线性代数与解析几何-第六章-特征值与特征向量说课讲解

E A 0为矩阵A的特征方程,求矩阵特
征值的问题就转化为求特征方程根的问题. 6
求方阵A的特征向量:
A X=0X（ X0） (0EA)X0的非零解
求 0 所对应的特征向量问题就转化为
求齐次线性方程组的非零解问题. 由齐次线性方程组解的性质知特征向
量有以下2条性质:
(1)X是属于 0 的特征向量,则
0 0 0
1
得基础解系为 ξ 3 1
1
1
得A的属于5的全部特征向量为 X k 3 1
k 3 是不为0的任意常数.
1
11
得A的关于特征值-1和5的特征子空间为：
V 1 X X k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 ,k 1 ,k 2 为任意常数 ;
V 2X X k ξ 3 ,k 为任意常数 .
特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量求法 特征值与特征向量的性质 实对称阵的特征值与特征向量
4
6.1.1 特征值与特征向量的概念
1.定义 设A是n阶方阵,若存在数 及非零
列向量X, 使得
AX= X, 则称 是A的特征值, X是A的属于 特征值 的特征向量. 注 1.若X=0,则A0=0,()成立.
线性代数与解析几何-第六章-特 征值与特征向量
问题的提出：
在工程技术中有许多与振动和稳定性 有关的问题（如：机械、电子、土木、化 工、生态学、核物理、弹性力学、气体力 学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵 的计算等, 都会遇到这样的问题：
1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列
向量X,使向量AX与X平行？ AX=X
E B ET1AT T1(EA)T T1 EAT E A .
27
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
O
n
相似, 则 1,2,L ,n是A 的n个特征值.
1
QEAE
2
O
n
1 2 L n
结论成立.
28
3 相似矩阵有5
如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有
(1) 特征多项式同: EAEB.
f()n( a ii)n 1 L( 1 )n|A | (2 )
i 1
比较(1),(2)中 的n 1 系数及常数项,得结论.
n
n
n
i aii tr(A), i A
i1
i1
i1
14
注: 1. A 0 A 有0 特征值.
2. A可逆 A的特征值都非0.
性质2 设λ为n阶方阵A的特征值, 且
2.几何意义:向量AX= 大 方小 向： ：A与 XX平行X
5
2. 特征值与特征向量的求法
求方阵A的特征值:
AX= X(X 0) (EA)X0有非零解
E A 0
a11 a12 L a1n
即 E A
a21 M
a22 L
M
a2n M
0
an1 an2 L ann
称 f()EA为矩阵A的特征多项式,
若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T . (2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式,
则 f (A)~f (B), f(B)T1f(A)T. (4) 若A~B,则AT ~ BT .
(5) 若A~B,则对常数t有 tEA ~ tEB .
由T可逆知, T1,…, Tn线性无关,故是A的 n个线性无关的特征向量.
34
设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量,
满足: ATi =iTi, i=1,2,…,n
如果令 T=(T1,T2,…,Tn)
2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？
2
例1
设
A
0 2
2 0
,
则对于
X
1 1
来自百度文库
,
有
AX 02 021122 211 2X
而对于 X
1 2
,
AX 02
0212
4 2
k
1 2
kX
可见有些向量X, 有AX与X平行这个性
质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性
质的向量称为特征向量.
3
6.1 特征值与特征向量 本节的主要内容
18
k1(1-m)X1+…+km-1(m-1-m)Xm-1= 0
由归纳假设 X1,X2,…,Xm-1线性无关.
所以 ki (i -m)=0， i=1,2,…,m-1
由已知i m, i=1,2,…,m-1, 得
ki =0, i=1,2,…,m-1, 代入(1)式, 有
kmXm= 0,又Xm0, 所以 km= 0. 故 X1, X2,…,Xm线性无关.
i 1
i 1 13
另一方面,
a11 a12 L
f()EA
a21 M
a22 L
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
n , n1只能出现在( a 1 1 )( a 2 2 )L ( a n n )
乘积项中. c 1 (a 1 1 a 2 2 L a n n )
cnn f (0) A(1)n | A|
特征值, 则它们所对应的特征向量 X1,X2,…, Xm线性无关.
证 由已知 A X iiX i,i 1 ,2 ,L,m
对特征值个数m用数学归纳法. 当m=1时,因为X10, 所以结论成立.
17
设m-1个特征值时结论成立, 考虑m的情形.
k 1 X 1 k 2 X 2 L k m X m 0 ( 1 )
(1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0.
性质3 实对称阵的ri重特征值i一定有ri个
线性无关的实特征向量.
即方程组 (iEA)X0
的基础解系恰好含有ri个向量.
r(iEA)nri
22
例4 设三阶实对称阵A 的特征值为-1,1,1,
-1所对应的特征向量为(0,1,1)T .
求1对应的特征向量.
线性无关的特征向量
20
6.1.3 实对称阵的特征值与特征向量
实对称阵的性质:
性质1 实对称阵的特征值都是实数. 性质2 实对称阵对应于不同特征值的实
特征向量必正交.
证 设A是n阶实对称矩阵, 是A的
的特征值,且 A= , A2= 2 2 往证1T2= 0.
21
11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2
f()X,X0
15
例3 若 AXX(X0)且A可逆,则
A1 X 1 X , A X A X
证 QAXX,(X≠0)， 且 A可逆,
A 0 0
则
而 X也是
1 A X X , A1 X
A
AXAA1X
A 的 1 属于特征值 1
1X
X
定义法
的特征向量.
16
2.特征向量的性质
定理1 如果1, 2,…,m是n阶方阵A的互异
30
5 矩阵的相似与等价的关系
两矩阵相似
等价
例1
1
A
2 4
2 x 2
4
2 1
与
5
y
5 相似,
求x, y.
解 显然A有特征值 5,-5.
由|5E –A|=5-5x=0 x = 1
tr(A) =x- 2= tr() =y
y = -1.
31
6.2.2 相似对角化的条件及方法
1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似
f(x ) a m x m a m 1 x m 1 L a 1 x a 0
则 f(A)Xf()X.
证 QAXX,(X≠0)
则 A2XA(AX)A(X)AX2X
用数学归纳法可得,对kN,有 AkXkX
f(A)X ( (a a m m A m m a a m m 1 1 A m m 1 1 L L a a 1 1 A a a 0 0 E )) X X
解 设 X =(x1,x2,x3 )T, X1 (0,1,1)T Q (X 1 ,X ) 0 , x 2 x 3 0
1 0 Xk1ξ1k2ξ2 k10k21
0 1
k 1 , k 2 是不全为0的任意常数.
23
6.2 相似矩阵
本节主要内容 相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法
24
6.2.1 相似矩阵的概念
1 定义 设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使 T-1AT =B
则称A与B相似, 记作A~B. 从A到B
的这种变换称为相似变换, T为相
似变换矩阵.
1
1
例如
T-1ET
=E,
E1
2
O
n
E
2
O
n
25
矩阵的相似关系是 M 上n 的一种等价关系, 即相似关系满足:
(1)由 E A求A0的特征值
(2)分别把A的每个特征值
i
代入1,方2程,L组,n.
(iEA)X0, 求出它的基础解系.
则基础解系的所有非零线性组合就是 A的属于 i 的全部特征向量.
8
例2
1 A 2
2
2 1 2
2 2 1
,求A特征值和特征向量 及特征子空间.
解 (1)求A的特征值
1 2 2
(1) 自反性:A~A; (2) 对称性:若A~B, 则B~A; (3) 传递性:若A~B,B~C,则A~C. 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵.
26
2 相似矩阵的特征多项式 定理6.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即
EAEB.
证 因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使 T-1AT =B
k 0, A(kX)0(kX)
(2) X 1 , X 2是属于 0 的特征向量,则
A(X1X2)AX1AX2 0X 10X 20(X 1X 2) 7
特征子空间:
对A的特征值 ,称0 方程组 (0EA)X0
的解空间 N(0E为AA的) 关于特征值 0
的特征子空间.
求A的特征值与特征向量的步骤如下:
A左乘(1)式等号两端, 得
k 1 A X 1 k 2 A X 2 L k m A X m 0
即 k 1 1 X 1 k 22 X 2 L k m m X m 0( 2 )
用m乘(1)式两端, 得 k 1 m X 1 k 2 m X 2 L k m m X m 0 ( 3 ) (2)式减(3)式,得
12
6.1.2 特征值与特征向量的性质
1.特征值的性质
性质1 设 1,2,L,n为n阶矩阵A的特征值，
n
n
n
则 i aii tr(A), i A
i1
i1
i1
证 由已知
f()EA( 1)( 2)L ( n)
n c 1n 1 c 2n 2 L c n 1 c n
n
n
n( i)n 1L( 1)n i (1)
E A 2 1 2 (5)(1)20
2 2 1
A的特征值为 121,35
(2)求特征向量
对 1 2,解方1程组
(1E3A)X0
9
2
由 1EA2
2 2
2 1 2 0
1 0
1 0
2 2 2 0 0 0
得同解方程组: x1 x2 x3
1 1
得基础解系为 ξ1 1 , ξ2 0
0 1
得A的属于-1的全部特征向量为
1 1
Xk1ξ1k2ξ2 k11k20 0 1
k 1 , k 2 是不全为0的任意常数.
10
对 3 ,解5 方程组 (5EA)X0
4 2 2 1 0 1
5EA 2 4 2 0 1 1
2 2 4
得同解方程组:
x1 x3 x2 x3
(2) 特征值同: A B . 但逆命题不成立
(3) 行列式同: A B . 即特征值同但不 (4) 迹同: tr(A)tr(B). 相似
(5) 秩同: R(A)R(B). (2)的反例如下:
AE1 01 0,B1 01 1,EAEB 12
可逆矩阵T, T1ETE B .
29
4 相似矩阵的同性 质 (1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时,
n
用T1, T2,…, Tn表示T 的n个列向量, 即
T=(T1, T2,…, Tn)
所以有
AT = T
33
即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)=
1
(T1,T2,L ,Tn)
2
O
n
(1T1,2T2,L,nTn)
等式两边的列向量应当对应相等, 所以:
A T iiT i (i1 ,2 ,L,n )
对角化.
2 相似对角化的条件
定理6.3 n阶方阵A与对角阵相似
A有n个线性无关的特征向量.
T-1AT=为对角阵
T的n个列向量是
A的n个线性无关的特征向量,且的主对
角线上元素是与其对应的特征值.
32
(注意:证明过程给出相似对角化的方法)
证 设A与对角阵相似, 则可逆阵T, 使
1
T 1 AT
2
O
19
推论1 设 1,2, …, s的是A的s个互异的 特征值, 而 Xi1,Xi2,L,Ximi 是属于i的
mi个线性无关的特征向量, i=1,…,s, 则 X 1 1 ,L ,X 1 m 1 ,X 2 1 ,L ,X 2 m 2 ,L ,X s 1 ,L ,X s m s 也线性无关. 这个推论的证明与定理1类似. 推论2 若A有n个互异特征值,则A必有n个