2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义习题新人教A版选修2_220181015459
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数
(【2)精已彩知点z1拨，】z2∈C(1，)先|z1写|＝出|z点2|＝A1，，B|z，1＋Cz的2|＝坐标3，，求利|z用1－向z量2|. A→B＝D→C 列方程求
解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决． 【自主解答】 (1)设 D(x，y)，类比向量的运算知 A→B ＝D→C ，所以有复数
对应的复数为
3－4i，则向量
Z→1Z2对应的复数为__________．
【解析】 Z→1Z2＝O→Z 2－O→Z 1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 【答案】 1－i
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
阶
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段
段
一
三
3.2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几
何意义
学
2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充与复数的概念优
[解析] ∵log12(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，
∴log12m＋n≥－1， －m2－3m＝0，
∴0m<＝m0＋或nm≤＝2，3.
∵m，n∈N， ∴m＝0，n＝1 或 n＝2．
『规律总结』 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由 求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可．
• 〔跟踪练习4〕
• (1)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且 2．
• (2)若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i 2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合 使z1<z2的m值的集合又是什么？
• [解析] (1)∵z<0，
• ∴z∈R．故复数的虚部k2－5k＋6＝0，即(k－2 ，
2．已知 A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3 则实数 a 的值为__－__1__．
[解析] 以 A∩B＝{3}为解题突破口，按题意 a2－3a－1＋(a ∴aa22－ －35aa－ －16＝ ＝30， . 解得 a＝－1．
[解析] (1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，z 是实数 (2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数． (3)当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00， ， 即 k＝－1 时，z 是零．
命题方向3 ⇨复数相等的条件
• 典例 3 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3 y－3i，求x与y．
要准确掌握复数的概念
• 典例 5 在下列命题中，正确命题的个数是( • ①两个复数不能比较大小；
• ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z • ③若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b
【2019最新】高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3
答案：B
3．(20xx·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2B．－2i
C．2D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝＋i(1－i)＝(－i＋1)＋(i＋1)＝2.
答案：C
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024B．1 024
C．0D．1 023
解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
答案：C
5．(20xx·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋iB．1－i
C．－1＋iD．－1－i
解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.
解析：(1)z2＝·
＝·＝＝－＝－i.
(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列．
∴2B＝A＋C＝π－B，
∴3B＝π，
∴B＝，A＋C＝，
又由(1)得z2＝－i，
∴u＋z2＝cos A＋2icos2－i
＝cos A＋i(2cos2 －1)
＝cos A＋icos C，
∴|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C
答案：D
6．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.
解析：＝＝，因为是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.
答案：1
7．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
答案：
8．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
2018-2019版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
类型二 复数的模 例2 设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值.
解答
反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足 的条件，是一种复数问题实数化思想.
跟踪训练2 已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
√A.(1， 10)
B.(1， 3)
值范围是
A.a<－1或a>1
√B.－1<a<1
C.a>1
D.a>0
解析 因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5，
所以 a2＋4< 5，即 a2＋4<5，
所以a2<1，即－1<a<1.
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解析 答案
4.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝ _3__.
的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
解析 ∵23<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0，
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
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解析 答案
2.若O→Z＝(0，－3)，则O→Z对应的复数为
A.0
B.－3
√C.－3i
D.3
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答案
3.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取
解析 复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)， 所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2， 所以z＝3i，所以|z|＝3.
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解析 答案
2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1_3.1.2(一)实数系复数的引
3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入(一) 学习目标 1.了解引入虚数单位i 的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程x 2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理 (1)复数的概念设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数．(2)复数的表示复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部，i 称作虚数单位．知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件思考1 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，z 是什么数？答案 实数．思考2 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，z 是什么数？答案 纯虚数．梳理 (1)复数的分类 ①复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)②集合表示：(2)复数相等的充要条件如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × )2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )类型一 复数的概念与分类例1 当实数m 满足什么条件时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i ：(1)是纯虚数；(2)是实数；(3)是虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －7)＝0，m 2＋5m ＋6≠0时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，解得m ＝4.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，解得m ＝－2或m ＝－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6≠0时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是虚数，解得m <1－22或m >1＋22且m ≠－2且m ≠－3.反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0. 跟踪训练1 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义， 即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义， 即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
课件制作-Q老师
勤学奋进，学有所成！
2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
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解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意
湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省松滋市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.2 复数的几何意义导学案新人教A版选修2-2的全部内容。
3.1.2 复数的几何意义【学习目标】1。
理解复平面、实轴、虚轴等概念。
2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用。
3。
理解并会求复数的模,了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系。
【重点难点】重点：理解并掌握复数的几何意义.难点：复平面内的点(,),,z a b OZ z a bi=+的关系；复数模的问题。
【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P104-105内容。
并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。
【问题导学】1. 复平面？2.复数的几何意义？(1)（2)3。
复数的模？4。
复平面的虚轴的单位长度是1，还是i？【合作探究】问题1：复数与复平面内点的关系1.复数2z i=对应的点在复平面的（ B ）A. 第一象限内 B. 实轴上C. 虚轴上 D。
第四象限内2。
在复平面内，复数sin2cos2z i=+对应的点位于( D ）A。
第一象限 B. 第二象限C。
第三象限 D。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数
的概念（第2课时）预习导航 新人教A 版选修2-2
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
思考1在复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？
提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数．事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，除此之外，虚轴上的其他点都表示纯虚数．复平面内每个象限内的点一定表示虚数．
思考2复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？
提示：前提条件是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ uuu r 是以原点O 为起点的，否则
就谈不上一一对应，因为在复平面内与OZ uuu r 相等的向量有无数个．
3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ uuu r ，则OZ uuu r 的模叫做复数z 的模，记作|z |或
|a ＋b i|，且|z |如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 就是实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值)．
思考3如何理解复数的模？
提示：从数的角度理解，可类比绝对值是表示这个数的点到原点的距离．
从形的角度理解，是该复数对应向量的模，也是向量起点与终点间的距离．
事实上，在实数集中，实数a 的绝对值，即|a |表示实数a 的点与原点O 的距离．那么
在复数集中，类似地，有|z |是表示复数z 的点Z 到坐标原点O 间的距离，也就是OZ uuu r 的模，
即|z |＝||OZ uuu r .。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
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第一章 3.1 3.1.2 复数的几何意义
A 级 基础巩固
一、选择题
1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( C )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C ． 2．(2018·海淀区二模)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则( C ) A ．z ＝－1＋i B ．z ＝1＋i C ．z ＋i 是实数
D ．z ＋i 是纯虚数
[解析] ∵复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)， ∴z ＝1－i ．
∴z ＋i ＝1－i ＋i ＝1， ∴z ＋i 是实数． 故选C ．
3．(2018·陕西三模)在复平面内，表示复数z ＝(a ＋3i)(2－a i)的点在第二象限，则实数a 满足( A )
A ．－6<a <0
B ．a <－ 6
C ．0<a < 6
D ．－6<a < 6
[解析] ∵Z ＝(a ＋3i)(2－a i)＝5a ＋(6－a 2
)i 对应的点在第二象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
5a <06－a 2
>0，解得－6<a <0．
故选A ．
4．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →
对应的复数为( D )
A ．－1＋i
B ．1－i
C ．－5－5i
D ．5＋5i
[解析] 由题意知，OA →＝(2,3)，OB →
＝(－3，－2) ∴BA →＝OA →－OB →
＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D ．
5．(2018·烟台高二检测)过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是( D ) A ．π6
B ．－π6
C ．2π3
D ．5π6
[解析]
3－i 在复平面对应的点为(3，－1)，
∴倾斜角的斜率为k ＝－
33，∴倾斜角为－π6或5
6
π． 又∵倾斜角范围为[0，π]，∴倾斜角为 5
6π，故选D ．
6．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3
D ．2
[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12
＋12
＝2，选B ．
二、填空题
7．i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则
z 2＝－2＋3i ．
[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i ．
8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为5．
[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得
－1－－1－3
＝
a －－
－2－1
．解得a ＝5．
三、解答题
9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2
＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；
(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
[解析] (1)由m 2
－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2
＋5m ＋6)＋(m 2
－2m －15)＋5＝0，得知：
m ＝
－3－414或m ＝－3＋41
4
， z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1
→
与OZ 2→
共线，求a 的值．
[解析] 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→
对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→
＝(2a,1)．
因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1
4，a ＝－3
8.
即a 的值为－3
8
．
B 级 素养提升
一、选择题
1．若复数(m 2
－3m －4)＋(m 2
－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( C ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4
D ．－1和6
[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C ． 2．下列命题中，假命题是( D ) A ．复数的模是非负实数
B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|
[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2
＋b 2
≥0总成立．∴A 正确；
②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；
③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|． 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，
如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 二、填空题
3．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若
O C →＝x O A →＋y O B →
(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是5．
[解析] 由复数的几何意义可知，
O C →＝xOA →＋yOB →，
即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝4.
∴x ＋y ＝5．
4．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为1
2．
[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝1
2．
三、解答题
5．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－1
2
＋
m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值．
[解析] 因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－1
2
＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，
b ＝(－12
，m )．
又a ，b 的夹角为60°，所以cos60°
＝
－3，
－12
，m －3
2
＋02
·
－12
2
＋m
2
，
即12＝32
3
14
＋m 2，解得m ＝±
32
． 6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．
[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋3，
y ＝b －2，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝x －3，
b ＝y ＋2.
①
∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2
＋b 2
＝4．
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4．
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
C级能力拔高
已知z∈C，|z－2i|＝2，当z取何值时，|z＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．
[解析]解法一：如图所示，|z－2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是
以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z＋2－4i|＝|z－(－2＋4i)|，欲求其最
大值和最小值，即在圆上求出点M，N，使得M或N到定点P(－2,4)的距离
最大或最小．显然过P与圆心连线交圆于M，N两点，则M，N即为所求．不
难求得M(1,1)，N(－1,3)，即当z＝1＋i时，|z＋2－4i|有最大值，为32；当z＝1＋3i 时，|z＋2－4i|有最小值，为2．
解法二：如图所示，设ω＝z＋2－4i，则z＝ω－2＋4i，代入|z－2i|
＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，
2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最
值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所
求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i 时，|ω|取最小值，为2．。