2016年陕西省宝鸡市高三教学质量检测二数学理科答案
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∴①0＜t＜ ，时，函数f（x）在（t， ）上单调递减，在（ ，t+ 2）上单调递增，
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（ ）=﹣ ，
②当t≥ 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min= ；………………6分
（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a
四、选做题
22.证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．…………5分
（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90° ，
∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE2=BE•CE，
∴由余弦定理得： ，∴ ．……………5分
（Ⅱ）由正弦定理得： ………7分
又 ，∴ ，…………8分
∴ ，……………10分
而 ，∴ ，∴ ，∴ .………12分
18.解：（Ⅰ）设各组的频率为 ，………………2分
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
， ， ………3分
所以由 得 ，所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，
又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．
∴DE2=EF•BA，
∴BE•CE=EF•BA．………………10分
23.解： (Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；
直线l的普通方程为x－y－2＝0．…………5分
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0(*)
19.证明：（Ⅰ）连结 和 交于 ，连结 ，………………2分
为正方形， 为 中点， 为 中点，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ．………………6分
（Ⅱ） 平面 ， 平面 ， ， 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系，………………8分
则 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
数学（理科）试题与答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
D
B
C
D
C
C
A
D
B
B卷
A
C
C
D
B
A
B
A
C
D
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，13.36414. 15. 75 16.7
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由正弦定理得： ，………………2分
题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），………………8分
即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点
∵G′（x）=﹣ +2，∴G（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
（Ⅱ）设直线BC的斜率为k,显然k>0，则直线 的方程为： ，
由 消 得 ，
易知 、 为该方程的两个根，故有 ，得 ，
从而得 ，………………8分
类似地，直线 的方程为： ，从而得 ，由 ，得 ，解得 ， ．10分
因为 ，
所以 ，即 的最小值为 ，当且仅当 时取得最小值．……………12分
21．解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x= ，………………2分
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1．………………10分
24.解：（Ⅰ）
当且仅当 时取等号
，此时
（Ⅱ）
函数 的图像如图，由于 的图像是过点Ｐ ，斜率为a的直线，由图可得不等式 的解集非空时a的取值范围是 ，即
……………………10分
由图象知，当a＞G（x）min=G（ ））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意 ，………………10分
两式相减可得ln =2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1= 2，
此时a= ln2﹣ln（ ）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ ln2﹣ln（ ）﹣1；……………12分
， 为正方形， ，
由 为正方形可得： ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，令 ，则
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，令 ，则 ，
设平面ＢＣＦ与平面ＢＥＦ夹角的大小为 ，则
平面ＢＣＦ与平面ＢＥＦ夹角的余弦值为 ………………12分
20.解：（Ⅰ）由题知，点P（m，4）到抛物线的准线距离为５，所以准线方程为 ，抛物线Ｇ的方程为 ………………5分
故全年级视力在5.0以下的人数约为 ………………5分
（Ⅱ） ……………8分
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……9分
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， 可取0,1,2,3
， ， ， …10分
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望 ………………12分
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由(*)得t1＋t2＝2(4＋a) ，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（ ）=﹣ ，
②当t≥ 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min= ；………………6分
（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a
四、选做题
22.证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．…………5分
（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90° ，
∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE2=BE•CE，
∴由余弦定理得： ，∴ ．……………5分
（Ⅱ）由正弦定理得： ………7分
又 ，∴ ，…………8分
∴ ，……………10分
而 ，∴ ，∴ ，∴ .………12分
18.解：（Ⅰ）设各组的频率为 ，………………2分
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
， ， ………3分
所以由 得 ，所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，
又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．
∴DE2=EF•BA，
∴BE•CE=EF•BA．………………10分
23.解： (Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；
直线l的普通方程为x－y－2＝0．…………5分
(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0(*)
19.证明：（Ⅰ）连结 和 交于 ，连结 ，………………2分
为正方形， 为 中点， 为 中点，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ．………………6分
（Ⅱ） 平面 ， 平面 ， ， 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系，………………8分
则 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
数学（理科）试题与答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
D
B
C
D
C
C
A
D
B
B卷
A
C
C
D
B
A
B
A
C
D
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，13.36414. 15. 75 16.7
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由正弦定理得： ，………………2分
题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），………………8分
即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点
∵G′（x）=﹣ +2，∴G（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
（Ⅱ）设直线BC的斜率为k,显然k>0，则直线 的方程为： ，
由 消 得 ，
易知 、 为该方程的两个根，故有 ，得 ，
从而得 ，………………8分
类似地，直线 的方程为： ，从而得 ，由 ，得 ，解得 ， ．10分
因为 ，
所以 ，即 的最小值为 ，当且仅当 时取得最小值．……………12分
21．解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x= ，………………2分
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1．………………10分
24.解：（Ⅰ）
当且仅当 时取等号
，此时
（Ⅱ）
函数 的图像如图，由于 的图像是过点Ｐ ，斜率为a的直线，由图可得不等式 的解集非空时a的取值范围是 ，即
……………………10分
由图象知，当a＞G（x）min=G（ ））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意 ，………………10分
两式相减可得ln =2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1= 2，
此时a= ln2﹣ln（ ）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ ln2﹣ln（ ）﹣1；……………12分
， 为正方形， ，
由 为正方形可得： ，
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，令 ，则
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，令 ，则 ，
设平面ＢＣＦ与平面ＢＥＦ夹角的大小为 ，则
平面ＢＣＦ与平面ＢＥＦ夹角的余弦值为 ………………12分
20.解：（Ⅰ）由题知，点P（m，4）到抛物线的准线距离为５，所以准线方程为 ，抛物线Ｇ的方程为 ………………5分
故全年级视力在5.0以下的人数约为 ………………5分
（Ⅱ） ……………8分
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……9分
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， 可取0,1,2,3
， ， ， …10分
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望 ………………12分
△＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由(*)得t1＋t2＝2(4＋a) ，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有