任意角说课

任意角说课
课题：任意角
【教材分析】
一、本课内容在整体中的地位和作用
1、从必修4模块看，任意角的三角函数是一个核心概念，而从概念的发生、发展来看，任意角是学习三角函数的前提和基础，是任意角三角函数的概念核心。

2、从任意角的三角函数这一单元看, “任意角”这节内容的特点是概念多、内容繁琐，花时较少，知识不深，但意义深远，作为知识的延伸和拓展，其蕴涵着深刻的数学思想和方法，对培养学生的逻辑思维能力、完善认知结构具有重要的作用：
一是从运动的角度重新定义角的概念，引入周期性模型，克服了静态角的思维定势，有利于培养学生思维的应变性和灵活性；
二是终边相同的角的引入，产生了角的集合概念，将学生思维由直观引向抽象，从特殊引向一般；
三是象限角的引入，为数形结合的思维方法打下了基础，为后继学习提供了知识和思想方法的准备，也让学生学习任意角三角函数有了生长点。

二、学情分析
1、初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00。

结合实际生活中的例子，由教材的“思
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考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。

让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，让学生体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。

学习本节角的概念的推广困难不大。

2、“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。

建立适
当的直角坐标系，画出任意角，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律。

3、学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质。

三、重点、难点
本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。

【目标分析】
一、知识能力目标：
1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、轴线角的概念，并能用集合和数学符号表示；
3．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
4．能在00
范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角。

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二、过程与方法目标：
1．学生经历“角的概念的推广”这一过程中的运动变化，逐步学会运用运动变化的观点、类比的思想来认识事物解决问题；
2．师生通过画图来判断角所在的象限，逐步加深学生对数形结合的思想方法的了解和运用；
三、情感、态度及价值观：
借助任意角材料，体验数学工具及方法的巨大威力，进而发展学生对数学的积极情感。

【过程分析】
本节课的教学流程可设计为六个环节：
(一)课题引入
本节课从学生熟悉的实例出发，应用生活化的浅显例子作思维引导，提出问题，给学生提供参与概念生成的过程，通过以下两步导入问题：
1、以旧引新
提出问题：初中时，我们所学的00
的角是如何定义的？
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设计意图：通过复习角的定义，学生了解角可以从静态和动态两方面来定义，体现用旋转的角度定义角的优越性，从而为角的概念的合理推广做好知识上的铺垫。

师生活动：学生会有两种不同的回答：①从一个点出发引出两条射线构成的几何图形；②一条射线由原来的位置O A，绕着它的端点O按逆时针旋转到另一位置OB就形成角。

第一种定义的优点是形象直观，容易理解角的范围，但仅从图形的形状来定义角，与生活中的一些实例不相符合，如钟表旋转、跳水运动员向内向外转体等问题，若用旋转的方法定义则显得更为具体形象.
2.、情景问题
问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
问题2：假如你的手表快了5分钟或1.5小时，你又是怎样将它校准的？当时间校准后，分针各转了多少度？
设计意图：提出问题，引发学生的认知冲突，说明角的概念扩展的必要性.
师生活动：让学生取出准备好的手表进行实际操作，实验中学生会发现分针可以顺时针或逆时针旋转，有时候旋转不到一周，有时候要转一周以上才能校准，导致学生的认知发生冲突。

问题1学生较好回答，而问题2分针转了一圈多且旋转方向与问
题1相异，突破了学生已有角的范围，说明角的概念需要推广。

透过小窗看风景，数学教学起于学生的朴素思维，这样的设计将抽象的数学生活化了，数学课就能彰显它的独特魅力。

（二）概念构建
引导学生打破思维惯性，在比较、分析、感悟中完成从具体到抽象的总结，从角的旋转定义方法中体会从特殊到一般的思想，理解终边相同角的集合及其表述方式.
问题1：能否根据角的旋转定义，列举生活中不在00
范围内的角？该怎样说明它们？
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设计意图：通过生活中的实例，让学生形象直观地了解角度的旋转量和方向都是刻画角度不可缺少的因素，让学生充分认识到角可以突破的范围，并且会有正角、负角和零角之分.这样可使学生能用数学语言更好地描述自然现象.
师生活动：教师鼓励学生对所举例子中的角的概念进行推广，通常对于大于360°的角，学生能较自然地通过累加的方式给出，而对于正角、负角和零角，学生也可以根据终边的逆时针、顺时针旋转和不旋转进行猜测。

教师在学生猜测的基础上，明确任意角的定义，同时引导学生把正角、负角和零角与正数、负数、零进行类比，加深对角的概念的理解，并利用任意角的定义来重新回答前面的情景问题.
问题2：在今后的学习中，我们常在直角坐标系中讨论角，那么把角怎样放在坐标系中比较方便、合理？
设计意图：让学生自行尝试，培养学生处理数学问题的动手能力及其猜想、探究能力.
师生活动：让学生画图、探究、讨论和交流后给出合理的方法.
教师在分析总结的基础上，给出象限角和轴线角的概念，并在坐标系中画出各类象限角的图形，让学生直观感受到用终边区分象限角的必要性和合理性，理解象限角的概念。

（三）巩固探究
1、巩固练习
（1）锐角是第几象限角？（2）第一象限的角一定是锐角吗？再分别用钝角、直角和小于090的角来回答这两个问题。

设计意图：通过（1），让学生明确角的概念推广以后，初中的有些概念也要与时俱进发生改变，使学生进一步理解象限角的概念，培养学生的数形结合能力；通过（2），让学生从最近的发展区域初步了解周期的概念，为下面引入终边相同的角作好铺垫.
2、延伸探究
提出问题：（1）将032-角终边OB 分别与0392-角和0328角的终边有什么样的关系？（2）与032-角终边相同的角有哪些？并尝试表示这些角，再引出与任意角α终边相同的角.
设计意图：探究终边相同的角之间的关系，体会从特殊到一般的、从具体到抽象的思想方法，培养学生观察、归纳的能力，为后面周期的概念作铺垫，并让学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角的集合。

师生活动：请学生回答，并归纳相互间的关系，教师给予总结评价。

师生共同从该例中抽象概括出一般关系：任何一个与角α终边相同的角都可以看作终边绕原点旋转周角的整数倍后又回到了原来的位置。

（四）拓展应用
例1 在000360 范围内，找出095012'-角终边相同的角，并判断它是第几象限角。

设计意图：使学生能用终边相同的角解决实际问题，找出与已知角终边相同的角，并判定第几象限，为以后使用诱导公式，实现大角化小角等奠定基础。

例2 写出终边为在y 轴上的角的集合。

设计意图：一是从静态角度巩固理解终边相同的角的表示；二是从动态角度体会把090的终边旋转0180得到()0018090k k Z α=?+∈的过程，由几何位置“终边相同”探讨其代数特征的“统一”
；三是引出()0018090k k Z β=?+∈时，β
的终边位置如何？体现出由形到数及从数到形的数形结合思想方法，降低教学难点。

引申：让学生写出终边在x 轴、坐标轴上的角的集合。

设计意图：进一步让学生明确终边相同的角的书写方法。

例3 写出终边在直线上y x =的角的集合S ，并把S 中适合不等式00360720β-≤<的元素β写出来。

设计意图：巩固终边相同角的表示方法，并让学生理解角的集合的并集运算，结合前面的例2，让学生掌握终边在直线上的角的集合及并集的书写方法。

（五）总结提炼
1、角的概念是如何推广的？推广后，应注意什么？象限角是如何定义的？
2、学习了终边相同角的表示后，你觉的它能解决哪些问题，有哪些作用？
3、本节课你学习了哪些数学思想方法？
（六）目标评价
必做题：
1、判断0
-角终边相同角的集合。

375
-是第几象限角，并表示出与0
375和0
375
2、在00
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出他们是第几象限角。

0360
（1）0
-（2）0
39528'
5418'
3、写出终边在y x
=-上的角的集合。

选做题：
若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是_____________；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是________________；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________________.
设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。

【教法分析】
这是一节概念课，对数学基本概念的理解，通常是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为核心是否能构建一个“概念网络图”。

根据这一要求，本节课可以从学生熟悉的实例出发，应用生活化的浅显例子作思维引导，提出问题，给学生提供参与概念生成的过程。

在教学中，我采用“问题——探究”的教学模式，不断地设置问题，调动学生的学习积极性和求知欲，充分发挥学生的主体地位和教师的主导作用。

在“任意角”一课中不仅要关注教材的知识体系，还应让学生体会蕴含其中的思想方法及教学思路等。

在整节课中要贯穿集合的思路，让学生掌握终边相同的角的表示方法，并注意到一条射线不再是代表一个角，而是代表角的集合，要始终将集合的思路在课堂中进行细化、延伸和衔接，落实在具体教学情境中，让学生体会其中的思想方法。

这样，在不断完善学生认知结构的同时，将多维的课程目标细化、串联，落实在具体教学情境中，既有对已学知识的整理和概括，更要为后续的课作辅垫性渗透，这样可承上启下，提高课堂教学的“光滑度”，让课堂具有整体感、流动感，并在整体感和流动感中折射出对整个数学教学目标的宏观视野与整体把握。