平行四边形性质

平行四边形的性质
1．平行四边形的概念
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
作用：
(1)给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，
那么它一定是平行四边形．
(2)给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行．
2．平行四边形的性质
详解：
(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
(2)平行四边形的对边平行且相等；
(3)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(4)平行四边形的对角线互相平分．
3．平行四边形的面积
平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．
如图1，
拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图2，
二、平行四边形的判定
1．平行四边形的判定方式
2．三角形中位线定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

作用：(1)位置关系：可以证明两条直线平行；
(2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分．
拓展：(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形；
(2)要会区别三角形的中线与中位线．
三、平行四边形小结：
四、矩形
1．矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。

2．矩形的性质
(1)具有平行四边形的所有性质；
(2)对角线相等；
(3)四个角都是直角；
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
3．直角三角形的性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
拓展：己学过的直角三角形的性质主要有：
(1)两锐角互余；
(2)两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；
(4)斜边上的中线等于斜边的一半．
4．矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形．
5．矩形的面积
公式：矩形面积=长×宽
五、菱形
1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质：(1)具有平行四边形的一切性质；
(2)四条边都相等；
(3)两条对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角；
(4)既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．
拓展：由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决．3．判定：(1)定义；
(2)四条边都相等的四边形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形；
(4)对角线平分一组对角的平行四边形．
4．面积：(1)平行四边形面积公式：底×高
(2)两条对角线乘积的一半．若a、b分别表示两条对角线的长，则
六、正方形
1．概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
拓展：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．2．性质：(1)边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行；
(2)角——四个角都是直角；
(3)对角线——①相等；②相互垂直平分；③每一条对角线平分一组对角；
两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形．
(4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．
拓展：(1)若正方形的边长为a，则对角线的长为；
(2)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等．
3．判定：(1)先证它是矩形，再证一组邻边相等；
(2)先证它是菱形，再证一个角是直角．
4．面积：(1)正方形的面积等于边长的平方；
(2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半．
拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大．
例题分析：
1．如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．
求证：∠AOB=∠COB．
解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；
根据和AE=CF，可证BN=BM，
于是∠AOB=∠COB．
2．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，
将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，
点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略．
3．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G别离为DO，AO，BC的中点．
求证：△EFG为等边三角形．
证明：连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．
又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．
∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．
又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°．
在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。

同理．
在△OAD中，∵E，F别离为OD，OA的中点．
∴，故△EFG为等边三角形．
4．已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G别离是OC，OD，AB的中点．
求证：(1)BE⊥AC；
(2)EG=EF。

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中点，∴BE⊥AC．
(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中点，∴
∵EF是△OCD的中位线，∴
又，∴
5．如图1，2所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下，将△AOB完全展开．
(1)画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；
(2)若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出△AOB
应知足的条件．
(1)展开图如下图，它是菱形．
证明：由操作过程可知OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．又∵OA⊥OB，
即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)△AOB中，∠ABO=45°(或∠BAO=45°或OA=OB)．
6．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个极点E，G，H别离在正方形ABCD 边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
(1)当DG=2时，求△FCG的面积；
(2)设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
(3)判断△FCG的面积可否等于1，并说明理由．
解：(1)∵正方形ABCD中，AH=2，∴DH=4．
又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．
在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°，
AH=DG=2，EH=HG=，
∴△AHE≌△DGH。

∴∠AHE=∠DGH。

∵∠DGH+∠DHG=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHC=90°，即菱形EFGH是正方形．
同理可以证明△DGH≌△CFG．
因此∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，
从而
(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE。

∴∠AEH=∠MGF。

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG。

∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。

因此
(3)假设，由，得，现在，在△DGH中，。

相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。

故不可能有。

另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，现在，当点E慢慢向右运动至点B时，
HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。

此时，，故。

而函数的值随着的增大而减小，
因此，当时，取得最小值为。

又因为，因此△FCG的面积不可能等于1。