直角三角形勾股定理

勾股定理模块总攻略
基本知识要点：
1、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边
为a、b，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2。

公式的变形：a 2=c 2-b 2，b 2=c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定定理）
如果三角形ABC 的三边长分别是a，b，c，且满足2
22c b a =+，那么三角形ABC 是直角三角形。

3、勾股数
满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：
（3，4，5）(5，12，13)(6，8，10)
(7，24，25)(8，15，17)(9，40，41)
4、特殊角的直角三角形的三边关系
含30º角的直角三角形的三边关系：2
:3:1含45º角的直角三角形的三边关系：2:1:1常见题型
考点1：概念基本知识的掌握
1.下列说法正确的是（）
A.若a b c ，
，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B.若a b c ，
，a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C.若a b c ，
，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D.若a b c ，
，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状是（）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3、已知：k>1，b=2k 2-2，a+c=2k 2，ac=4k 2-2,则以a,b,c 为边的三角形（）
A.一定是等腰三角形
B.一定是等边三角形
C.一定是直角三角形
D.形状无法确
4、.若ABC ∆的三边a 、b 、c ，满足222()()0a b a b c -+-=，则ABC ∆是（
）．
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形5、如右图，
E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值等于_____。

6、已知△ABC 中，BC=6，AC=8，AB=10，O 为三条角平分线的交点，则O 到各边的距离为（
）
A.4
B.6
C.2
D.无法求出7、已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类
推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是
．8、已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为_________.
9、若三角形ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶1∶1,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列等式中，成立的是（）
A.222c b a =+
B.222c a =
C.222a c =
D.2
22b c =10、若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为(
)A、25cm B、125cm C、5cm D、5
12cm 11、Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）
A、121
B、120
C、132
D、不能确定12、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷
子露在杯子外面的长度为h cm，则h 的取值范围是（）
．A、h ≤17cm B、h ≥8cm C、15cm≤h ≤16cm D、7cm≤h ≤16cm 考点2：直角三角形的判定及应用
1、已知，△ABC 中，AB=17cm，BC=16cm，BC 边上的中线AD=15cm，试说明△ABC
是等腰三角形。

2、已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13,△ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？
3、正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1
那么△DEF 是直角三角形吗？为什么4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

5、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
6、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边BC 的中点，F、E 分别是AB、AC 边上的点，且DE⊥DF，若CE=12，BF=5．求线段EF 的长。

7、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.
考点3：面积问题
1、在直线上依次摆放着七个正方形（如图下图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、
2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S
3、S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4为多少？
2、已知三角形的三边分别为2、
3、4，求该三角形的面积.
3、如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，求该图形的面积。

考点4：芦苇问题
1、如下图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，
，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）
A ．x y =
B ．x y >
C ．x y <
D ．不确定
2、如图下图，滑竿在机械槽内运动，为直角，已知滑竿AB 长2.5米，顶端A 在AC 上运动，量得BC 距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米到点D 时，滑竿顶端A 下滑了多少米？
3、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
A
B C
考点5：车过桥洞问题
1、某公司的大门如下图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB=2.3m，BC=2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m，宽为1.6m，这量卡车能否通过公司大门？请说明你的理由。

2、为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加多少米？
考点6：最短路径问题
1、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm
2、如下图，有一圆柱形食品盒，它的高度为8cm ，底面直径为π
18cm ，蚂蚁爬行速度为2cm/s ，如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁大小忽略不计）
3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
4、如下图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点。

求A 到B 的最短路程
考点7：折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE，则CD 等于（）A.425 B.322 C.47 D.35
2、
折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM ,求CF 和EC 。

3、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积
4、如图所示，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？
5、如图所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．
5、如图所示，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB= 3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
7、如下图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

8、如下图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q，与BC 交于点E，能否使CE=2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.
考点8：航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。

该货船航行30分钟到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

东
北30
︒60︒
B A C
M D
113、如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
D
B
C
A
考点9：其他问题
1、如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA 垂直AB 于A ，CB 垂直AB 于B ，已知AD=15km ，BC=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站建在距A 站多少千米处
？
2、在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅= ,则122006m m m ++ =_____.
3、如图在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=4，BC=3，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角
三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。