此例题，目的是建立等差数列前n项和与 解方程组之间的联系.已知几个量，通过 解方程组，得出其余的未知量.
(2)
由
Sn

d 2
n2
(a1

d )n 2
利用二次函数配方法求得
最值时n的值.
例2求集合M m m 7n, n N*且m 100的元素
个数，并求这些元素的和.
解：由7n 100得n 100 14 2，
且m n p q那么：am an ap aq .
8.推论 : 在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和 等于首末两项的和，即a1 an a2 an1 a3 an2
9.数列an前n项和 : Sn a1 a2 an
10.性质：若数列an 前n项和为Sn，则
，公差为2的等差数列.
技巧方法：
这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法.
已知前n项和Sn，可求出通项an


s（1 n=1） sn sn（1 n

2）.
这种用数列Sn的公式来确定an的方法对于任何数列
都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由
Sn Sn1 an 求出的通项表达式，所以最后要验证
an=am+（n-m）d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然. 5.如果在两个数a与b中间插入一个数A，使得a，A， b构成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
6.如果a，A，b成等差数列，那么 A ab. 2
7.性质 : 在等差数列an中,d为公差，若m, n, p,q N*
（ n n 1) Sn na1 2 d
d
d
A
2
,Ba1 2
Sn An2 Bn
例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学 建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校 通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年 起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多 少？
难点：能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等 差数列的实际问题．
高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）
德国数学家、物理学家、天文 学家.1777年4月30日生于不伦瑞克， 1855年2月23日卒于格丁根。高斯 是近代数学奠基者之一. 与阿基米 德、牛顿号称“三大数学大师”, 并享有“数学王子”的美誉!他幼 年时就表现出超人的数学天赋.
解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个 等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，其中
a1 500,d 50.
那么，到2010年（n 10），投入的资金总额为?
S10

10 500

10 （10 2
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn

n(a1 2
an )
这种求和的方 法叫倒序相加 法！
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn

（ n a1 2
an )
an a1( n1)d
首项a1是否满足已求出的an .
1.根据下列条件，求相应的等差数列an的前n项和Sn .
(1)a1 5,an 95, n 10;
10 (5 95)
S10
2
500.
(2)a1 100,d 2, n 50;
S50

50 100

5（0 50 2
1)
(2)

d 2

x( x

N* )当x

n时的函数值.
另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线
上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.
解：由题意知，等差数列5,4 2 , 3 4 ,...的公差为- 5，
77
7
所以Sn

n[2 5 2

(n
1)(
5 )] 7
75n 5n2
Sn

n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an

即Sn= an +an-1+ an-2 +…+ a3 + a2 + a1

+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
例2 已知一个等差数列 an 前10项的和是310，前20项
的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和
的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得
到两个关于 a1与d的二元一次方程，由此可以求得 a1与 d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 310，S20 1220,

na1

n(n 1)d 2
的图
象是相应抛物线上一群孤立的点，它的最值由抛
物线的开口决定.
联系: an = a1+(n-1)d的图象是相应直线上 一群孤立的 点.它的最值又是怎样?
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn +r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是
可知，当n 1时，
an Sn Sn1
n2 1 n （[ n 1）2 1（n 1）] 2n 1
2
2
2
当n 1时，
a1

S1

12

1 2
1

3，也满足上式. 2
所以数列an 的通项公式为an

2n
1 2
.
由此可知，数列an是一个首项为
3 2
让我们归 纳一下！
例3 已知数列an 的前n项和为Sn

n2

1 2
n，求这个数
列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首
项与公差分别是什么？
解：根据Sn a1 a2 ... an1 an与 Sn1 a1 a2 ... an（1 n>1），
1） 50

725（0 万元）.
答：从2001 2010年，该市在“校校通”工程中的总
投入是7250万元.
本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生Fra bibliotek中提取有效信息.
通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生 活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理 论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教 学反馈.