工程力学11-弯曲应力

16kN
+
x
160
B
20kN M 12kN· m
+ －
B截面上边受拉下边受压
x 8kN· m
s
B

M
y B 2 Iz

8 10 146 . 8
6
2 . 9 10
6
7
40 . 50 MPa
s
B

M
y B 1 Iz

8 10 53 . 2 2 . 9 10
7
14 . 67 MPa
A
z y
dA
Mz
M
y


s ( y ) zdA
A
s
x
Mz My
FN
M
z

s ( y ) ydA
A
y
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
FN

s ( y )dA
A
s ( y) E
E
y
r
z y
dA
Mz

x FN
My
s ( y )dA
A
r

ydA
A
s
纯弯曲情况下有：
M
y
Mz
y
工程力学
组合公式：
IZ = IZ（1）+ IZ（2）+……+ IZ（n）
三、平行轴定理
任一截面面积为A，过形心取yc、zc轴，过任一点O取 与yc 平行且相距为b的y1轴及取与zc轴平行且相距为a的
z1轴，则有： IZ1 = IZc+Aa2
Iy1 = Iyc+Ab2
所以：一组平行轴，对过质心的轴的惯性矩最小。
一般情况下，梁弯曲时横截面上既有正应力也 有切应力，为便于讨论，先研究纯弯曲下的应力分 布规律。
t Fs
M
M
Nc Nt
s M
工程力学
思路：先研究只有M，没有Fs情况下，正应力
分布规律：M-s关系。然后分析Fs的存
在对s分布规律的影响。从而得到既有 M又有Fs时的正应力分布规律。
工程力学
火车轮轴简化
均不成立。即切应力的存在对正应力的分布
规律有影响。
工程力学
弹性理论的精确分析告诉我们，这种影 响与梁的跨高比 l/h 有关，跨高比 l/h 越大， 影响越小，即梁越是细长，影响越小。
l/h>5 时，横力弯曲时可近似地用纯弯曲
时公式计算弯曲正应力:
s
M x Iz y
工程力学
2.对于具有纵向对称面的梁(可不对称于中性 轴)，如T形、工字形的纯弯曲公式可以使用。 3.对于非平面弯曲（外力不在梁的对称面内， 弯曲后的轴线也不在外力所在的平面内，斜 弯曲），公式不适用。 4.对于非弹性材料，公式不适用。 5.对于曲梁，公式不适用。
工程力学
公式导出条件： 1、纯弯曲； 2、正应力不超过材料的比例极限；
工程力学
公式适用条件：
1、纯弯曲；（Fs＝0, M0） 2、满足胡克定律； 3、 适合任何形状截面； 4、对于横力弯曲，细长梁可以近似使用（跨 度与截面高度比大于5）；
工程力学
z轴为横截面的对称轴时 (如图形、矩 形、工字形)
+ －
ห้องสมุดไป่ตู้
sB
x 8kN· m
Iz M B y1
Iz
14 . 67 MPa
至此，该问题中最大拉应力位于B截面的上 边缘，而最大压应力位于C截面的上边缘
工程力学
例
悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求 (1) 1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。 (2) 求梁上最大正应力。
3m 20kNm
FN
FN 0
0
M
z
M ( 弯矩 )

s ( y )dA
A
E
r

ydA 0
A
E
r
0

A
ydA S z 0
横截面对 z 轴的静矩等于零 Z轴（中性轴）通过截面形心
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
M
z


s ( y ) y d A M ( 弯矩 )
A
|s
L max
| | s C max |
z轴不是对称轴时(如T字、梯形等)
|s
L max
| | s C max |
工程力学
§11-3 惯性矩与平行轴定理
b
惯性矩：
Iz

y dA
A
2
一、简单截面的惯性矩
1、高为h、宽为b的矩形截面：
h
z
y
3 3 hb bh I I y z 12 12 ， 2 2 Iy Iz bh hb W z W y h/ 2 6 b/ 2 6
3
90
90
A 150 B
30

180 300 12
6
3
10
4
12
50 C
150
D
z
405 10
s
A
m
3
y
150 10
3

M 1 1 Iz
yA
20 10 405 10
6
6

工程力学
7 . 41 10
7 . 41 Mpa
90
90
M
A
dx
A r
y C m'
M
y
mC B
( y)
mm' d x r d q mm’ 变形后长度: z mm' ( r y ) d q x mm’ 位置的线应变:
表明: 距离中性层为y的任 一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比
B
rdq
m'
y
y
( r y )d q r dq
s
B
0 中性轴上
M 1 1 Iz
3
A 150 B
30
15kN 1
A 90 90
A 150
B C D 30
B 50 C
150
z
1 4m 1m
y
D 工程力学
解：(1) 画出梁的弯矩图
3m
20kNm
15kN 1
A
B C
D
4m
1m 1
+ 20
M (kNm)
25
工程力学
(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。
M 1 1 20 kN m
Iz bh 12
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩， 当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律: 代入几何关系 得到
s E
( y)
y
r
y
s ( y) E
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
FN

s ( y )dA
6
Iz
M
C
2 . 9 10
7
C
12 10 146 . 8
6
Iz
2 . 9 10
7
60 . 74 MPa
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察B截面，弯矩为负
zO
O
40
y1
M
z
M
12kN
+ －
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察C截面，弯矩为正
zO
O
40
y1
12kN
+ －
16kN
+
M
z
M
x
160
C
22 MPa
20kN M 12kN· m
+ －
C截面下边受拉上边受压
x 8kN· m
s
s
C

M
C
y1

y2
12 10 53 . 2
工程力学
如图所示一个铸铁梁，求此梁的最大压应力和最大拉应力
mm 32kN 16kN 10 10
40
1m
1m
0.5m
160
工程力学
200
32kN
16kN
1、计算约束反力
M
A 1m
FA
A
0
C 1m
B 0.5m
FB
D
32 1 F B 2 16 2 . 5 0 F B 36 kN
剪力图Fs
弯矩图M
工程力学
剪力图Fs
弯矩图M
梁段CD上，剪力Fs＝0，弯矩M0
梁段AC和BD上，剪力Fs0，弯矩M0
－－纯弯曲 －－横力弯曲
工程力学
2、实验观察
M M
变形前
a b a b
变形后 mm’ nn’ 仍为直线，且垂 直于aa,bb 根据实验结果，可假设，变形 前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持平面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，这就是弯曲变形的平面假 设。
工程力学
矩形截面和圆形截面的惯性矩
矩形截面
圆形截面
Iz
bh 12
，W z
4
h 2 Iz
d 2
4

6

h
3
Iz
bh
2
Iz
d
64
，W z
d
32
3
b
IZ
(D
4
d )
4

D
64
(1 )
4
D
64
WZ
D
32
3
(1 )
4
d D
s沿横截面宽度方向均匀分布。
工程力学
§11-4 横力弯曲正应力 1.纯弯曲理论推广
纯弯曲正应力公式成立的前提：平面
假设，纵向纤维间无挤压，横力弯曲梁横
截面上有剪力，因而横截面上将还有切应 力存在。
工程力学
例如矩形截面梁
A
Q
A
工程力学
矩形截面从上到下各点不均匀的切应力 将引起不均匀的错动，因此，横截面不可能 再保持为平面。而且由于横向力的存在，将 引起梁纵向纤维间的相互挤压，因此，对于 横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，
工程力学
3、纯弯曲时正应力分布关系
s ( y)
My Iz
压应力
由公式可知，某一截面的最大正应力发生在 距离中性轴最远处。
s max
M Iz y max Iz y max
弯矩M
截面
取 Wz
拉应力
s max
M Wz
工程力学
s
My z
s——横截面上的正应力，（Pa或MPa） M——横截面上的弯矩，（N· m） y——横截面上任一点到中性轴的距离，（m） Iz——截面对Z轴的惯性矩， 与截面的形状和尺寸有关，（m4)
工程力学
二、弯曲正应力一般公式
外力－－－－内力－－－－－－－－应力
截面法
几何，物理，静力学
1、几何关系：变形关系 2、物理关系：应力——应变之间的关系 3、静力学关系：内力——应力之间的关系
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—变形几何关系 从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段: dq 中性层位于CC mm’ 变形前长度:

Fy 0
F A F B 32 16 0 F A 12 kN
2、画出剪力弯矩图
？最大拉应力和最大压应力是
否都发生在截面 C
工程力学
10
y2
y 10
3、计算截面的几何性质 设截面的形心位于 O 点
200
O
40
y1
y1
zO
160 200 100 140 160 120 160 200 140 160
z y
dA
Mz
M
z

E
r

y dA M
2 A
s
1
x
Mz My
FN

A
y dA I z
2
y
E
横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩 1 / r 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / r 越小 EI 梁的抗弯刚度
r
Iz M
r

M EI z
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导
s ( y) E
y
r
s ( y)
My Iz
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
工程力学
3、纯弯曲时正应力分布关系
s ( y)
My Iz
对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则s ( y )沿截面高度 的分布规律:
压应力
弯矩M
截面
拉应力
受压一侧应力为负（压应力）， 受拉一侧应力为正（拉应力）
主讲教师：门玉涛
第十一章
问题：
弯曲应力
1、矩形截面梁纯弯变形后有何特征？平面假设? 2、梁弯曲问题存在哪些应力，如何计算？
3、梁弯曲问题强度分析时，重点应在那些部位？
4、如何在经济前提下，提高梁的承载能力？
一、 工程背景
起重机大梁
工程力学
火车轮轴
工程力学
工程力学
P
工程力学
§11-2 对称弯曲正应力
53 . 2 mm
2
160
z
Iz
160 200 12
3
(160 200 ) (100 53 . 2 )
3
140 160 12
2 . 9 10
7
(140 160 ) (120 53 . 2 )
2
4
mm
y 2 200 53 . 2 146 . 8 mm
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
sC
200

M
C
y1 y2
22 MPa 40 . 50 MPa
Iz M
B
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
s
zO
O
y1
B

Iz
M
C
12kN
+ －
16kN
+
s
160
x
z
C
40
y2
60 . 74 MP
20kN M 12kN· m
变形后
m a b m' n a b n'
M
工程力学
变形前
M M
a b a b
由于弯曲的作用，上部纤维缩短， 下部纤维伸长。 中间必有一层保持原长，这一层称 为: 中性层