北京科技大学部分量子力学作业试题汇总

黑体辐射：假设恒星可按绝对黑体处理，估算恒星表面温度为多少时，恒星发出的辐射可使
其周围的氢电离。

（维恩位移定律：3
max 2.910m K T λ-=⨯⋅，氢原子第一电离能：13.6eV ）
Solution ：根据氢原子的玻尔理论，氢原子的电离能是13.6eV ，即：
1913.6 1.610E h J ν-==⨯⨯
191513413.6 1.610 3.310s 6.610ν---⨯⨯==⨯⨯，c T λλν==，8715
3.0100.910m 3.310λ-⨯==⨯⨯， 3
47
2.910
3.210K 0.910
T --⨯==⨯⨯，即恒星表面温度为3万开尔文数量级时，可使其周围的氢原子电离。

波粒二象性：我们一般用X 射线衍射技术或电子衍射技术探测晶体的微观结构，已知晶体中相邻原子的间距为1埃（10
110
-⨯米）左右，（i ）求能够成功探测晶体结构X 射线的频率
是多少？（ii ）能够成功探测晶体结构高能电子的能量是多少？
解：若能成功探测晶体结构，则X 射线及电子物质波波长应也在1埃左右，10
110m λ-=⨯
光速：8
3.010/c m s =⨯，频率为：18
/ 3.010c Hz νλ==⨯， 普朗克常数：34
6.6310h J s -=⨯⋅，能量：52.010h J εν-==⨯
/h p λ=，34156.6310 4.110h J s eV s --=⨯⋅=⨯⋅
24/ 6.6310p h λ-==⨯，电子质量：319.110e m kg -=⨯，
电子速度：61
/7.010e v p m m s -==⨯⋅，相对论效应可忽略。

电子能量：2
172.4101502e
p E J eV m -==⨯≈
薛定谔方程：质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)
V x y z 由下式给出：()()()0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others ∈∈∈⎧⎪=⎨∞⎪⎩
；（i ）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10分）；（ii ）假设有两个电子在立方盒子中运动，不
考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为12，
是费米子）； （iii ）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，
系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；
解：（2.i ）定态薛定谔方程：()()2
2,,,,2x y z E x y z m
ψψ-
∇=
分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++
()
()()()()()222
222
222222x y z d X x E X x m dx
d Y y E Y y m dy d Z z E Z z m dz ⎧-=⎪⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩；(
)(
)(
)x y z n x X x a n y Y y a n z Z z a πππ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫⎪
=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩
；22
2222
2
2
2222222x x y y z z E n a E n a E n a πμπμπμ⎧=⎪⎪
⎪⎪=⎨⎪
⎪
=⎪⎪⎩
()3/2
2,,sin sin sin y x z n x n x n x x y z a a a a πππψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ ()2
2
2222
2mnl x
y z E n
n n ma π=
++，,,1,2,3,...x y z n n n =
（2.ii ）电子是费米子，波函数应是反对称的：()()()11221212,;,,,A
S A z z z z r s r s r r s s ψ
φχ=
由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；
基态：2201112
32E E ma π==，基态波函数：
()()(
)()()()()11221111111112223
1112221212,;,,,,,2sin sin sin sin sin sin A A
z z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s ψψψχππππππχχχχ↑↓↓↑=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎤⎦ （2.iii ）玻色子可占据相同态，基态：22
01112
32E E ma
π==，基态波函数： ()()()
121111*********
111222,,,,,2sin sin sin sin sin sin S r r x y z x y z x y z x y z a a a a a a a ψψψππππππ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有限深势阱：粒子在如图深度为0V ，宽度为a 的有限深势阱中运动。

[1]（20分）求当阱口恰好有一个束缚态能级（即：00E V +
→-）的条件；
[2]（10分）不考虑归一化，定性地画出此时波函数的曲线。

解：【1】粒子位于阱内时，波函数为正弦或余弦型的，位于阱外时，由于我们考虑的是束缚态，所以是e 指数衰减型的（当x 趋于正负无穷时，波函数趋于零）。

如果考虑阱口恰好有一个束缚态能级，相当于指数衰减因子是趋于零的，即阱外波函数趋于常数，0ψ'→。

由于我们考虑的是一维具有对称性的势阱，即：()()V x V x -=，波函数应具有确定的奇偶性，即：波函数应为奇函数或偶函数。

（这里波函数未写成归一化形式）
()()00cos sin x k x
x k x
ψψ=⎧⎪⎨
=⎪⎩
，0,2a x k ≤
=边界条件：ψ连续，ψ'连续
0000
sin 0,2,4,6 (2)
cos 0,,3,5......
2
k a
k a k a k a ππππππ⎧==⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩ 即阱口恰好出现束缚能级的条件是：0,1,2,3......k a n n π==，即：22202
2n V ma π=。

由于一
维有限深势阱中至少有一个束缚态，因此当2
2
02
2V ma π<
时，势阱中只有一个束缚态（是偶
宇称的）。

【2】定性画出波函数曲线：
阱内为正弦或余弦曲线，阱外为直线，并使阱内阱外曲线平滑地连接起来。

δ势垒散射：
质量为m 的电子以动能0E V >由左向右入射到高度为0V （00V >）的台阶势上，在台阶势的跃起处考虑还存在
δ势：()x γδ，（0γ>）的散射，即电子所受势能为
0()()()V x V x x θγδ=+，这里0,0
()1,0
x x x θ<⎧=⎨≥⎩，为单位阶跃函数；（i ）列出定态薛定谔方
程及波函数导数ψ'在0x =两侧的跃变条件；（ii ）求电子在0x =处的透射系数out
in
j T j =
，和反射系数ref in
j R j =
；
解：（3.i ）定态薛定谔方程：2
2
02
()()2d V x x E m dx θγδψψ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
； 化简为：()02
2()()m
E V x x ψθγδψ''=-
--，在0x =两侧邻域积分：,0dx ε
ε
ε-→⎰，
()02
2
22()()()()(0)m
m dx V x x E dx ε
ε
ε
ε
γ
ψψεψεθγδψψ-
-
''''=--=
+-=
⎰⎰，
即ψ'在0x =两侧不连续；
（3.ii ）在0x ≠的区域，定态薛定谔方程可分为0x <，0x >两个区域考虑：
22
22202
20,,02()0,,0mE k k x m E V k k x ψψψψ⎧''+==<⎪⎪
⎨
-⎪''''+==>⎪⎩
其解可表示为：
(),0(),0ikx ikx ik x x e Ae x x Be x ψψ-'⎧=+<⎪⎨=>⎪⎩，求导：,0
,0
ikx ikx ik x
ike ikAe x ik Be x ψψ-''⎧=-<⎪⎨''=>⎪⎩ 根据0x =处的ψ连续，和ψ'跃变条件得到：
212A B m ik B ik ikA B γ+=⎧⎪⎨'=-+⎪⎩，即：2121A B k m A B B k ik γ+=⎧⎪'⎨-=-⎪⎩
消去A ：2221k m i B k k
γ'⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，即：()1
22
11k k B m i k
γ'=++
所以：()()()1
2
211
2222
11111k k k k k k m i
k A m m i i k k
γγγ'''--=-=
++++ 根据粒子流密度公式：**2i j m x x ψψψψ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭
，22
,,in re out
k k k j j A j B m m m '=== 反射系数：()()()()()()2
2
2
1
1
222222
21
122
221111k k k
k re k in k k k m m i j k k R A m j m i k
k γγγγ'
'''⎛⎫-+-- ⎪
⎝⎭===
=⎛⎫
++++ ⎪
⎝⎭
透射系数：()()
2
2
2
1
2
21out in k k k j k k
T B j k
m k γ'''=
==⎛⎫++ ⎪⎝⎭
可以验证：()()()()2
2
1
22221
22111k k k k m k k k
R T m k γγ'''⎛⎫-++ ⎪⎝⎭+==⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
算符运算：在坐标表象中位置算符：ˆx
x =，动量算符：ˆx p i x
∂
=∂。

[1]（10分）计算：[]ˆˆ,?x x
p = [2]（10分）利用[]ˆˆ,x x p 的结果，计算角动量算符对易关系：ˆˆ,?x y L L ⎡⎤=⎣
⎦
，ˆˆ,?y z
L L ⎡⎤=⎣
⎦
，ˆˆ,?z x L
L ⎡⎤=⎣⎦
[3]（10分）利用ˆˆ,x y L L ⎡⎤⎣⎦，ˆˆ,y z L L ⎡⎤⎣⎦，ˆˆ,z x L L ⎡⎤⎣⎦的结果，计算2,?z L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2222ˆˆˆˆx y z L L L L =++） 解：【1】 []ˆˆ,x x p i =；【2】 ˆˆˆ,x y z L L i L ⎡⎤=⎣
⎦
，ˆˆˆ,y z x L L i L ⎡⎤=⎣
⎦
，ˆˆˆ,z x y L L L ⎡⎤=⎣
⎦
；【3】
2,0z L L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
角动量：已知角动量本征值问题：()
22
,1,L l m l l l m =+，,,z L l m m l m =，定义：
x y L L iL +=+，x y L L iL -=-，L +可解释为升算符，使z L 本征值增加
，L -可解释为降算
符，使z L 本征值减少。

（i ）L +和L -是否为厄密算符；（ii ）计算
†,,?l m L L l m ++=†,,?l m L L l m -
-=（iii ）计算：,?L l m +=,?L l m -= 解：()()†22x y
x
y z z L L L iL L
iL L L L ++=-+=--，
()()()()†2
2
2
2
,,11(1)1l m L L l m l l m m l l m m l m l m ++⎡⎤=
+--=+-+=
-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()†22
x y x y z z L L L iL L iL L L L --=+-=-+
()()()()()
†2
2
2
2
,,1111l m L L l m l l m m l l m m l m l m --⎡⎤=
+-+=
++-=
+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦因此：()(,,L l m l m m +=-，()(,,L l m l m m -=
+
角动量：对于()
2
,z L L 的共同本征态,l m ，（i ）计算?x L =，?y L =，2?x L =，2
?y L =；
（ii 1
,2x y L L ⎡⎤≥
⎣
⎦。

Solution ：()
2
2
,1,L l m l l l m =+，,,z L l m m l m =
,x y z L L i L ⎡⎤=⎣⎦
，,y z y z z y x L L L L L L i L ⎡⎤=-=⎣⎦ 0x y z z
y y y i
L
L L L L m
L L =-=-=
因此：0x y L L ==
()()()()
2
2
x y z z y x y z x z y x y x z y z y x
y
y x z z y x
i
L L L L L L L L L L L L L L L i L L L L i
L L L L L L L =-=-=+-=+-
因此：2
2
x y L L =；利用：()
2
2
2
2
2
1x y z L L L L
l l ++==+
()
2222
1
1
2
x y
L L l l m
⎡⎤
==+-
⎣⎦
()()(
)
22
222
x x x x x x
L L L L L L
∆=-=-=
类似地：(
)22
y y
L L
∆=
()22
1
1
2
l l m
⎡⎤
=+-
⎣⎦，2
1
,
22
x y
m
L L
⎡⎤=
⎣⎦
这里：()22
1
l l l m m
+>≥≥，因此：()222
10
l l m m l m l m
+--=-+-≥
m l
=±
1
,
2x y
L L
⎡⎤
≥⎣⎦
角动量：角动量为1
（1
l=），(
)
2ˆˆ,
z
L L的共同本征函数是：
11
10
11
i
i
Y e
Y
Y e
ϕ
ϕ
θ
θ
θ-
-
⎧
==
⎪
⎪
⎪⎪
==
⎨
⎪
⎪
==
⎪
⎪⎩
[1]（15分）求()
2ˆˆ,
x
L L的共同本征函数，并把它们表示为
111011
,,
Y Y Y
-
的线性叠加。

[2]（15分）对于
10
Y，求力学量ˆ
x
L的可能测量值及相应概率。

解：【1】作如下坐标变换：{}{}
,,,,,
x y z y z x r
r
→→，则x轴相当于z
轴，因此：
)
11111011
101111
11111011
11
22
11
22
i Y Y
Y Y
i Y Y
φ
φ
φ
-
-
--
⎧⎛⎫
==-+
⎪ ⎪
⎝⎭
⎪
⎪⎪
==-+
⎨
⎪
⎪⎛⎫
⎪==+
⎪
⎝⎭
⎪⎩
选取适当的相位因子后，()
2ˆˆ,
x
L L的共同本征函数可重新写为：
)
11111011
101111
11111011
11
22
11
22
Y Y
Y Y
Y Y
φ
φ
φ
-
-
--
⎧
=++
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪
=-+
⎪
⎩
【2
】根据上问结果，)
101111
Yφφ
-
=-，因此力学量ˆ
x
L的可能测量值是±，概率均为50%。

线性谐振子：一维线性谐振子的哈密顿：
222
22
p m x
H
m
ω
=+，x与p满足对易关系：[],x p i =；引入算符
：,
Q x P p
==
，线性变换
：))
,
a Q iP a Q iP
+
=+=-。

计算：(i)对易关系：[],?
Q P=,?
a a+
⎡⎤=
⎣⎦,?
a a a+
⎡⎤=
⎣⎦,?
a a a
++
⎡⎤=
⎣⎦；(ii)将H用,a a+表示，并求出基态能及能级的一般表达形式。

解：（1）[]
,Q P i
=,1
a a+
⎡⎤=
⎣⎦[,]
a a a a
+=,
a a a a
+++
⎡⎤=-
⎣⎦
（2）
2221
222
p m x
H a a
m
ω
ω+
⎛⎫
=+=+
⎪
⎝⎭
，
1
2
n
E nω
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，0,1,2...
n=
线性谐振子：
22
2
22
p m x
H
m
ω
=+。

使用占有数表象，哈密顿可写为：()
†
1
2
H a a
ω
=+。

这里ˆa 是湮灭算符，†ˆa是产生算符：
†
,
22
i i
a x p a x p
m m
ωω
⎫⎫
=+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
[1]（10分）把位置算符ˆx，动量算符ˆp表示为产生算符†ˆa，湮灭算符ˆa的形式；
[2]（10分）考虑一维线性谐振子的基态0，使用占有数表象求：ˆ?
x=，ˆ?
p=，2ˆ?
x=，
2ˆ?p
=； [3]（10分）使用占有数表象分别对一维线性谐振子的基态和激发态，验证它们都满足海森堡不确定关系
()()
2
2
2
4
x p ∆∆≥。

【1
】()()ˆˆˆˆˆˆ,
m x
a
a p i a a
ω
++=+
=-- 【2】
2222ˆˆ0||00ˆˆ0
||00ˆˆ0||02ˆ
ˆ0||02
x
x p
p x x m
m p
p
ω
ω
========
【3】基态：()()()()2
2
2
2
2
ˆˆˆˆ,,22
4
m x
p
x
p
m ωω
∆=
∆=∆∆=
激发态：
()()()()()()()
2
2
2
2
2
2
2
212121ˆˆˆˆ,
,22
4
4
n m n n x
p
x
p
m ωω
+++∆=
∆=∆∆=
≥
泡利矩阵：单位向量ˆn 位于x-z 平面上与z 轴成θ角，（i ）求：ˆn n
σσ=⋅的本征值及本征函数（取z σ表象）。

（ii ）对自旋向上的态()1z χσ+=，求n σ的可能测量值及相应概率。

Solution ：()ˆsin ,0,cos n θθ=，cos sin ˆsin cos n θ
θσθ
θ⎛⎫
⋅=
⎪-⎝⎭
本征方程：cos sin sin cos a a b b θθλθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，本征方程有非零解的条件：
cos sin det
0sin cos θλθ
θ
θλ
-=--，解为：1λ=±；
对于1λ=，1cos 2sin 2θφθ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，对于1λ=-，1sin 2
cos 2θφθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
在z σ表象下，()110z χσ+⎛⎫
== ⎪⎝⎭。

n σ的可能测量值为1±；
取+1的几率是：2
2
1|cos 2
θ
φχ+
=，取-1的几率是：
2
2
1|sin 2
θ
φχ-+
=。

占有数表象：假设,a b 是两种湮灭算符，都满足玻色型对易关系：,1a a +
⎡⎤=⎣⎦，,1b b +⎡⎤=⎣⎦，,a b 之间无相互作用，即：[],,,0a b a b b a ++
⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦。

（i ）定义：S a b ++=，S b a -+=，()2
z S a a b b +
+
=
-；求证：,z
S S S ±
±⎡⎤=±⎣⎦，,2z S S S +-
⎡⎤=⎣⎦。

（ii ）定义算符：N a a b b
+
+
=+，求证：()2
2
211222z
N S S S S S S N +--+
⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭
Solution ：
(){}
()2
2
2
,,,,222z S S a a b b a b a a a b b b a b a b a b a b S +
+++++++++
++
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=+==⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(){}
()2
2
2,,,,22
2z S S a a b b b a a a b a b b b a b a b a b a S -
++++++++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=--=-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
{}
{}2
2
2
,,,,,2
z
S S a b b a a b b a a
b b a a b a b a a b b S +-++++
+
+++
+
+
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==
=
+=
-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()(){
}
()(){
}
{}()(){
}
()(){}()()2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1122
4
42224
4
2224
14
2
22S a a b b a bb a b aa b a b b a b a a b a a b b a ab b
a a
b b a a b b a a b b a ab b
a a
b b a a b b a ab b N a a b b a a b b N +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++++
+
+
+
+++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
-+
+=++++
+-=+++
+-=++++⎛⎫
=
++
+=
+ ⎪⎝⎭
两能级系统：哈密顿为：0H H H '=+，在0H 表象中，0H 和H '的矩阵表示分别为：
1
0200E
H E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，00b H b ⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦。

用矩阵对角化方法严格求解H 的本征值和本征态。

解：本征方程：H E ψψ=，即：120E E
b b
E E αβ-⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
有非零解的条件为：()12det 0E E b
H E b
E E
--=
=-
解得：()
1212E E E E ±⎡
==
+±⎢
⎣
将E ±代入本征方程，并利用波函数归一化条件，可求出两本征值对应的本征态。

假设12E E >，定义：12
2E E R b
-=
E E +
=，R βα++=
，)
1/2
2
1R α-+⎡
⎤
=+
⎢⎥
⎣
⎦
，)
1/2
2
1R β-+⎡
⎤
=+
⎢⎥
⎣
⎦
E E -
=，
R βα
αβ-+-+
⎤=-=-⎦，αβ-+=，βα-+
=-
两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。

它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。

由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。

（i ）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。

总自旋算符定义为：12S s s =+。

求：2
S 和z S 的本征值；（ii ）假设空间部分
波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，2
S 和z S 的本征值；（iii ）假设两电子系统哈密顿量为：12H Js s =⋅，分别针对（i ）（ii ）两种情形，求系统的能量。

1）自旋三重态：空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：
)s χ⎧
⎪↑↑⎪⎪
=↓↓
⎨⎪↑↓+↓↑ 对应总自旋平方2
S 本征值为：2
2
对应总自旋第三分量z S 本征值分别为：,,0-
2
）自旋单态：空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：)A χ=
↑↓-↓↑ 对应总自旋平方2
S 本征值为：0 对应总自旋第三分量z S 本征值分别为：0
3）哈密顿：12H Js s =⋅，利用：222
12122
S s s s s --⋅=
针对自旋三重态：2
2
2
1232
24
2
4
s s -⨯⋅=
=
，对应能量：2
4
T J E =
针对自旋单态：2
2
1230234
2
4
s s -⨯
⋅==-
，对应能量：2
34S J E =-
自旋—轨道耦合：考虑在二维电子系统中存在自旋—轨道耦合：0s o H H H -=+。

0H 是二
维自由电子哈密顿量：2
2
022y
x
p p H m m
=
+
，假设电子的轨道运动被限制在x y -平面内。

s o H -表示电子自旋运动与轨道运动的耦合：()
x
y s o y
x H p p λ
σ
σ-=
-。

（泡利矩阵：
0110x σ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，00y i i
σ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，10ˆ101⎛⎫= ⎪⎝⎭。

）
电子波函数可表示为自旋运动波函数与轨道运动波函数的直积形式：
()()(),z z k s k s ψψχ=。

(
)()x y i k x k y ik r k A
ψ+⋅=
=（A 为二维电子系统的面积），102z s χ⎛⎫
⎛
⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，012z s χ⎛⎫
⎛
⎫=-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。

[1]（10分）对哈密顿0
ˆH 求解本征值问题，并说明对2
z s =±，能量是简并的。

[2]（20分）对哈密顿0s o H H H -=+求解本征值问题，求出本征值及对应本征函数。

解：【1】(
)()
x y i k x k y ik r k ψ+⋅==，()(),0k k ψψ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()0,k k ψψ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
22
022
0202k m
H k m ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝
⎭
，显然能量22
2k
m 是简并的。

【2】令：()()()()()0,,0a k a k b k a b k k b ψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()
2222y x y x p p ip a a m k E k b b p p ip m λ
ψψλ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝⎭
，
()
()
2
2
2
2
2det
02y x y x k E k ik m
k
k ik E m
λλ-+=--，解出：
()2
22222
02x y k E k k m λ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，22
2k E k m λ=±，()22
k
k i i e k e θθψψ±-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
±⎝⎭
，tan x k y k k θ=
三自旋系统：
考虑三个自旋1/2组成的系统，哈密顿为：()122313H J S S S S S S =⋅+⋅+⋅，0J >。

（i ）
利用：
()2222
123123
1223132
S S S S S S
S S S S S S
++---
⋅+⋅+⋅=，求三自旋系统的能级和简
并度；（ii）假设三自旋系统中1、2两自旋组成自旋单态，第3个自旋向上或向下；波函数可表示为直积的形式：
)
112123
ψ=+---++
，)
212123
ψ=+---+-；定义：
123
tot
S S S S
=++，求：2
11
||?
tot
S
ψψ=，2
22
||?
tot
S
ψψ=，
11
||?
z
tot
S
ψψ=，22
||?
z
tot
S
ψψ=，
1
?
Hψ=，
2
?
Hψ=
Solution：（i）两自旋1/2耦和，总自旋为：1，0；三自旋耦1/2和，总自旋为：3/2，1/2
三自旋1/2共有8种直积表示的基矢，总自旋3/2对应4个不同的量子力学态，剩下还有4个态对应总自旋为1/2。

能级：()
2
2
2
3
,4
94
1
3
24
,4
4
t t
J f
J
E S S
J f
⎧
=
⎪⎪
⎡⎤
=+-=⎨
⎢⎥
⎣⎦⎪-=
⎪⎩
(ii)222
1122
3
||||
4
tot tot
S S
ψψψψ
==，
11
||
2
z
tot
S
ψψ=，
22
||
2
z
tot
S
ψψ=
-
2
1122
3
4
H H J
ψψψψ
==-
厄米算符：请证明（1）厄密算符的本征值是实数；（2）不同本征值对应的本征矢相互正交。

证：假设A为厄米算符，A a a a
'''
=，*
a A a A a a
+
''''''''
==
()()*0
a A A a a a a a
'''''''''
-=-=，如果a a
'''
=，0
a a
''>，则*
a a
''
=，即a'为实数。

如果a a
'''
≠，则0
a a
'''=，即不同本征值对应本征矢相互正交。

电子在均匀磁场中运动，假设磁场沿正z方向：
z
B
=
B e，电子自旋为1/2，质量为m，电
荷为e，磁矩为：
2s
e
g
m
=-
μS，（2
s
g=）。

自旋用泡利矩阵：
2
=
S σ表示；
01
10
x
σ
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
y
i
i
σ
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
10
01
z
σ
⎛⎫
= ⎪
-
⎝⎭
（1）求自旋在均匀磁场中的哈密顿量，并写出自旋的运动方程：i H
t
χ
χ
∂
=
∂
；[5分]
（提示：磁矩在均匀磁场中的能量：m U =-⋅μB ）
（2）在z σ表象中求解，自旋波函数可表示为：1001a a b a b b χχχ+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，并
满足归一条件：2
2
1a b +=；假设0t =
，011χ⎫
=⎪⎭
，求时刻t ，波函数()t χ的表达
式；[10分]
（3）求时刻t ，自旋的平均值：()()()()()()2
2
2
t t t t t t χχχχ+=
=
=S σσσ；
（即求：()x S t ，()y S t ，()z S t ）[10分] （4）求时刻t ，自旋延y 方向取值为2
-的几率是多少？[5分]
解：(1)B i
t
χμχ∂
=⋅∂σB ，
（2B e e m μ=是玻尔磁子） (2)00B B B a a d i B b b dt μμ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，令B L B
μω=，()(),L L i t i t a t b t ωω-==， (3)
()()()()()*
*2201102
4
cos 24
42i t i t
i t
x x i t i t
i t
i t i t i t L i t a e S t a b e e
b e e t
e e e e e ωωωωωωωωωωσω-----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫=
=+=
⎪⎝⎭
()()()()()*
*
22002
4
sin 24
4
2i t i t
i t
y y i t i t
i t
i t i t i t L i t a i e S t a b e e
b i e e t
ie ie i e e e ωωωωωωωωωωσω------⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫=
-=-=
⎪⎝⎭
()()()()()*
*10012
4
110
4
4
i t i t
i t
z z i t i t
i t
i t i t a e S t a
b e e
b e e e e e ωωωωωωωωσ----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
=
-=-= ⎪⎝⎭
(4)
假设时刻t ，自旋延y 方向取值为2
-
的几率是P ，则取
2
的几率是1P -，满足：
()sin 2122
2L t P P ω-+-=，解出：1sin 22
L t
P ω-=。