参数方程在高考解题中的应用

参数方程
1. 椭圆参数方程
问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨
⎩||cos ||sin cos sin ()
ϕ
ϕ
ϕϕ
1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ说明：<1> 对上述方程（1）消参即
x
a
y b x a y b ==⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s sin ϕϕ22221普通方程
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

2. 补充
3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条
x y M M 22
164121+=()
弦所在的直线方程。

分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。

解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()
()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为
A x y
B x y x x x x k k k ()()()
1122121222
8241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+ 又为的中点，∴，解之得，故所求直线方
M AB x x k k k k 12222424121
2+=-+==-()
程为x y +-=240
法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221
∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222
424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y
∴
y y x x x x y y 1212121241
2--=-++=-
()
即，故所求直线为k x y AB =-+-=1
2240
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），
则另一个交点为，B x y ()42--
∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 2
2
2
2
41644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240
由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240
法四
直线方程为x t y t =+=+⎧⎨
⎩21cos sin αα
代入椭圆得：(cos )(sin )24116022
+++-=t t αα
∴444841602222
+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(s i n c o s )(s i n
c o s )48480222
αααα+++-=t t
∵，∴t t 122208440
+=-
++=sin cos sin cos αα
αα
∴820s i n
c o s αα+=
∴，821
2s i n cos tan ααα=-=-
即，故所求直线为k x y AB =-+-=1
2240
例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 2
2
8840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？
解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ
则d =
-+=
--|c o s s i n ||s i n ()|
2242342θθθϕ
其中，当时，tan min ϕθϕπ=-=
==22212
2
2d
此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-
==22313
即点坐标为，P P ()
-831
3 法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''
即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →
设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩00
8822
9280449802
2
2
2
y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()
此时，，由平行线间距离得P l ()min -=
83132
2
例5. 已知椭圆：，，是椭圆上一点
E x y P x y 22
25161+=()
()12
2
求的最大值x y +
（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD
的最大面积。

分析：题（1）解题思路比较多。

法一：可从椭圆方程中求出y 2代入x 2+y 2，转化为
x x y x y 的二次函数求解。

法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角22+ 问题求解。

法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最x y r r 2222+=
值，解题时可结合图形思考。

得最大值为25，最小值为16。

题（2）可将四边形ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC 是定线段，故长度已定，则当点B 、点D 到AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时
四边形的面积最大。

求得ABCD 202
解：()()12516116125222
2法一由得，
x y y x +==- 则，x y x x x 2
2
2
22
16125169251625+=+-=+∈()[]
∴的最大值为，最小值为x y 22
2516+
法二：令，
x y ==⎧⎨⎩54cos sin θ
θ 则，x y 2
2
2
2
2
25161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ 法三令，则数形结合得，x y r r 2
2
2
2
1625+=∈[]
（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20
=054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθ
d 120202041202420412022041=+-=+-≤
-|c o s s i n ||s i n ()|
θθθπ
同理点到直线的距离D AC d 220220
41≤
+
∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202
例6. 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平
x a y b a b AB AB 222
210+=>>()
分线与x 轴相交于点P （x 0，0）。

求证：--<<
-a b a x a b a 22022
（1992年全国高考题）
分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，A B x x a b x 120
利用证明-<+<2212a x x a
证明：法一 设，、，，由题意知≠且，，A x y B x y x x P x ()()()11221200
由得①||||()()PA PB x x y x x y =-+=-+1021221222
又、两点在椭圆上，∴，A B y b x a y b x a 1
2
2
122222
22
211=-=-()()
代入①整理得，22102
2
1
222
2
()()x x x x x a b a -=--
∵≠，∴有·
x x x x x a b a 1201222
22=+- 又，，且≠-≤≤-≤≤a x a a x a x x 1212 ∴-<+<2212a x x a
由此得--<<
-a b a x a b a 22022
法二 令，则以为圆心，||PA r P =
r x x y r 为半径的圆的方程为①()-+=0222
圆与椭圆②交于、两点
P x a y b a b A B 222
210+=>>() 由①、②消去整理得y a b a x x x x r b 222
2002
2220--+-+= 由韦达定理得，x x a x a b a a 1220
22
222+=-∈-() ∴--<<
-a b a x a b a 22022
法三 设，、，，的中点为、A x y B x y AB M m n ()()()1122 ∴，x x m y y n 121222+=+=
又、两点在椭圆上，A B x a y b x a y b 1221222222
2
211
+=+=
则两式相减得
()()()()
x x x x a y y y y b 12122121220
+-++-=
将
及，代入整理得：
y y x x m x n x x m y y n 12120
121222--=--+=+=
x a b a m x x a b a 02221222
2
2=-=+-·，下略
这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。

例7.
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，x e P =
3203
2()
到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P 距离等于的点的坐标7
解法一：设椭圆的参数方程为
x a y b a b ==⎧⎨
⎩>>≤<cos sin ()θθθπ，
其中，002
由，得e c a b a a b
2
22213
42==-==()
设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d
则d x y 222
3
2=+-()
=+-a b 222
3
2cos (sin )θθ =-+++31
243
222b b b (sin )θ
如果即12112b b ><
那么当时，取得最大值sin ()()θ=-=+1732222
d b 由此得与矛盾
b b =-><732121
2
因此必有
，此时当时，取得最大值1211
2743222b b d b ≤=-=+sin ()θ
解得，b a ==12
所求椭圆的参数方程是x y ==⎧⎨
⎩2cos sin θ
θ
由，±
s i n cos θθ=-=123
2
求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P 731231
2()()
--- 解法二：设所求椭圆的方程为x a y b a b 222
210+=>>()
由，解得e c a b a b a 2
2221341
2==-==
() 设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d
则d x y 222
3
2=+-()
=-+-a a b y y 2
2222
3
2()
=--++
3349422y y b
=-+++31
243
22()y b
其中，如果，则当时
-≤≤<=-b y b b y b 1
2
d b 222
73
2取得最大值()()=+ 解得与矛盾
b b =-><732121
2
故必有b ≥
1
2 当时，取得最大值y d b =-=+1
2743
222()
解得，b a ==12
所求椭圆方程为x y 2
241
+=
由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，y P =--12731
2()
小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参
数方程来解决。

【模拟试题】
9. 如图，已知曲线4936002
2
x y x y +=>>()，，点A 在曲线上移动，点C （6，4），以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标。

【试题答案】
9. 解：设A (cos sin )32θθ，，
θπ
∈()
02，， 则B C D (sin )()(cos )626434，，，，，θθ， ∴S AB AD ABCD ==--||||(cos )(sin )·6342θθ
=-++24126(sin cos )sin cos θθθθ，
令
t t t =+∈=
-sin cos (]sin cos θθθθ，则，，121
22， S t A B C D
=-+3292
()
当时，，此时，，t S A ==-=
22712243222min ()θπ。