2021-2022学年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明综合练习试题(精选)

七年级数学下册第八章平行线的有关证明综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 沿直线m 翻折，点A 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
2、下列命题中真命题的个数有（ ）
①有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、如图，下列四个选项中不能判断AD ∥BC 的是（ ）
A ．13∠=∠
B ．180B BAD ∠+∠=°
C ．5
D ∠=∠ D ．24∠∠=
4、为说明命题“若a b >，则22a b >”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A ．5,3a b ==
B ．1,2a b =-=-
C ．2,1a b ==
D ．1,1
23a b =-=-
5、如图，90C A ∠=∠=︒，25B ∠=︒，则D ∠的度数是（ ）
A ．55°
B ．35°
C ．45°
D ．25°
6、下列语句中，属于命题的是（ ）
A ．将27开立方
B ．画线段AB CD =
C ．正数都小于零
D ．任意三角形的三条高线交于一点吗？
7、已知a b ∥，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，250∠=︒，则1∠等于（
）
A ．140°
B ．150°
C ．160°
D ．170°
8、如图，在ABC 中，D 是BC 延长线上一点，50B ∠=︒，80A ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）
A ．140︒
B ．130︒
C ．120︒
D ．110︒
9、将一张正方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，CE 、CF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B '、D '，若∠ECF ＝21°，则∠B 'CD '的度数为（ ）
A ．35°
B ．42°
C ．45°
D ．48°
10、如图，给出下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③AD ∥BE ，且∠D =∠B ，④AD ∥BE ，且∠DCE =∠D ，其中能推出AB ∥DC 的条件为（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线的交点．我们晓观数学发现△ABD 的面积与△ABC 的面积相等，则这样的点D （不包含C ）共有___个．
2、已知ABC 中，45A ∠=︒，高BD 和CE 所在直线交于H ，则BHC ∠的度数是________．
3、如图，AB ∥CD ，M 在AB 上，N 在CD 上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．
4、如图，E 为△ABC 的BC 边上一点，点D 在BA 的延长线上，DE 交AC 于点F ，∠B ＝46°，∠C ＝30°，∠EFC ＝70°，则∠D ＝______．
5、如图，已知,12180,ADE B CD AB ∠=∠∠+∠=︒⊥，请填写理由，说明GF AB ⊥．
解：因为ADE B ∠=∠（已知），所以∥DE BC （ ）
得13∠=∠（ ）
又因为12180∠+∠=︒（已知），所以23180︒∠+∠=（ ）
所以 ∥ （ ）
所以FGB CDB ∠=∠（ ）
因为CD AB ⊥（已知），所以90CDB ︒∠=（垂直的意义）
得90FGB ︒∠=，
（垂直的意义）
所以GF AB
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、求出下列图形中x的值．
2、已知直线MN∥PQ，点A是直线MN上一个定点，点B在直线PQ上运动．点H为平面上一点，且满足∠AHB＝90°．设∠HBQ＝α．
(1)如图1，当α＝70°时，∠HAN＝．
(2)过点H作直线l平分∠AHB，直线l交直线MN于点C．
①如图2，当α＝60°时，求∠ACH的度数；
②当∠ACH＝30°时，直接写出α的值．
3、已知：AD//BC，点P为直线AB上一动点，点M在线段BC上，连接MP，∠BAD＝α，∠APM＝β，∠PMC＝γ．
(1)如图1，当点P在线段AB上时，若MP⊥AB，α＝120°，则γ＝；
(2)如图2，当点P在AB的延长线上时，写出α、β与γ之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在BA的延长线上时，请画出图形，证明出α、β与γ之间的数量关系．
4、如图，点E为直线AB上一点，∠CAE＝2∠B，BC平分∠ACD，求证：AB∥CD．
5、完成下面的证明已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，DF//CA．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：∵DE//BA，
∴∠3＝（），
∠2＝（）．
∵DF //CA ，
∴∠1＝ （ ），
∠BFD ＝ （ ）．
∴∠2＝ （ ）．
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°（等量代换）．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=，根据三角形的外角的性质可得30βα-=︒，进而根据平角的定义即可求得1,2∠∠，即可求得12∠-∠．
【详解】
如图，设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，
折叠，
,AEG DEG AFG DFG ∴∠=∠∠=∠
设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=
30A βαα∴=+∠=+︒
即30βα-=︒
11802,21802αβ∠=︒-∠=︒-
122260βα∴∠-∠=-=︒
故选C
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）可判断①；同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断②；平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可判断③；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断④；直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，可判断⑤，综合即可得出选项．
【详解】
解：根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）判断①错误，是假命题；
同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误，是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可得③正确，是真命题；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误，是假命题；
直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，故⑤错误，是假命题；
综上可得只有③正确，是真命题，
故选：A ．
【点睛】
题目主要考查真假命题的判断，包括对顶角，平行线和垂线的性质，点到直线的距离等，理解题意，熟练掌握各个定理是解题关键．
3、D
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【详解】
解：A 、已知13∠=∠，那么AD ∥BC ，故此选项不符合题意；
B 、已知180B BAD ∠+∠=°，那么AD ∥B
C ，故此选项不符合题意；
C 、已知5
D ∠=∠，那么AD ∥BC ，故此选项不符合题意；
D 、已知24∠∠=，那么AB ∥CD ，不能推出AD ∥BC ，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4、B
【解析】
【分析】
根据各选项中,a b 的值分别求出2a 和2b ，再找出在a b >条件下，使得22a b <或22a b =成立的选项即可得．
【详解】
解：A 、当5,3a b ==时，2225,9a b ==，满足a b >，但22a b >，是错误的反例，此项不符题意；
B 、当1,2a b =-=-时，221,4a b ==，满足a b >，但22a b <，是正确的反例，此项符合题意；
C 、当2,1a b ==时，224,1a b ==，满足a b >，但22a b >，是错误的反例，此项不符题意；
D 、当1,123a b =-=-时，不满足a b >，是错误的反例，此项不符题意； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和对顶角相等求解即可．
【详解】
解：设AD 与BC 相交于O ，则∠COD =∠AOB ，
∵∠C +∠COD +∠D =180°，∠A +∠AOB =∠B =180°，∠C =∠A =90°， ∴∠D =∠B =25°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．
6、C
【解析】
【分析】
根据命题的定义对各选项进行判断．
【详解】
解：A．“将27开立方”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；
”为陈述句，它不是命题，所以选项不符合题意；
B．“画线段AB CD
C．“正数都小于零”为命题，所以选项符合题意；
D．“等任意三角形的三条高线交于一点吗？”为疑问句，它不是命题，所以选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题，解题的关键是掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成．
7、D
【解析】
【分析】
利用三角形外角与内角的关系，先求出∠3，利用平行线的性质得到∠4的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出∠1．
解：∵∠C＝90°，∠2＝∠CDE＝50°，
∠3＝∠C+∠CDE
＝90°+50°
＝140°．
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝140°．
∵∠A＝30°
∴∠1＝∠4+∠A
＝140°+30°
＝170°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8、B
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质可直接进行求解．
解：∵50B ∠=︒，80A ∠=︒，
∴130ACD A B ∠=∠+∠=︒；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
9、D
【解析】
【分析】
可以设∠ECB '＝α，∠FCD '＝β，根据折叠可得∠DCE ＝∠D 'CE ，∠BCF ＝∠B 'CF ，进而可求解．
【详解】
解：设∠ECB '＝α，∠FCD '＝β，
根据折叠可知：
∠DCE ＝∠D 'CE ，∠BCF ＝∠B 'CF ，
∵∠ECF ＝21°，
∴∠D 'CE ＝21°＋β，∠B 'CF ＝21°＋α，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD ＝90°，
∴∠D 'CE +∠ECF +∠B 'CF ＝90°
∴21°＋β＋21°＋21°＋α＝90°，
∴α＋β＝27°，
∴∠B 'CD '＝∠ECB '+∠ECF +∠FCD '＝α+21°+β=21°+27°=48°
则∠B'CD'的度数为48°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形与折叠问题，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．10、B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定逐个判断即可．
【详解】
∴∥
①∠1=∠2，AD BC
∴∥
②∠3=∠4，AB CD
③AD∥BE，
∴∠+∠=︒
180
DAB B
∠D=∠B，
∴∠+∠=︒
180
DAB D
∴∥
AB CD
④∠DCE=∠D，
∴∥
AD BE
∴能推出AB∥DC的条件为②③
故选B
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
二、填空题
1、5
【解析】
【分析】
一条直线有两条与之距离相等的直线，如图，在AB的左侧和右侧均作一条与AB距离大小为C到AB 的距离的直线，直线与网格的交点即为所求．
【详解】
解：如图，连接CD
∵△ABD的面积与△ABC的面积相等
∴AB CD，可知在CD上与网格交的点均为D点
又∵一条直线有两条与之距离相等的直线
∴在AB的左侧作一条与AB平行的直线EF如图所示，EF与网格的交点也为D点
∴满足条件的D点有5个
故答案为5．
【点睛】
本题考查了平行的性质．解题的关键在于明确一条直线有两条与之距离相等的直线．
2、45°或135°
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①如图1，ABC 为锐角三角形，由题意知90BDA CEA ∠=∠=︒， 45ACE ∠=︒，45ABD ∠=︒，180A ABD DBC BCE ACE ∠+∠+∠+∠+∠=︒，180DBC BCE BHC ∠+∠+∠=︒，代值计算求解即可；②如图2，ABC 为钝角三角形，由题意知90BDA CEA ∠=∠=︒，在BEH △中，
45ABD ∠=︒，90CEB ∠=︒，180BHC CEB ABD ∠=︒-∠-∠，代值计算求解即可．
【详解】
解：由题意知90BDA CEA ∠=∠=︒
①如图1所示，ABC 为锐角三角形
∵90BDA CEA ∠=∠=︒，45A ∠=︒
∴45ACE ∠=︒，45ABD ∠=︒
∵180A ABD DBC BCE ACE ∠+∠+∠+∠+∠=︒
∴180********DBC BCE ∠+∠=︒-︒-︒-︒=︒
∵180DBC BCE BHC ∠+∠+∠=︒
∴18045135BHC ∠=︒-︒=︒；
②如图2所示，ABC 为钝角三角形
∵90BDA CEA ∠=∠=︒，45A ∠=︒
∴45ABD ∠=︒
在BEH △中，45ABD ∠=︒，90CEB ∠=︒
∴180180904545BHC CEB ABD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；
综上所述，BHC ∠的值为45︒或135︒
故答案为：45︒或135︒．
【点睛】
本题考查了三角形的高，三角形的内角和定理．解题的关键在于正确求解角度．
3、540°
【解析】
【分析】
首先过点E 、F 作EG 、FH 平行于AB ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
【详解】
如图，过点E 、F 作EG 、FH 平行于AB ，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
4、34°##34度
【解析】
【分析】
根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
【详解】
解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
CD FG；同旁内角互补，两直5、同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；;
线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】
同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两线夹角为90°，两线垂直．
【详解】
解：ADE B ∠=∠（已知），
//DE BC ∴（同位角相等，两直线平行），
13∠∠∴=（两直线平行，内错角相等），
12180∠+∠=︒（已知），
23180∴∠+∠=︒（等量代换），
//CD FG ∴（同旁内角互补，两直线平行），
FGB CDB ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等），
CD AB ⊥（已知），
90CDB ∴∠=︒（垂直的定义），
90FGB =∴∠︒，
GF AB ∴⊥（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；;CD FG ；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】
本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
三、解答题
1、（1）40x =；（2）70x =；（3）60x =．
【解析】
（1）根据三角形内角和定理，已知两角，则可求得第三个角；
（2）根据三角形内角和定理得方程，解方程即可求得x的值；
（3）根据三角形外角的性质得方程，解方程即可求得x的值．
【详解】
（1）180905040
x︒=︒-︒-︒=︒；
∴x=40
（2）40180
x x
++=，
∴=；
x
70
（3）7010
+=++，
x x x
x=．
解得60
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质，运用了方程思想，掌握三角形内角和定理是关键．
2、(1)20°
(2)①∠ACH=15°；②α=75°
【解析】
【分析】
（1）延长BH与MN相交于点D，根据平行线的性质可得∠ADH=∠HBQ=70°，再根据三角形外角定理可得AHB=∠HAN+∠ADH，代入计算即可得出答案；
（2）①延长CH与PQ相交于点E，如图4，根据角平分线的性质可得出∠BHE的度数，再根据三角形外角定理可得∠HBQ=∠HEB+∠BHE，即可得出∠HEB的度数，再根据平行线的性质即可得出答案；
②根据平行线的性质可得∠HEB的度数，再根据三角形外角和∠HBQ=∠HEB+∠BHE，即可得出答案．
【小题1】
解：延长BH与MN相交于点D，如图3，
∵MN∥PQ，
∴∠ADH=∠HBQ=70°，
∵∠AHB=90°，
∴∠AHB=∠HAN+∠ADH，
∴∠HAN=90°-70°=20°．
【小题2】
①延长CH与PQ相交于点E，如图4，
∵∠AHB=90°，CH平分∠AHB，
∠AHB＝45°，
∴∠BHE＝1
2
∵∠HBQ=∠HEB+∠BHE，
∴∠HEB=60°-45°=15°，
∵MN∥PQ，
∴∠ACH=∠HEB=15°；
②α=75°．如图4，
∵∠ACH=30°，
∴∠HEB=30°，
∵∠AHB=90°，CH平分∠AHB，
∠AHB＝45°，
∴∠BHE＝1
2
∴∠HBQ=∠HEB+∠BHE=30°+45°=75°，
∴α=75°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
3、(1)150°
(2)γ=α+β，理由见解析
(3)图形见解析，α、β与γ之间的数量关系为：α+γ-β=180°
【解析】
【分析】
(1)由AD//BC，α＝120°可求出∠B=60°，由MP⊥AB得到∠MPB=90°，最后由γ=∠MPB+∠B=150°即可求解；
(2)由AD//BC得到∠CBP=α，再由γ=∠CBP+∠P=α+β即可求解；
(3)画出图形，由AD//BC，得到∠CMN=∠DNP=γ，∠PNA=180°-∠DNP=180°-γ，再在△PNA中，由三角形外角定理即可求解．
(1)
解：如下图所示：
∵AD//BC，α＝120°，
∴∠B=60°，
∵MP⊥AB，
∴∠MPB=90°，
∴γ=∠MPB+∠B=90°+60°=150°．
故答案是：150°；
(2)
解：如下图所示：
∵AD//BC，
∴∠CBP=∠DAB=α，
△MBP中，由三角形外角定理可知：∠CMP=∠CBP+∠P，
∴γ=α+β．
(3)
解：当点P在BA的延长线上时，图形如下所示，α、β与γ之间的数量关系为：
∵AD//BC，
∴∠CMN=∠DNP=γ，
∴∠PNA=180°-∠DNP=180°-γ，
△PNA中，由三角形外角定理可知：∠DAB=∠PNA+∠P，
∴α=180°-γ+β，
故α、β与γ之间的数量关系为：α+γ-β=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，平角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4、见解析
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质，可得∠B＝∠ACB，再由BC平分∠ACD，可得∠B＝∠DCB，即可求证．
【详解】
证明：∵∠CAE＝∠ACB＋∠B，∠CAE＝2∠B，
∴∠B＝∠ACB，
又∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理，三角形外角的性质定理是解题的关键．
5、∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质得出∠A=∠2，∠1=∠C，∠3=∠B，再由平角的定义即可得出结论．
【详解】
证明：∵DE//B
∴∠3＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∵DF//CA，
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等；∠BFD，两直线平行，内错角相等；∠C，两直线平行，同位角相等；∠A，两直线平行，同位角相等；∠A，等量代换．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．。