湖南省长沙市2025届新高三上学期8月摸底考试数学模拟试题(含答案)

湖南省长沙市2025届新高三8月摸底考试数学模拟试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设复数满足：，则
的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A ．34
B ．35
C ．36
D ．38
4．已知，，
）A ．B ．C ．D ．5．已知椭圆 及圆O ：，如图，过点与椭圆相切的直
线l 交圆O 于点A ，若 ，则椭圆离心率的为（ ）
A
B ．C
D ．
6．已知，，且有，则的最小值是（ ）A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．{}2log 3A x x =<{}31,N B x x k k ==-∈A B = {}
1,2,5,8-{}
1,2,5-{}
2,5,8{}
2,5z ()1i i 3z ⋅+=-z z =12i
-+12i
+12i
--12i
-{}n a n n S 48a =318S =5S =12
12a -⎛⎫= ⎪⎝⎭2log b =c =a b c >>c b a >>c a b
>>b c a
>>22
221(0)x y a b a b +=>>222x y a +=(0,)B a 060AOB ∠=1
2
13
m R n ∈222m n m n ++=12m n m n ++++()22622,1
,1a x ax a x f x x x -⎧-++≤=⎨>⎩R a [)
1,3()
3,+∞()
1,2[]
1,2
8．已知函数，若存在满足，且
，则的最小值为（ ）A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）．
A ．若是无理数，是有理数，则是无理数
B ．若，则
C ．若“，”是真命题，则
D ．已知，是方程的两个实根，则10．若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则
（ ）
A ．
B ．点是函数的对称中心
C ．函数在上单调递增
D ．直线是函数图象的对称轴
11．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，设它的第n 项，若序列的所有项都是2，且，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．三、填空题
12．已知
，则
．
13．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为，则展开式中的常数
项为
．
()
sin f x x =12,,,m x x x 1204πm x x x ≤<<<≤ ()()()()()()()
*1223182,N m m f x f x f x f x f x f x m m --+-++-=≥∈ m a b ab 1x >9
71
x x +
≥-[]1,2x ∀∈-230x ax -++>1
22
a <<1x 2x 2530x x -+=122119
3
x x x x +=
()()sin ,(0,π
2f x x ωϕωϕ=+><π2()102f =π
6ϕ=
π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
()f x ()f x π,π6⎛⎫
⎪⎝⎭
π3
x =()f x {}123,,,A a a a = *
234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
1n n n
a b a +=()**A 51a =632a =516
b =101024
b =11
1024
a =
212048
a =
tan x =2sin 21cos 2=+x
x
3n
x ⎛
⎝128
14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，
，则三棱锥的外接球的体积为 .四、解答题
15．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，且．
(1)求B ；
(2)已知，D 为边上的一点，若
，，求的长．16．如图，直三棱柱中，，为上一点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若直三棱柱
的体积为，求二面角的余弦值.
P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD O AC BD 3PD =π
3
APD BAD ∠=∠=
P AOD -ABC V )
cos a b
C C =+BC =AB 1B
D =π
2
ACD ∠=
AC 111ABC A B C -2,3,AC BC AB ===D 1CC 1:4:9CD C D =1AB D ⊥11ABB A 111ABC A B C -39
2
1A B D B --
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距
离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线
的斜率之积为
，求的面积．
18．在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛
结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.
(1)当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为分，）①求的表达式().②求获得亚军的概率.
19．已知函数．当时，求函数的单调增区间；
若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；
若，且对任意，，，都有，求实数a
的最小值．
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>0x =C 1
2
-l C x ,A B O ,OA OB 1
8
-OAB V 113
22
320203Y Y ()E Y m m P 001p =1m m P P --*019,N m m ≤≤∈()()2
1ln 112
f x a x x a x =+
+++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+∞()30a >1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()1212
2f x f x x x ->-
参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．B 9．BCD 10．AB 11．BC 12．13．14．15．(1)
．(2)
16．(1)证明见解析
【详解】（1）方法一（几何法）:如图，作交于点，交于点，连接，
因为，
所以，所以
，
13536ππ6
B =A
C =
CE AB ⊥AB E 1EF BB P 1AB F DF 2,3,AC BC AB ==22222223AC BC AB +=+==AC BC ⊥
所以由等面积可得，由勾股定理得，
所以
，所以，
又，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
因为直三棱柱平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.方法二（向量法）：因为，所以，所以，由题知平面，又平面，所以两两垂直，
以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
AC BC CE AB ⋅=
=
=AE ===
11413EF AE CD BB AB CC ====EF CD =1EF BB P 1CD BB ∥EF CD P EFDC DF CE ∥ABC ⊥11ABB A ABC ⋂11,ABB A AB CE AB =⊥CE ⊥11ABB A DF ⊥11ABB A DF ⊂1AB D 1AB D ⊥11ABB A 2,3,AC BC AB ===22222223AC BC AB +=+==AC BC ⊥1CC ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1,,AC BC CC C 1,,CA CB CC x y z 1(0)CC a a =>()()()1142,0,0,2,0,,0,3,,0,0,13a A A a B a D ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得平面的一个法向量为，因为，
所以，平面平面.
（2）因为直三棱柱
的体积为，所以，解得，
所以，由题知平面，又平面，所以两两垂直，
以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
()()1142,3,,2,0,,0,0,13a AB a AD AA a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
1AB D ()111,,m x y z =
111111
23042013m AB x y az a
m AD x z ⎧⋅=-++=⎪
⎨⋅=-+=⎪⎩
113z =1AB D ()2,3,13m a a =-
11ABB A ()222,,x n y z =
1222122300n AB x y az n AA az ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩
23x =11ABB A ()3,2,0n = 6600m n a a ⋅=-+=
m n ⊥
1AB D ⊥11ABB A 111ABC A B C -39
211392322
CC ⨯⨯⨯=1132CC =19
2,2
CD C D ==
1CC ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1,,AC BC CC C 1,,CA CB CC x y z ()()1132,0,0,0,3,,0,0,22A B D ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为设二面角的大小为，则
易知为锐角，
所以二面角
17．(1)，；
(2)
18．(1)分布列见解析，(2)①；②获得亚军的概率为【详解】（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，，，
，
()1132,3,,2,0,22AB AD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
1AB D ()333,,u x y z =r
133********
2220
u AB x y z u AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩
32z =1AB D ()2,3,2u =-
1BB D ()
1,0,0v =
1A B D B --θcos u v u v θ===⋅
θ1A B D B --2212x y -=e =()5
E Y =12((1,2,3,,19)3
m m m P P m --=-= 20
22[1()]
53-31X 1(3,)3
X B :()3312C 33k
k
k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
0,1,2,3k =Y 3456()()3
3
3
12133C 3327P Y P X ⎛⎫⎛⎫
===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()3
21
21242C 339
2
P Y P X ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1
12
3
12451C 339P Y P X ⎛⎫⎛⎫
===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以的分布列为：34
56（2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，累计得分为分的情况分两种：
（i ），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii ），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
则，所以.所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：.而，所以.
所以获得冠军的概率：.
所以获得亚军的概率为：.
()()3
003
1260C 337
82P Y P X ⎛⎫⎛⎫
=====
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Y Y
P
127
29
49
827
()124834565279927
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯=1m =1111
3
P =
1012
133
P P -=
-=-m ()22m m =-+2m -222
3m P -()11m m =-+1m -111
3m P -()2121
2,3,,1933m m m P P P m --=
+= ()11223
m m m m P P P P ----=--()2,3,,19m = {}()11,2,319m m P P m --= 23-2
3
-()1
12221,2,3,,19333m m
m m P P m --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=--=-= ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1023P P -=-2
2123P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
L ()121,2,3,,193m
m m P P m -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 202213322222123335313m
m m
m P P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦-=-+-++-==---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭
01P =2223221553553m m
m P ⎛⎫⎛⎫
=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20
20
20322322553553P ⎛⎫⎛⎫
=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
202020203222222211155355353P ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
19．（1） （2） （3）()1,+∞[)0,+∞3-。