高考数学专题：导数大题专练附答案

高考数学专题：导数大题专练附答案
一、解答题
1．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中
()
G a b ,a ，b 的几何平均数，()2
a b
A a b +=
,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a b
L a b a b
-=
-.
(1)设1x >，求证：12ln x x x
<-，并证明()()G a b L a b <,,；
(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围.
2．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标；
(2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围．
3．已知a R ∈，函数()2
2e 2
x
ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1
201x x ，
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 4．已知函数()ln .f x x x ax a =-+
(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <
5．函数()3e x
f x ax =-，0a >.
(1)讨论函数()f x 的极值点个数；
(2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若
[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，且0x 是函数()f x 的极值点，
求a 的取值范围.
6．已知：()e x
f x mx =+.
(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；
(2)当0x ≥时，()2213
222
m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围
7．已知函数()ln x
f x x
=
， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；
(2)若2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．
8．设函数ln e ()x
x f x a x
=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若3
4
e a ≥
，证明：()0f x <. 9．已知函数()()()2
e 1,e 2.718x
f x m x m R =-+∈≈.
(1)选择下列两个条件之一：①12
m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；
(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围. 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.
【参考答案】
一、解答题
1．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】 【分析】
（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到
12ln x x x
<-
. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.
（2
）把题意转化为1
112ln a a b m a b b
-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.
令)1t t =>，即为
1ln 01t m t t -⋅
-<+恒成立.令()()1
ln 11
t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)
令()11ln 2f x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，定义域为()0,+∞.
则()()2
2222
111121
2222x x x f x x x x x ---'=--==-
. 所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.
所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛
⎫
<- ⎪⎝
⎭
，即1
2ln x x x
<-.（*）
要证()()G a b L a b <,,
ln ln a b
a b
--，
只需证ln a b <
令)1t t =
>，则由（*），得12ln t t t <-.
所以()()G a b L a b <,,.
(2)
由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得
ln ln 2a b a b m a b -+⋅-
恒成立，即1
112ln a
a b m a b b
-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.
令)1t t =>，由()2211
12ln 2
t m t t t -⋅
<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1
ln 01
t m t t -⋅
-<+恒成立. 令()()1
ln 11t g t m t t t -=⋅
->+，则 ()()()()()()2
2222
212112
1111mt t t m t g t m t t t t t t
-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，
易知方程()2
2110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，
所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意.
ii.当02m <≤时，有()()()222
214110mt t t t t -+≤-+=--<， 所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 2．(1)证明见解析，()0,3T ；
(2)⎛
⎝⎦
. 【解析】 【分析】
（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，利用点斜式写出直线AC ，BC 的方程，由C 在两直线上，即可知直线AB 的方程，进而确定定点.
（2）联立抛物线24x y =和圆T ：()2
223x y r +-=，由题设及一元二次方程根的个数求参数r 的范围，由122
PQMN QM PN
S y y +=
⋅-结合韦达定理得到PQMN S 关于r 的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围. (1)
设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，则12
AC x k =，22BC x
k =，
直线AC 为：()1111122
x x x y y x x y y -=
-⇒=-，同理直线BC 为：222x x
y y =-，
把(),3C m -代入直线AC ，BC 得：1122
32
32x m y x m y
⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
∴()11,A x y ，()22,B x y 都满足直线方程32xm y -=-，则32
xm
y =+为直线AB 的方程，故直线l 恒过定点()0,3T ． (2)
如图，设圆T 的半径为r ，()11,M x y ，()22,N x y ，()11,Q x y -，()22,P x y -， 把24x y =代入圆T ：()2
223x y r +-=，整理得22290y y r -+-=，
由题意知：关于y 的一元二次方程有两个不等实根，则()
212212
44902090r y y y y r ⎧∆=-->⎪⎪
+=>⎨⎪=->⎪⎩，可
得223r <．
(
121212121212
2222
PQMN QM PN
S y y y y y y y y y y y y +=
⋅-=-=++-()()()222
2
222944942
198r r r r =+---=+
--
29r t -=，由223r <得：01t <<，则()()2211PQMN S t t =+-
令()()()2
11f t t t =+-且01t <<，则()()()311f t t t '=--+，
故在1
(0,)3
上()0f t '>，()f t 递增；在1
(,1)3上()0f t '<，()f t 递减； 所以132()()3
27
f t f ≤=
，又(0)1f =，(1)0f =，故f t 的取值范围是320,27⎛⎤ ⎥⎝⎦，
综上，PQMN S 的取值范围是323⎛ ⎝⎦
．
【点睛】
关键点点睛：第二问，由圆T ：()2
223x y r +-=，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r 的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围. 3．(1)(2e 1y x =-+
(2)（ⅰ）(2
e 2e ,4e -；（ⅱ）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）（ⅰ）原问题等价于12,x x
a =-的两根，且1201x x ，从而构造函数(
))0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两
个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；
（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得(
)()1112210x ax f x '++-=
，即
1x 2114x <<
，从而可证21x x -<()21e 011x x
x x +<
<<-
，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i i
x ax f x i x +'⋅+->==-，
即(
()2
2201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数
(
)(
222m x ax a x =-++++
21x x ->而得证原不等式. (1)
解：因为(
)22e x f x ax '=+所以(
)02f '=()01f =，
所以曲线()y f x =在0x =
处的切线方程为(21y x =-+； (2)
解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，
所以12,x x 是关于x 的方程(
)22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x
的方程
a =-的两正根， 设(
))0g x x =>，则(
)g x '=
， 令(
))224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e x
h x x '=，
当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
所以，当104
x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14
x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
又因为1
201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<
⎪⎝⎭
，即2
2e a <-<- 所以a
的取值范围是2
2e ,-；
22e 9a <<-，
因为1e x x +≤，所以(
)()1112210x ax f x '++-=，
所以(
)142a x +-
，所以1x 2114
x <<，
所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x x
x x
+<
<<-， 设()()2101e 1x
x r x x x -=⋅<<+，则()()
2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，
所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x
x
x x
+<
<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是(
)22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以
()()01,2i f x i '==，又()21e 011x x
x x
+<
<<-，
所以()()1201,21i
i i i
x ax f x i x +'⋅
+->==-
，即(
()22201,2i i ax a x i -++++-=，
设函数(
)(
2
22m x ax a x =-++++
x t ==
因为(
(
(
)2
2
24261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，
()10m >，1
02
t <<
， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，
因为(
)
2
2616
2
12e 201t
a t
f t at at t
+++'=+-⋅+-=<-，且
()00f '>，()10f '>，
所以1
201x x ，
因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，
因为
βα-=
又()1
09a -<
<<-，所以βα->
所以21x x ->
综上，21x x <-< 【点睛】
关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可
得1x
21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放
缩可得()()1201,21i
i i i
x ax f x i x +'⋅
+->==-，从而构造二次函数(
)(
222m x ax a x =-++++
21x x ->4．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】
(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+
≥，设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥，求导得221()a x a
g x x x x
-'=
-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1
a =时，方程()f x
b =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111
()()f x f x <，再构造
函数，设1
()()()(01)F x f x f x x
=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)
1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0a
x a x
-+
≥， 设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥，2
2
1
()a x a
g x x x x -'=-=
，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；
当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；
当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，
min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．
综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)
证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，
在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，
不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证21
11x x <<
， ()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证1
21
()(
)f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明11
1
()()f x f x <，设1
()()()(01)F x f x f x x =-<<，
则22211
()ln ln ln 0x F x x x x x x
-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，
()(1)0F x F ∴<=，1
()()0f x f x
∴-<，即11
1
()(
)f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 5．(1)答案见解析
(2)2e e ,123⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）求出()'
f x ，由()0f x '=知0x ≠，分离参数得2e 3x
a x =，引入函数2e ()3x G x x
=，
由()G x 的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数； （2）令()()
e x
xg x h x =
，求导后得()h x 是增函数，不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，
整理得
()()()
222e
e
x
x
x g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，由单调性得x 的范围，从而得出
0x 的范围，结合极值点的要求得0[1,2)x ∈，然后由（1）的函数()G x 的性质得a 的
范围． (1)
()3e x f x ax =-，则()23e x f x ax '=-，
函数的极值点为导函数的变号零点，显然0x =不是()0f x '=的解，
当0x ≠时，令()2e 3x
G x x
=，
则()2431e 2e e 2
33x x x x x x G x x x
⋅-⋅-'=⋅
=⋅， 故()G x 的单调性如表格所示：
x
(),0∞-
()0,2
2
()2,+∞
()
G x '
0>
0<
0=
0>
()
G x
单调递增 单调递减 极小值 单调递增
则极小值为()2
e 212
G =，可得函数()G x 的大致图象如图，
故当2e 0,12a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，2e 3x
a x =有两个解12,x x (120x x <<)，在1x 两侧()'f x 的符号相等，
在2x 两侧，()'f x 不变号，()f x 有1个极值点；
当2e ,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，2e 3x
a x =有三个解123,,x x x ，在这三个解两侧()'f x 均变号，()
f x 有3个极值点. (2) 令()()e x x
g x
h x =
，则()
()()()1e x
x g x xg x h x '-+'=， 因为[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>，故()()()10x g x xg x '-+>， 则()0h x '>，故函数()h x 是一个在定义域上单调递增的函数；
又[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22
e 22e x x g x xg x --≤，
整理得()()()222e e x x
x g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，结合定义域有0,20,2,
x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
故0x 的取值范围是[]1,2，又0x 是函数()f x 的极值点，即函数()f x 的变号零点，∴
02x ≠，
由（1）知，函数()G x 在区间[)1,2上单调递减，故2e e ,123a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高．
6．(1)21y x =+
(2)ln 3m ⎡∈-⎣
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；
（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222
x m g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况.
(1)
当1m =时，()e x f x x =+，
则()e 1x f x '=+，
设切点为()()00,x f x ，
故()0
0e 12x k f x '==+=， 解得00x =，
故()0
000e e 01x f x x =+=+=， 即切点坐标为()0,1，
所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+；
(2)
当0x ≥时，()2213222
m f x x ≥+-成立， 即2213e 0222x
m mx x +--+≥恒成立， 设()2213e 222x
m g x mx x =+--+， ()e x g x x m '=-+，
()e 1x g x ''=-，
因为0x ≥，故()e 10x g x ''=-≥恒成立，
则()e x g x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，
所以()()01g x g m ''≥=+，
当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立，
故()g x 在()0,∞+上单调递增，
即()()22
35012222
m m g x g ≥=-+=-，
所以2
5022
m -≥，解得m ≤≤
故1m -≤≤
当1m <-时，()010g m '=+<，
()e 2m g m m -'-=+，
设()e 2m h m m -=+，1m <-，
()e 20m h m -'=-+<恒成立，
则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，
即()e 20m g m m -'-=+>，
所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即0
00x e x m -+=， 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
故
()()0
2200013e 222
x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥， 解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤，
设()e x
x m x ϕ==-，0ln3x ≤≤， ()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，
故()x ϕ在()0,3上单调递减，
故()()3ln33x ϕϕ≥=-，
即ln33m ≥-，
所以ln331m -≤<-，
综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要
的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；
（2）由2
e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l x x x x ϕ-=
在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.
(1) 由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，
由()ln x f x x
=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，
若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭
且，则 ()
0002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x '+>，
所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=，
从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.
所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线.
(2)
由()()f x g x ≤，得
()1ln x x k x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n x
k x x -∴≥
若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max
ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦
， 令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x
'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x
()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；
当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ=
=--，即e e 1
k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢
-⎣⎭ 【点睛】 解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，
对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.
8．(1)32
322e e a <<； (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.
(1) 依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x x x x ax x a x
--=⇔=， 令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0x
x x x x
ϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，
当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23
e 2e ()23
x ϕ<<， 由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e x
x a x
-=在(2,3)上有根，因此有
23
e 12e 23
a <<，解得32322e e a <<， 所以a 的取值范围是：
32
322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x
<⇔-<⇔->， 令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x
'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，
22min 3e 4e 1()(2)4e 4e
a g x g ==≥⋅=， 令ln ()x h x x =
，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，
即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，
max 1()(e)e
h x h ==， 因此，0x ∀>，min max 1()()()()e
g x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，
即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立， 所以()0f x <.
【点睛】
思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.
9．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析
(2)[)1,+∞
【解析】
【分析】
（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递
增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值
非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由
()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小
于0 ，进而可判断函数的极值，
（2）令()0g x =，则可得()()()1
ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx
----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围
(1)
若选择①1
2m =，则()()2
112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且
()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.
若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.
令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，
所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.
又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，
所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.
则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .
(2)
令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >， 所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e
-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.
设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，
则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.
又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.
若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得.
设()ln l x x x =-，由()11l x x
'=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，
所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为
10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化
思想和计算能力，属于较难题
10．(1)单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-， (2)542542a -<<+
【解析】
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；
（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．
(1)
由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=，
解得12x =-，12x =，
所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.
所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，
，(2)+∞，； 单调递减区间为(22)-，.
(2)
由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，
又(2542f -=-2542f =+
所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。