第17讲 乘法公式(二)
第十七讲 排列、组合与二项式定理
第17讲│ 要点热点探究
[答案]
(1)D
(2)D
1 1 1 1 x2＋2 2－15＝x2 2－15＋2 2－15，又2 2－15展 [解析] (1)因为 x x x x 1 51 0 2 －1 5＝－2，x2 2－1 5展开式中的常数项为 开式中的常数项为2C 5 x x 2 1 2 4 1 1 －1 4＝5，故二项式 x ＋2 2－1 5展开式中的常数项为－2＋5 x C 5 ·x2 x ＝3. 1 (2)512 012＋a＝a＋(13×4－1)2 012＝a＋(1－13×4)2012＝a＋1－C 2 012 2 13×4＋C2 012(13×4)2＋„＋C2 012(13×4)2 012， 2 012 显然当a＋1＝13k，k∈Z，即a＝－1＋13k，k∈Z时，512 012＋a＝ 13k＋13×4[－C 1 012 ＋C 2 012 (13×4)1＋„＋C 2 012 (13×4)2 011]，能被13整 2 2 2 012 除．因为a∈Z，且0≤a<13, 所以a＝12.故选D.
第17讲│ 要点热点探究
[点评] 两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问 题中一般是先根据不同情况进行分类，然后对于每一类的计 数问题再分步完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数 目，最后使用分类加法计数原理得到结果．
第17讲│ 要点热点探究
变式题 (1)在实验室进行的一项物理实验中， 要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A．34 种 B．48 种 C．96 种 D．144 种 (2)在小语种提前招生考试中，某学校获得 5 个推荐名额， 其中俄语 2 名，日语 2 名，西班牙语 1 名．并且日语和俄语都 要求必须有男生参加．学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐 对象，则不同的推荐方法共有( ) A．20 种 B．22 种 C．24 种 D．26 种
培优七年级第17讲——乘法公式
17 乘法公式只有通过数学,我们才能彻底了解科学的精髓.至有在数学中，我们才能发现科学规律的高度简洁性、严格性和抽象性.任何科学教育如果不以数学为出发点，则其基础势必有缺陷。
-------科姆特知识纵横乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一半法则应用一一些特殊形式的多项式相乘,出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解例1 (1) 在2004、2005、2006、2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差是______.（第10届江苏竞赛题）(2) 已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么， = _________.(重庆竞赛题) 思路点拨:（1）,m+n，m-n的奇偶性相同，这是解本例题的基础。
（2）视(2000-a)•(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式及其变形例2 (1) 已知a、b、c满足，，，则a+b+c 的值等于( ).A. 2B. 3C. 4D.5(2) a、b、b不全为0, 满足a+b+c=0，，称使得恒成立的正整数n为”好数”，则不超过2007的正整数中”好数”的个数为( )A. 2B. 1004C. 20006D. 2007思路点拨:对于(1) ,由条件等式联想到完全平方式，解题的关键是整体考虑；对于(2) , 由条件出发，探求a,b,c之间的关系。
例3 观察下列算式(1) 1x3-;(2)2x4-(3)3x5-(4)__________________________;……..(1) 请你按照以上规律写出第四个算式.(2) 把这个规律用含字母的式子表示出来.(3) 你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由(2011年湖南省益阳市考题) 思路点拨: 从特殊情形归纳一般结论，并证明这个结论例4 已知a+b=1, 求。
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料)：第17讲《基本平面图形》全章复习与巩固(提高)
《基本平面图形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．【知识网络】【要点梳理】要点一、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：4.线段的比较与运算 （1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC ，或AC=a+b ；AD=AB-BD 。
（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==Cba要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段AB 上，且有，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点.要点二、角 1.角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.（4）角的分类：12AM AB =PNAB PB NP MN AM 41====MBA（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.3.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.要点三、多边形和圆的初步认识1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：12∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β<180°∠β=180°∠β=360°（1）n 边形有n 个顶点、n 条边，对角线的条数为． （2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等． 2. 圆及扇形：（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）扇形：由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形.如下图：要点诠释： 扇形OAB 的面积公式：；扇形OAB 的弧长公式：.【典型例题】类型一、线段、射线、直线1.下列判断错误的有( )①延长射线OA ；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA ＝PB ，则点P 是线段AB 的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA ＝PB ，只有当点P 在线段AB 上时，才是线段AB 的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．(3)2n n-180n Rl π=举一反三：【变式】平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．【答案】10， 0．类型二、角2.（2019春•南充校级期中）如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=∠COE，∠DOE=72°．则∠COE的度数是．【思路点拨】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【答案】72°．【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=（180°﹣3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+（180°﹣3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．故答案为：72°．【总结升华】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．举一反三：【变式】（2018•陆川县校级模拟）在同一平面内，若∠AOB=90°，∠BOC=40°，则∠AOB的平分线与∠BOC的平分线的夹角等于．【答案】25°或65°．解：本题分两种情况讨论：（1）当OC在三角形内部时，如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，∴∠DOE=∠DOB﹣∠EOB=45°﹣20°=25°；（2）当OC在三角形外部时，如图2，∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°，故答案为：25°或65°．3.（2018•深圳校级模拟）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（）A．70° B．20° C．35° D．110°【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可．【答案】A【解析】解：如图，连接AB，∵两正北方向平行，∴∠CAB+∠CBA=180°﹣45°﹣25°=110°，∴∠ACB=180°﹣110°=70°．【总结升华】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质．举一反三：【变式】考点办公室设在校园中心O 点，带队老师休息室A 位于O 点的北偏东45°，某考室B 位于O 点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA 、OB ，并计算∠AOB 的度数．【答案】解：如图(2)，以O 为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA ；以O 为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB ，则∠AOB ＝180°-(45°+60°)＝75°．4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．【答案与解析】解：设时针转过的度数为x 时，与分针第一次重合，依题意有 12x ＝90+x 解得答：时针转过时，与分针第一次重合． 【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决．类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算 1.方程的思想方法9011x =9011⎛⎫⎪⎝⎭°5. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．【答案与解析】解：设AB ＝x cm ，则 或于是列方程，得 解得：x ＝18，即AB ＝18(cm) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm)(cm) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm)【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝DB ，AC ＝CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝DB ，AC ＝CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm)． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得(cm)． 32CD AB=3cm 2CD x =(35)cm BC x =-3(44)cm 2x -335442x x -=-33182722CD x ==⨯=5995599587AB =（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得(cm)．（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得(cm)．综上可得：AB 的长为14cm ，cm ， cm ．【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．类型四、多边形和圆7.（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．11253AB=11253AB=8711253ECB O(a) (b)【答案与解析】解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD•分别交于点M、N，连结OA、OD．∵四边形ABCD是正方形∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∠MAO＝∠NDO＝45°，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON.∴△AMO与△DNO形状完全相同.∴AM＝DN∴AM+AN＝DN+AN＝AD＝a（2），所以当扇形纸板的圆心角为120°时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；同理可得，当扇形纸板的圆心角为72°时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．【总结升华】一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.【巩固练习】一、选择题1.下面说法错误的是( ) ．A.M是线段AB的中点，则AB＝2AMB.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线D.同角的补角相等2.从点O出发有五条射线，可以组成的角的个数是( ) ．A. 4个B. 5个C. 7个D. 10个3.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（）．A．15°的角 B．135°的角C．145°的角 D．150°的角4．（2018•河北）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）3601203︒︒=360n︒A ．B ．C ．D ．5.（2019•花都区一模）已知线段AB=8cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=2cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为（ ）A ．5cmB ．5cm 或3cmC ．7cm 或3cmD ．7cm 6. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m 个，最多为n 个，则m+n 等于（ ）．A.12B.16C.20D.以上都不对 7．一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点从开始至结束走过的路径长度为（ ）． Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．如图，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（ ）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．无法确定二、填空题 9．（2018秋•栾城县期中）把34.27°用度、分、秒表示，应为 ° ′ ″．B 3π24π34322+πOAB 90oR OA OB P Q P Q P Q =P Q >P Q <Ｑ ＯＡ Ｐ Ｃ Ｂ ＡＢＣ10．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．11．已知圆的面积为，若其圆周上一段弧长为，则这段弧所对的圆心角的度数为．12．平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有_______条．13.如图，点B、O、C在同一条直线上，∠AOB＝90°，∠AOE＝∠BOD，下列结论：①∠EOD＝90°；②∠COE＝∠AOD；③∠COE＝∠BOD；④∠COE+∠BOD＝90°.其中正确的是 .14.如图，∠AOB是钝角，OC、OD、OE是三条射线，若OC⊥OA，OD平分∠AOB,OE平分∠BOC，那么∠DOE的度数是．15. 如图所示，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为．16.一根绳子弯曲成如下图1所示的形状.当用剪刀像下图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像下图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n－1）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是．281cmπ3cmπ图1图2图3……a a b三、解答题17．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？18.19.（2019春•龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，（1）求∠MON 的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON 的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON 的度数； （4）从上面结果中看出有什么规律？20．（2018秋•栾城县期中）如图，已知点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）若AC=8，CB=6，求线段MN 的长；（2）若点C 为线段AB 上任意一点，且满足AC+BC=a ，请直接写出线段MN 的长； （3）若点C 为线段AB 延长线上任意一点，且满足AC ﹣CB=b ，求线段MN 的长．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ； 2.【答案】D ；【解析】(个) ． 3.【答案】C ；【解析】用三角板能画出的角应该是15的倍数，因为145°不是15的倍数，所以选B ．432110+++=4.【答案】D ．5.【答案】B ；【解析】解：如图1，由M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，得 MB=AB=4cm ，BN=BC=1cm ， 由线段的和差，得 MN=MB+BN=4+1=5cm ； 如图2，由M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，得 MB=AB=4cm ，BN=BC=1cm ，由线段的和差，得 MN=MB ﹣BN=4﹣1=3cm ； 故选：B ．6.【答案】B ；【解析】①6条直线相交于一点时交点最少，所以；②6条直线任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，又因为任意三条直线不过同一点，∴ 此时交点为：． 7.【答案】B ；【解析】点从开始至结束走过的路径是两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长之和． 8.【答案】A ；【解析】P ＝S 扇OAB －S 圆＋Q ，即P －Q ＝S 扇OAB －S 圆＝，所以P ＝Q ． 二、填空题9.【答案】34°16′12″． 10.【答案】60度或180 ．【解析】分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论． 11.【答案】60°；【解析】根据圆的面积求出半径，再根据弧长求扇形的圆心角． 12.【答案】12；【解析】每个点都可以作3条射线，共有4个点，所以3×4＝12条射线． 13.【答案】①②④； 14.【答案】45°；【解析】设∠BOC ＝x ，则∠DOE ＝∠BOD －∠BOE ＝．1m =12345615n =+++++=B 2211()042ππR R -=1(902)452x x ︒︒+-=15.【答案】24m ；【解析】如下图，可得每个圆中虚线部分弧所对的圆心角为120°，利用弧长公式即得答案．16.【答案】4n ＋1． 三、解答题 17．【解析】解：设经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分． 6x-360（x-1）＝360（x-1）-0.5x ， 解得：x ＝（分）． 答：经过分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分． 18．【解析】144014271440142719．【解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．20.【解析】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=CB，∴MN=MC+CN，=（ AC+CB）=（8+6）=7；（2）∵若M、N分别是线段AC、BC的中点，∴AM=MC，CN=BN，AM+CM+CN+NB=a，2（CM+CN）=a，CM+CN=，∴MN=a；（3）∵M、N分别是AC、BC的中点，∴MC=AC，NC=BC，∴MN=MC﹣NC=（AC﹣BC）=b．。
《2、3的乘法口诀》表内乘法PPT
2×5=10
读作：2乘5 等于10,2和 5是乘数,10 是积。
探究新知
摆一摆，算一算。
2 2×1=2 1×2=2 一二得二
4 2+2=4 2×2=4 二二得四
用小棒摆三角形
3 1×3=3 3×1=3 一三得三
6 3+3=6 2×3=6 二三得六
3+3+3=9 3×3=9 三三得九
归纳总结
1×2=2 2×2=4
）个车轮
连一连 一一得一 一二得二 一三得三 二三得六 三三得九
2×3=6 1×3=3 3×3=9 1×1=1 1×2=2
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
2和3的乘法口诀，一一得一、一二 得二、二二得四、一三得三、二三 得六、三三得九。
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
冀教版 数学 二年级 上册
3 表内乘法（一）
2和3的乘法口诀
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
-.
课前导入
小朋友，我们来回顾一下上节 课的内容。
读乘法算式，再说出算式中各数的名称。
3×4=12
读作：3乘4 等于12,3和 4是乘数,12 是积。
5×6=30
读作：5乘6 等于30,5和 6是乘数,30 是积。
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六 三三得九
1×3=3 2×3=6 3×3=9
课堂练习
看图写出乘法口诀
2×3=6
二三得六
计算并写出口诀。 3×2=（ 6 ） 口诀： 二三得六
3×3=（ 9 ） 口诀： 三三得九
2×2=（ 4 口诀：二二得四
第17讲 复数的三角形式(讲义)解析版
第17讲 复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(n θ)＋isin(n θ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3-；（2.【答案】（1）11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭（277cos isin 244ππ⎛⎫=⎝+⎪⎭【分析】（1）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是(3,在第四象限，求出()11arg 36π=，最后写成三角形式.（2）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出)7arg4π=，最后写成三角形式.【详解】（1）r ==因为与3-对应的点在第四象限，所以()11arg 36π-=，所以11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【巩固训练】1．（202012i +化成三角形式，正确的是（ ） A ．cossin33i ππ+B ．cossin66i ππ+C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解: 因为cos6π=1sin 62π=1cos sin 266i i ππ+=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．2．（2020·全国高一课时练习）复数1-+的三角形式是 A ．222cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．552cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据复数的三角形公式(cos sin )z r i θθ=+求解或利用定义直接求解即可.【详解】解法一：设复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+,则2r ==,tan θ=,可取2arg 3z πθ==,从而复数1-+的三角形式为222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法二：1⎡⎤-=12222cos sin 2233i ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数1z i =-（i 为虚数单位）的三角形式为（ ）A ．45cos 45)z i ︒︒=-B ．45isin 45)z ︒︒=-C ．45)sin(45)]z i ︒︒=---D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是()cos sin z r i θθ=+，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得r ==复数1z i =-对应的点在第四象限，且cos θ=，因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差2π的整数倍即可. 【详解】当复数12,z z 的模与辐角分别相等时，一定有12z z =，充分性成立；但当12z z =时，1z 与2z 的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立.综上，“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中)0r θπ=≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】2155cos sin42266i z i i ππ-====-+=+，所以辐角主值为56π． 故选：D ．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 1cos sin1212i ππ⎫+⎪⎭，z 2cossin66i ππ⎫+⎪⎭，则z 1z 2的代数形式是（ ）A cossin44i ππ⎫+⎪⎭B cossin1212i ππ⎫+⎪⎭C D 【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭[cos()s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题. 例4．（2020·全国高一课时练习）复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为 A ．518π B ．169πC ．29π D ．79π 【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4(cos sin )66i ππ+； （2）2(cossin )33i ππ- 【分析】（1）复数4(cossin )66i ππ+为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，转化为三角形式552cossin 33i ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式； 【详解】（1）复数4(cossin )66i ππ+模r ＝4，辐角的主值为θ＝6π.4(cossin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+1442i =+⨯2i =. （2）2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2cos 2sin 233i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552cos sin 33i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，复数的模为2，辐角的主值为θ＝53π，2cos sin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭552cos 2sin 33i ππ=+12222i ⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭1=. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）442cos sin 55i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （2）33sincos 55i ππ+. 【答案】（1）不是，992cossin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）不是，cos sin 1010i ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【详解】（1）不是.44442cos sin2cos sin 5555i i ππππ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭44992cos sin 2cos sin 5555i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）不是.3333sincos cos sin cos sin 5525251010i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）771333cos sin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3232i ；（2）32i【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得； 【详解】解：（1）771333cossin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2232i ⎫⎛⎫=÷-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 226323222i i ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭113222i ⎛⎫=÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭1422ii⎛⎫-⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.【巩固训练】2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32＝(2)2⎝⎛⎭⎪⎫cos23π＋isin23π＝2⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.(2)12－12i＝22⎝⎛⎭⎪⎫22－22i＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π，所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos512π＋isin512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝32＋12i.(3)因为－12＋32i＝cos23π＋isin23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为()1,0Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A ．122i + B ．122i + C ．122i - D ．122- 【答案】A【分析】设z a bi '=+，根据三角函数的定义可求得a 、b 的值，进而可得出复数z '的值.【详解】设z a bi '=+，由题意知，3cos302a ==1sin 302b ==，所以12z i '=+，故选：A ．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.例2．（2020·全国高一课时练习）将复数1对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是A i -B iC ．iD ．i +【答案】A【分析】先将复数1+写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数1i +对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到的向量为1OM ，那么1OM 对应的复数是 A ．2i BC．22+ D【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】复数1i +cossin44i ππ⎫+⎪⎭,向量1OM 对应的复数cos sin cos sin 4444i ππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数22i -+对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】与所得向量对应的复数为()()22cos75sin75i i -+⨯︒+︒)()cos135sin135cos75sin 75i i =︒+︒⨯︒+︒()()cos 13575sin 13575i =︒+︒+︒+︒⎤⎦)cos210sin 210i =︒+︒=12i ⎫-⎪⎪⎭=.【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设O 为坐标原点，点,A B 所对应的复数分别为12,z z ，且12,z z 的辐角主值分别为,αβ，模长均为1.若AOB 的重心G 对应的复数为11315i +，求()tan αβ+. 【答案】512【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知12cos sin ,cos sin z i z i ααββ=+=+.∵AOB 的重心G 对应的复数为11315i +， ∴12113315z z i +=+，即cos cos 11sin sin 5αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴2cos cos 12212sin cos 225αβαβαβαβ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴1tan 25αβ+=， ∴()22tan 52tan 121tan 2αβαβαβ++==+-. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（ ）A ．2tan 12tan 1θθ+-B ．2tan 12tan 1θθ-+C ．12tan 1θ+D ．12tan 1θ- 【答案】A【分析】先把复数1z 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数2z ，利用复数相等的条件得到sin ϕ和cos ϕ的值，求出tan ϕ.【详解】因为1z ==所以1z ⎫=，设cos β=sin β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则cos tan 2sin θβθ=，23355cos sin cos +sin +4444z i i ππππββββ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭ cos 11tan 2tan 12sin cos 1tan 2tan 112sin θβθθθβθθ+++===---. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将1z 、2z 化为三角形式然后再计算.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】+【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒22822i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 4242i =+.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，求复数z （用代数形式表示）. 【答案】22i 22z =- 【分析】把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°得到()()cos45isin 45i =︒+︒⨯-z ，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为a bi + 的形式.【详解】由题意得()()()22cos 45isin 45i i i 22z⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22i 22=-. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数()()452213i i +-=（ ）A ．13iB ．13i -+C ．13iD ．13i --【答案】B【分析】由复数的三角形式得22cos sin 44i i ππ+=+），1=2(cos sin )33i ππ-，代入运算可得选项.【详解】22cos sin 44i i ππ+=+），故46(22)2(cos sin )i i ππ+=+=62-，1=2(cos sin )33i ππ-，故5555(1)2cos sin 33i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，46512222552(cos sin )33i ππ⎛⎫-- ⎪-===-⎝⎭⎝⎭12()12=--=-+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒； （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【答案】（1）1-；（2）13232i -+ 【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒()5111cos180sin180cos36sin 36i i ===-︒+︒︒+︒ （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 412cos isin 33ππ=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 14 16cos isin 334ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎝⎭12⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭132=-+ 【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题.3．（2020.【答案】8-+【分析】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解51322i ⎫⎪=532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=5532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=13222i ⎛⎫-+ ⎪=)132228i i ⎛⎫-+ ⎪==-+ 【点睛】本题考查复数三角形式的乘方运算及代数形式的除法运算，属于基础题.反思总结：知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…z n＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…r n(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…r n[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．(2)当z1＝z2＝…＝z n＝z时，即r1＝r2＝…＝r n＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有z n＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．。
上海市六年级(上)数学 第17讲 圆的组合图形的相关练习(1)
在此之前，我们已经学过许多几何图形，例如三角形、长方形、圆、扇形等等，并掌握了它们的面积公式，我们将这些常见的图形称为基本图形．还有一些较为复杂的非基本图形，它们是由一些基本图形组合而成的，本讲中，我们一起来研究如何求组合图形的面积．1、 三角形的面积 =2⨯底高． 2、 等腰直角三角形的面积 =24=直角边的平方斜边的平方．3、 长方形的面积 =⨯长宽．4、 正方形的面积 = 边长的平方 = 2对角线的平方．5、 菱形的面积 =2对角线之积．6、 梯形的面积 =()2⨯上底+下底高．7、 圆的面积 =π⨯半径的平方． 8、 扇形的面积 =360π⨯⨯︒圆心角半径的平方．【例1】 如图，以半圆的半径8厘米为直径在半圆内作一个圆，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）圆的组合图形的相关练习内容分析知识精讲习题精炼2 / 7AB【例2】 如图，正方形的边长是6厘米，则阴影部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（π取3.14）【例3】 如图，正方形的边长为6分米，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例4】 如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例5】 如图，长方形的宽是8厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例6】 图中，三个同心圆的半径分别为2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积的______%．【例7】 如图，圆O 的直径为8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）【例8】 如图，正方形的边长为2厘米，以圆弧为分界线的A 、B 两部分的面积的差是______平方厘米．（π取3.14）2221AB C DE FG MABCDA BC AB【例9】 如图，其中四个圆的直径均为4厘米，那么阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【例10】 如图，扇形AFB 恰为一个圆的14，BCDE 是正方形，边长为3，AFBG 也是正方形，边长为4，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）【例11】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知：AB = BC = 10，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例12】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，腰AB 长为4厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例13】 如图，一个大正方形各边都被四等分，分成十六个小正方形，图A 是一个圆，图B 是由三个半圆围成的图形，那么图A 与图B 的周长的大小关系是______，图A 与图B 的面积的大小关系是______．【例14】 如图，有半径为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A 部分（即两小圆的重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？4 / 7135°ABC 甲 乙AB C O A12AAB CDO【例15】 如图，梯形ABCD 的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【例16】 如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）【例17】 如图，直角梯形的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例18】 如图，直径AB 为3厘米的半圆以点A 为圆心逆时针旋转60°，使AB 到达AC的位置，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）【例19】 如图，90AOB ∠=︒，C 为AB 的中点，已知阴影甲的面积为16厘米，求阴影乙的面积．（π取3.14）【例20】 如图，ABC ∆是直角三角形，AB = 20米，阴影（1）的面积比阴影（2）的面积小23平方米，求BC 的长度是多少米？（π取3.14）ABC DPQ 10AB CD EFGHABCD EO【例21】 如图，ABC ∆为等腰直角三角形，D 是AB 的中点，AB = 20厘米，分别以A 、B为圆心作弧GD 、HD ，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）【例22】 如图，AB 与CD 是两条互相垂直的直径，圆O 的半径为15厘米，=90ACB ∠︒，AEB 是以C 为圆心，AC 为半径的圆弧，求阴影部分的面积．（π取3.14）【例23】 如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置○1开始，依次沿线段AB 、BC 、CD 滚到位置○2．如果AB 、BC 、CD 的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（π取3.14，结果保留两位小数）【作业1】 如图，正方形的边长为4厘米，阴影部分的面积是______平方厘米．课后作业AB CD 120°○1 ○26 / 7EA B CDF G HAB C 甲EF 乙【作业2】 如图，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积．【作业3】 边长为1的正方形中，分别以边长为直径作3个半圆．求围成的阴影部分的面积．【作业4】 如图，长方形的长为5厘米，宽为4厘米，则阴影部分的周长为______厘米，面积是______平方厘米．【作业5】 已知等腰直角三角形ABC ，D 为斜边中点，AC = BC = 2分米，弧DF 、弧DH 分别是以B 、C 为圆心画的弧，求阴影部分的面积．【作业6】 如图，圆的半径都是3厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．【作业7】 如图，等腰Rt ABC 腰长为10厘米，甲、乙两个部分的面积相等，求扇形AEF所在圆的面积．【作业8】 正方形的边长为8厘米，一个半径为1厘米的圆沿着正方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积．ABC A B CDE30°【作业9】 如图，小正方形的边长4厘米，大正方形边长6厘米，DBE ∆的面积为3.2平方厘米，求阴影部分的面积．【作业10】 如图，ABC ∆是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C 点为圆心，把ABC ∆顺时针旋转90°，求AB 边在旋转时扫过的面积．。
高思数学_4年级上-第17讲-乘法原理进阶(彩色)
101在上一讲中，我们学习了加法原理及较简单的乘法原理．要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面三个要求：1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能做完这件事；2.步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．3.做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数不同，就不能直接用乘法原理计算．102分析以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色（蓝色）时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色（绿色）．因此先染回收塑料的垃圾桶时，会影响染回收废纸的垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了．那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习1.把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有多少种排硬币的方法？分析 我们应该把这五部分按照什么顺序染色呢？如果我们按照A 、E 、C 、B 、D 的顺序染色，能直接用乘法原理计算染色的方法吗？练习2.把A 、B 、C 、D 这四部分用四种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，向右依次标明：染成红、绿、蓝这纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：例题2不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？在上面的染色问题中，我们只要能保证前面步骤的染色结果不会影响到后面步骤染色的方法数，就是合理的分步方法．大家试着多找出几种合理的分步方法，看看有没有什么规律可循． 四色定理 四色定理的内容是：“对于任何一张地图，只用四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同的颜色．”四色问题的提出来自英国．1852年，在大学读书的格斯里向他的老师、著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径．“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度．就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它．说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功．下一节课他又去试，还是没有成功．过了几个星期，仍无进展．有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋．他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题．”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一．100多年中，“四色问题”使数学家们深为困扰．没有人能证明它，也没有人推翻它．电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程．就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界．AD CB 的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：种不同的染法？称，一共有多少种不同的染法？104分析 染色过程应该分成几步？练习3.如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：如果要求染色结果关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？分析 本题中汽车A 和汽车E 有特殊要求，我们应该优先考虑有特殊要求的位置．应该按照什么顺序给这五辆车分配司机呢？练习4.甲、乙、丙、丁四个人要住进A 、B 、C 、D 四间房间，每个房间住一个人，其中甲不住A 房间，丙只住D 房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？分析 容易看出，每行只能有一枚棋子，每列也只能有一枚棋子．我们可以把不同型号的汽车．会驾驶汽车三人中的某一人驾驶，一共有多少种不同的安排方案？例题4内，每个方格只能放一枚，任何两枚棋子都不能在同一行或同一列．一共有多少种不同的放法？例题5105放四枚棋子的过程分成四步，每一步放一枚棋子．你知道每一步分别有多少种放棋子的方法吗？练习5.将一枚白子和一枚黑子放在棋盘线的交叉点上，但不能在同一条横线或竖线上（下图是一个可能的方法）．问：共有多少种不同的放法？在做数字谜问题时，我们总是希望寻找合适的突破口，这样能尽可能多地填出确定的数字．即使在没有更多突破口时，也要从可能情况较少的地方入手分析．对于较复杂的乘法原理问题，我们在分步时也要优先考虑可选择情况较少的步骤，尽可能地让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数．本讲知识点汇总一、应用乘法原理时，某一步的结果可以影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．二、对于染色问题等较复杂的乘法原理问题，在分步时要优先考虑可选择情况较少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数．中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？106作业1.五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置．请问：这五个人有多少种坐法？2.把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？3.如图，用红、黄、蓝三种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色，而且要求角上的四个圆圈必须染相同的颜色．请问：一共有多少种不同的染法？4.甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不能当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法？5.在44×的方格中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，问：共有多少种放法？A B C DE。
2020最新初中升高中衔接课 初高中数学衔接教材17讲全套讲义教案
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 14 讲 三角形的“四心”
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
第 15 讲 角平分线性质定理与射影定理
【归纳初中知识】
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 9 讲 一元二次不等式
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
第 10 讲 分式不等式与简单的高次不等式
【归纳初中知识】
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 11 讲 二次函数的图象与性质
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 12 讲 函数图象与变换
【衔接高中知识】
见第 11 讲
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 13 讲 分段函数
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、图象 及性质见第 12 讲的“归纳初中知识”． 【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
参考答案
【归纳初中知识】
第 4 讲 根式及其运算
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】ห้องสมุดไป่ตู้
【检测衔接作业】
参考答案
第5讲
【归纳初中知识】
一元二次方程根与系数的关系
【衔接高中知识】
【精讲典型例题】
【检测衔接作业】
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
小学数学奥数基础教程30讲(4年级)
小学奥数基础教程（四年级）- 1 -小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
七年级数学第17讲认识多边形培优讲义试题
第17讲认识多边形单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明考点·方法·破译1．理解多边形的有关概念，探究并理解多边形内角和和外角和公式.2．通过探究平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或者正六边形可以镶嵌平面，并能进展镶嵌设计.经典·考题·赏析【例１】如下图是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数一共有几条？【解法指导】此题主要考察多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，一共可画三条对角线，如下图，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形一共有9条对角线.【变式题组】01．以下图形中，凸多边形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，那么m＝______，n＝______，k＝________.03．多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，那么此多边形的边数是 .【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，那么有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．假如一个正多边的一个内角是1080，那么这个多边形是〔〕A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．一个多边形的内角和为1080，那么这个多边形的边数是〔〕A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，那么∠AED的度数为〔〕A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和〔〕A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，那么这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据可得这个正多边形的每个外角均为600，那么这个多边形的边数为36060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为360的作用：①各相等外角度数求多边形边数；②多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．〔〕八边形的内角和为_____.度.02．〔〕如下图，△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，那么∠1+∠2＝_____03．〔〕n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比〔n+1〕边形的内角和少____度.04．〔〕如下图，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一一共走了_____米.【例４】两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，那么由多边形内角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．假设一个多边形的外角和是其内角和的25，那么此多边形的边数为_____03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，那么这个多边形是〔〕A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购置一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购置的瓷砖不可以是〔〕A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是〔〕A．正三角形B．正方形C．长方形D．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有〔〕A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用以下正多边形•能作平面镶嵌的是〔〕A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形04．〔〕如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，一共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，一共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，假设要得到2021个小正方形，那么需要操作的次数是〔〕A．669 B．670 C．671 D．672【例６】有一个十一边形，它由假设干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和15000的角有m个，1500的角有n个，那么有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54此方程有唯一正整数解110mn=⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如下图.【变式题组】01．如图是某地面的一局部，地面的HY是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的石砖镶嵌，从里向外一共铺了12层〔不包括HY的正六边形地砖〕，每一层的外边界都围成一个正多边形，假设HY正六边形的地砖边长为m，那么第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．〔〕小明的书房地面为210cm×300cm的长方形，假设仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为〔〕A．30cm×30cm的正方形，B．50cm×50cm的正方形，C．60cm×60cm的正方形，D．120cm×120cm的正方形，03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值.演练稳固·反应进步01．在一个顶点处，假设正n边形的几个内角的和为______，那么此正n边形可铺满地面，没有空隙.02．〔〕如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜测填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2〔n为正整数〕块时，黑色瓷砖为______块.03．〔〕用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下假设干地板图案：那么第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如下图的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，那么第n层有______个白色正六边形.05．假如只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，那么该正多边形的边数为〔〕A．3 B． 4 C．5 D．606．以下不能镶嵌的正多边组合是〔〕A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是〔〕A．边长一样B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C．边长之间互为整数倍D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．〔〕用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，那么第三块木板的边数是〔〕A．4 B．5 C．6 D．809．[(课改)]张珊的父母打算购置形状和大小都一样的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是〔〕A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如下图那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或者不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，那么第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是〔〕A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1培优晋级·奥赛检测01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20210，那么这个多边形的边数为〔〕A．12 B．12或者13 C．14 D．14或者1502．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，那么需要这种瓷砖〔〕A．216块B．288块C．384块D．512块03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于〔〕A．3600B．4500C．5400D．720004．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，假设m等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n边形的内角和为___________.05．如图，DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一一共走了______米. 07．如图，两直线AB、CD平行，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝〔〕A．6300B．7200C．8000D．900008．将一个宽度相等且足够长的纸条翻开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_________.09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，那么m+n的值是〔〕A．120 B．128 C．136 D．14410．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板〞(1)假如设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝______；各内角中最小内角是_____度，最大内角是_____度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是_____.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不互相重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下阳芡明左右相邻两点间隔都为1).(3)某学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明理由.11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或者全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明阳芡明单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明。
苏教版 小学数学五年级上册易错专项练(知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练) 第17讲 解决问题的
第17讲解决问题的策略（讲义）小学数学五年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）用列举的策略解决实际问题。
在列举的过程中合理使用列表或画图等辅助手段。
用“画图法”解决实际问题时，要注意不能重复或遗漏。
１. 列举时不能杂乱无章地罗列，要有一定的顺序，这样才能做到不得复、不遗漏。
２. 在解决握手问题时要考虑到握手是相互的，避免重复列举。
【易错一】体育室有篮球、排球、足球和羽毛球。
如果要借两种球，共有（）种不同的借法。
A．6 B．9 C．12【解题思路】根据题意，用每种球与另外3种球进行搭配，即可解答。
【完整解答】借法如下：篮球、排球篮球、足球篮球、羽毛球排球、足球排球、羽毛球足球、羽毛球一共有6种不同的借法。
故答案为：A【易错点】此题主要考查了组合问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚是排列问题，还是组合问题。
【易错二】小兰、小云、小丽和小娟是好朋友，如果她们相互寄一张贺卡，那么一共要寄( )张贺卡：如果她们每两人之间通一次电话，那么一共要通( )次电话。
【解题思路】小兰、小云、小丽和小娟一个4个人，他们互相寄一张贺卡，则每人都要送出3张贺卡，则一共寄了3×4张贺卡；每两人之间通一次电话，即每位朋友都要其他3位朋友通一次电话，共3次，则4个人一共通话的次数是：4×3＝12次，由于是两人之间进行的，所以一共通话12÷2＝6次，据此解答。
【完整解答】（4－1）×4＝3×4＝12（张）（4－1）×4÷2＝3×4÷2＝12÷2＝6（次）【易错点】根据搭配问题进行解答；解答本题注意区别“他们互寄贺卡”和“每两人通一次电话”的不同。
【易错三】早餐时，粥和主食各取一种，共有（）种不同的搭配方法？连一连。
【解题思路】每种主食都可以和每种粥搭配在一起，则小米粥分别和馒头、面包、豆沙包搭配一起，有3种搭配方法。
第17讲 平均数-四年级数学下册易错题精编讲义(人教版)
第17讲平均数（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、平均数的意义。
一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫作平均数。
2、求平均数的方法。
（1）移多补少法。
（2）公式法。
1、平均数只能反映一组数据的总体情况，而不能反映其中某个具体数量的情况。
2、在对几组同类数据进行比较时，一般采用比较平均数的方法。
【易错一】一罐蜂蜜，需要2只小熊一起抬。
3只小熊要把这罐蜂蜜从离家600米远的地方抬回家，平均每只小熊要抬()米。
A．300 B．400 C．500 D．600【分析】因为一箱蜂蜜需要2小熊一起抬，要把蜂蜜从600米的地方搬回家，那么在路上的三只小熊总共抬的路程为(6002)⨯米，然后除以3可以算出3小熊平均每只小熊要抬多少米。
【解答】解：60023⨯÷=÷12003400=（米)答：平均每只小熊要抬400米。
故选：B。
【点评】此题需要学生熟练掌握整数乘除法的计算并灵活运用。
【易错二】学校游泳队里6名队员的体重如下表：这些队员的平均体重一定不会超过千克，也一定不会少于千克。
他们的平均体重是千克。
【分析】平均数是反映一组数据的集中趋势的量，它比最大数小，比最小数大，据此解答即可。
【解答】解：(365046415245)6+++++÷=÷2706=（千克）45答：这些队员的平均体重一定不会超过52千克，也一定不会少于36千克。
他们的平均体重是45千克。
故答案为：52；36；45。
【点评】根据平均数的含义和求法，解答此题即可。
【易错三】随着共享经济的到来，我国外卖行业的消费需求和规模都在持续扩大。
如表是某外卖公司对外卖骑手李师傅一周送单量的数据跟踪。
（1）照这周平均每天送单量来计算，李师傅这个月（按30天计算）能送出多少单外卖？（2）已知该外卖公司骑手每月送满300单即可领取底薪2500元，超出部分平均每单的提成是6元。
李师傅这个月的工资是多少元？【分析】（1）先求出平均每天送单量，再乘30即可；（2）分两段计算工资即可。
第17讲 二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律
第17讲二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律(,)(),1,2, i j ij X Y P X x Y y p i j ==== 对于离散型随机变量，分布律为，，X ,Y 的边际分布律为：（二）边际分布()i P X x ==11()((),)j i j ij ji i P Y y P X x Y y p p ∞∞∙=======∑ 记为同理，=必然事件11(())i j ij i j j P X x Y y p p ∞∞∙=====∑ 记为，=必然事件2i ij j ij p p j p p i ∙∙注意：记号表示是由关于求和后得到的；同样是由关于求和后得到的.………………………p 11…p 12p 1j…p1·1x 2x p i 1…p i 2p ij …p i ·i x X Y y 1y 2…yj…()i P X x =p .1p .2p .j (1)()j P Y y =…p 21…p 22p 2j …p 2· (3):X Y X Y 132112例：盒中装有只红球，只白球，现分两次从中任取球，以、分别表示第、次取到的红球数。
采用不放回与放回抽样分别求，的联合分布律及边际分布律。
001,1,1212X Y ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩，第次取到白球，第次取到白球解：，第次取到红球第次取到红球4:X Y X Y 132112例：盒中装有只红球，只白球，现分两次从中任取球，以、分别表示第、次取到的红球数。
采用不放回与放回抽样分别求，的联合分布律及边际分布律。
不放回抽样0121230545432321545225355435i j X Y p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅5:X Y X Y 132112例：盒中装有只红球，只白球，现分两次从中任取球，以、分别表示第、次取到的红球数。
采用不放回与放回抽样分别求，的联合分布律及边际分布律。
放回抽样0122230555532331555225355535i j X Y p p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅以上两表中，联合分布律不同，但它们的边际分布律相同；这就说明了，仅由边际分布一般不能得到联合分布。
组合数学第17讲_算式最值(教师版)A4
组合数学第17讲_算式最值一．算式最值主要涉及竖式和横式两类，竖式类的最值当作竖式谜去处理；横式类主要是给定一些数字组成若干个等数位的两个数或不等数位的两个数比较乘积或者差最值，比较固定的方法根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案．二．解题方法（1）常用突破口：首位、末位、进位、位数、反复出现的汉子或字母．（2）比较复杂的多位横式，转化为竖式看起来比较清晰，更容易发现突破口．（3）多个等式的横式问题从可能性较少的等式入手，逐步尝试排除．（4）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再比较大小，找出最大值和最小值．重难点：横竖中给定数字或数的最值问题．在复杂横竖谜中没有考虑到彼此之间的限制性条件，导致取值范围变大求出不合适的结果．题模一：选数填空例1.1.1将3、4、5、6、7、8共六个数字填入下面的“□”中，使得乘积最大，那么较大的乘数是_______．□□□□□□⨯【答案】853【解析】如果想要乘积最大，那么应该将8、7放在百位，6、5放在十位、4、3放在个位，又根据“和同近积大”，经过调整两个数应该为853和764，较大的为853．例1.1.2请将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数分别填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□□□【答案】9642087531⨯【解析】要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大，个位上的数字最小，所以万位填9、8，千位填7、6，百位填5、4，十位填3、2，个位填1、0.在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于900008000070006000500400302010183951+++++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个五位数的差最小，尝试是9642087531⨯．例1.1.3将0~9填到-□□□□□□□□□□中，差最大是________．【答案】88531【解析】最大的差显然为987651023488531-=．例1.1.4用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ ．求算式ABC DE FGH IJ ⨯-⨯的计算结果的最大值．【答案】60483【解析】ABC 与DE 中，位置最重要的为A 和D ，为9和7.其次为B 和E ，为3和5，最后是1C =．且两数要尽可能接近，所以751,93ABC DE ==．同理，468,20FGH IJ ==．所以ABC DE FGH IJ ⨯-⨯结果最大值为60483．例1.1.5从1，2，⋅⋅⋅，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．()()÷⨯-⨯-++【答案】()()91872346÷⨯+-⨯+-，计算结果为131【解析】计算结果要大，说明乘的要大，除的要小，加的要大，减的要少．按照这个规则，很容易填出答案：()()91872346131÷⨯+-⨯+-=．题模二：其它例1.2.1已知a ，b 为自然数，41115a b =+，那么a b +的最小值是（ ）． A ．16B ．20C ．30D ．6 【答案】A 【解析】11415a b a b ab ++==，可知a b +为4的倍数，ab 为15的倍数．从选项可知，16a b +=或20a b +=．16a b +=时，60ab =，6a =，10b =成立，所以a b +的最小值是16，答案为A ．例1.2.2已知2不大于A ，A 小于B ，B 不大于15，A 和B 都是自然数，求A B AB+的最小值． 【答案】29210【解析】由题意知215A B ≤<≤，且A 、B 都是自然数．11A B AB A B +=+，因此要使A B AB +最小，应使A 、B 尽可能大，故15B =，14A =，29210A B AB +=． 例1.2.3记一百个自然数,1,2,,99x x x x +++的和为a ，如果a 的数字和等于50，则x 最小为多少？【答案】99950【解析】根据等差数列求和公式，这100个数的和是1004950x +，要让着个数的各位数字和为50且数字最小，要让各位数字尽量大，数位尽量少；由于这个数的末两位是5和0，则当前面再有5个9的时候位数最少且数字和达到50.故这个和是9999950是最好的10099999504950999500099950x x =-=→=．随练1.1（1）请将1~4这4个数字填入算式“⨯□□□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？（2）请将1~6这6个数字填入算式“⨯□□□□□□”的□中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填？【答案】（1）4132⨯（2）631542⨯【解析】（1）要使乘积最大，首位应当尽可能大，4，3填在十位上，这样1，2就填在个位上．此时这两个数的和固定，要使乘积最大，只要差最小即可．因此，乘积最大时应该是4132⨯．（2）因百位的两个数固定了，那么百位之和就固定了．同样个位，十位的和也固定了，所以这两个三位数的和一定．此时要使它们的乘积最大，只需使它们的差最小．因此6□□的后两位数应该尽量小，5□□的后两位数应该尽量大．那么这两个数就应该是631和542，即乘积最大时是631542⨯．随练1.2用0、2、4、6、8五个数字组成一个三位数和一个两位数，每个数字只能使用一次，那么这两个数的差最大是_______．【答案】844【解析】最值问题，86420844-=．随练1.3用1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字组成两个四位数，使这两个数的差最小（大减小），那么这两个四位数中比较大的那个数是___________．【答案】5123【解析】两个四位数越相近差越小，先是判断千位相差1，然后剩下的6位数可组成一个最小三位数与一个最大三位数，则为51234987136-=．随练1.4将2~8这7个自然数填入算式“⨯-÷□□□□□□□”的□中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少，最小是多少？【答案】最大6452；最小827【解析】（1）这个算式，减号前面是两个两位数相乘，减号后面是一个除法算式，要使算式的计算结果达到最大，被减数应该是越大越好，减数应该是越小越好．①对于×□□□□，要使它最大，首位应该填8和7，十位应该填6和5，而且根据“两数和一定，越靠近则积越大”的性质，使得×□□□□取最大值的填法为8576⨯．对于÷□□□，要使它最小，被除数应该要越小越好，除数要越大越好．此时剩下数字2，3，4，那么÷□□□能取到的最小值为2438÷=，或3248÷=．所以如果前面填8576⨯，整个算式的最大值就等于85762436452⨯-÷=．②如果前面乘积的4个数字不是5，6，7，8，那么乘积最多为84766384⨯=，那么整个算式值小于6384，当然小于6452．因此算式的最大值为6452．（2）①要使它最小，前面填数字2，3，4，5，后面填6，7，8最好，这样可以使乘积达到最小，从而整个算式也很小．同理，得2435786827⨯-÷=．②如果前面乘积的4个数字不是2，3，4，5，分两种情况讨论：如果4个数字中没有2，那么乘积最少为35461610⨯=，商最大为86243÷=，那么整个算式值至少是1610431567-=，远大于827．如果4个数字中有2，那么乘积最少为2436864⨯=，商最大为87329÷=，那么整个算式值至少是86429835-=，大于827．因此算式的最小值为827．随练1.5三位偶数A 、B 、C 、D 、E 满足B C D E A ＜＜＜＜，若=4306A B C D E ++++，则A最小是___________．【答案】326【解析】假设A 为100，则40361004026B C D E +++=-=，因为40264=10512÷……，所以A 最小为4026992994996998326----=．随练1.6两个四位数的差是8921．这两个四位数的和最大是（ ）．A ．10077B ．10977C ．11077D ．11177【答案】C【解析】显然两数越大越好，最大为9999和999989211078-=，两数之和为9999107811077+=．所以正确答案是C ．作业1请将1、2、3、4、5、6、7、8这六个数字分别填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□．【答案】76428531⨯【解析】要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大，个位上的数字最小，所以千位填7、8，百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2.在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于7000800050060030401216173+++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个四位数的差最小，尝试是76428531⨯．作业2用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ．请问：算式ABC DE ⨯的计算结果最大是________．A ．69843B ．370025C ．98654【答案】A【解析】最大不超过10008080000⨯=或80010080000⨯=，只有A 满足要求．作业3将数字1～6填入到⨯+⨯□□□□□□的6个方框中，能得到的最大的结果是（ ）．A ．3494B ．3304C ．3404D ．3394【答案】C【解析】易知两位数的十位应为6、5，个位为3、4．根据和同近积大原则，两位数为63、54，结果为6354213404⨯+⨯=．作业4在请将6~9这4个数字填入算式“⨯+□□□□”的□中，要使得算式结果最大，应该怎么填？【答案】7896⨯+【解析】要使计算结果最大，两位数的十位应当尽量大，填9．前面的乘数比两位数的个位对结果的贡献更大，应填次大的，8和7．因此两位数的个位取最小的数字6．所以计算结果最大的填法是7896⨯+作业5用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a ，b ，c ，d ，e ．请问：a b c d e -+-+最大可能是__________．【答案】222【解析】将a b c d e -+-+整理为()()a c e b d ++-+．a c e ++要尽可能大，它们的十位数字应该分别为9，8，7，个位数字分别为6，5，4，和最大为255；b d +要尽可能小，它们的十位数字分别为2，1，个位数字分别为3，0，和为33，所以a c e b d ++--最大值为25533222-=．作业6已知算式9984888----的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？【答案】9872【解析】根据题目首位最大是9，第二位最大是8，第三位最大是7，另外得到的数和9984除以8同余，所以这个数为9872．作业7如果 74115<<□ 成立， 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 ．【答案】77【解析】745<□，通分，将分母统一为□×5，35455⨯<⨯⨯□□□，□≥9、711<○□，通分能到771111⨯<⨯⨯○□□□，○×□＜77乘积最大为76，要使和最大，应两数相差最多76=1×76，当○=1，□=76时，两数之和最大，为1＋76=77．作业8如果把分数97的分子、分母分别加上正整数a 、b 结果等于913，那么a +b 的最小值是________．【答案】28【解析】99713a b +=+，得1369b a =+，所以9,19,28a b a b ==+=． 作业9（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差__________． （2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式+□□□□中，使算式的结果小于1．这个结果最大是__________．【答案】（1）172（2）7172 【解析】（1）若两分数分母相同，设为a ，则差最小是119a ≥； 假设两分数的分母不同，设分别为a 、b ；两数差最小是1119872a b ≥=⨯⨯； 因此差最小是172，例如1118972-=符合条件． （2）设两个分母分别为a 、b ，则结果与1的差最小为1119872a b ≥=⨯⨯； 因此结果最大是7172，例如17719872+=．。
第17讲 两个函数的对称性与第18讲 函数对称性和周期性秒杀与第19讲 指数的核心运算公式(解析版)
第17讲 两个函数的对称性推论1：函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2：函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3：函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称推论1：函数()y f a x =+与()y f a x =--图象关于点(0,0)对称 推论2：函数()y f x =与(2)y f a x =--图象关于点(,0)a 对称 推论3：函数()y f x =-与(2)y f a x =-+图象关于点(,0)a -对称【例1】设函数()y f x =定义在实数集R 上,则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称【答案】D【解析】令t x a =- ,因为函数()y f t =-与()y f t =的图像关于直线0t =对称,所以函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象关于直线x a =对称.故选D【例2】若0a >且1a ≠,那么函数x y a =与log a y x =的图象关于（ ）A ．原点对称B ．直线y x =对称C ．x 轴对称D ．y 轴对称【答案】B【解析】同底的指数函数和对数函数互为反函数,图象关于y x =对称.【例3】函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线x y e =关于y 轴对称,则()f x =（ ）A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --【答案】D【解析】函数x y e =的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为x y e -= ,而函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x y e =的图象关于y 轴对称,所以函数()f x 的解析式为(1)1x x y e e -+--==,故选D.【例4】设函数()y f x =与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-= ,则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图象上任意一点,它关于直线y x =-对称的点的坐标为(,)y x --,由题意知(,)y x --在函数2x a y +=的图象上,所以2y a x -+-= ,解得2log ()y x a =--+ ,即2()log ()f x x a =--+ ，所以22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=,解得2a =,故选C.第18讲 函数对称性和周期性秒杀1、两线对称型：函数()f x 关于直线x a =、x b =对称，则()f x 的周期为|22|b a -. 证明:()(2)(2)(2)()(22)()(2)f x f a x f a x f b x f x f x b a f x f b x =-⎧⇒-=-⇒=+-⎨=-⎩. 2、一线一点对称型：函数()f x 关于直线x a =及点(,0)b 对称,则()f x 的周期为|44|b a -. 证明:()(2)(2)(2)(22)()(2)()f x f a x f a x f b x f x b a f x f b x f x =-⎧⇒-=--⇒+-=-⎨-=-⎩, 所以(44)[(22)22](22)[()]()f x b a f x b a b a f x b a f x f x +-=+-+-=-+-=--=. 3、两点对称型：函数()f x 关于点(,0)a 、(,0)b 对称,则()f x 的周期为|22|b a -. 证明:(2)()(2)(2)()(22)(2)()f a x f x f a x f b x f x f x b a f b x f x -=-⎧⇒-=-⇒=+-⎨-=-⎩.【例1】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)1f =-,对任意x R ∈,有()(2)f x f x =--成立,则(2016)f 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()(2)f x f x =--,可化为(2)()f x f x -=-,由此得()f x 的周期4T = ,所以(2016)(20164504)(0)f f f =-⨯= ,又有()(2)f x f x =--得(0)(20)(2)1f f f =--=-=,故选C.【例2】函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数 【答案】D【解析】∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,∴(1)(1),f x f x -+=-+(1)(1),f x f x --=--∴函数()f x 关于点(1,0),及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数. ∴(14)(14),f x f x --+=--+(3)(3)f x f x -+=-+,即(3)f x +是奇函数.故选D.【例3】已知定义在R 上的奇函数()f x ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=______. 【答案】8-.【解析】因为定义在R 上的奇函数,满足(4)()f x f x -=- ,所以由()f x 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称,且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为()f x 在区间[0,2]上是增函数,所以()f x 在区间[2,0]-上也是增函数.如图所示，那么方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1x ,234,,x x x ,不妨设1234x x x x <<<,由对称性知123412,4x x x x +=-+=.所以12341248x x x x +++=-+=-.第19讲 指数的核心运算公式1、正整数指数幂的核心运算法则: ①mnm na a a+⋅=;②()nm mnaa =;③(,0)mm n n a a m n a a-=>≠;④()m m m ab a b =;⑤()011(0),0,n na a a a n a -+=≠=≠∈N .2、根式具有的性质：(1n a n =>,且)n +∈N ;当n 为奇数时a =;当n 为偶数时,0||,0a a a a a ⎧==⎨-<⎩.3、分数指数幂： ①正分数指数幂:10);0,,m m nna a a a n m +=>=>∈N ,且mn为既约分数) ②负分数指数幂: (10,,m nm naa n m a -+=>∈N ,且mn为既约分数) 4、整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则: ①(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈Q ; ②()()(0,,)rss rs r a a a a r s ==>∈Q ;③()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈Q 【例1】计算下列各式: (Ⅰ)01430.753370.064(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭; (Ⅱ)10130.75283160.251255-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(Ⅲ)1013437826-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 (Ⅰ)原式143511270.41(2)21216816---=-+-+=-++=. (Ⅱ)原式34551160.5180.51022=-++=-++=.(Ⅲ)1131334422122233⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【例2】设0,0,a b e >>是自然对数的底数，则（ ）A ．若32a b e b e a -=-,则a b <B ．若32a b e b e a -=-,则a b >C ．若32a b e b e a +=+,则a b <D ．若32a b e b e a +=+,则a b >【答案】B【解析】函数()x f x e x =+为增函数,由32a b e b e a -=- ,得()220a b e a e b b +-+=> ,根据函数的单调性,有()(),f a f b a b >>,故选B. 考点：函数的单调性.【例3】衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a ,经过t 天后体积与天数t 的关系式为:kt V a e -=⋅ ,若新丸经过50天后,体积变为49a ;若一个新丸体积变为827a ,则需经过的天数为（ ） A ．75天 B ．100天 C ．125天 D ．150天【答案】A【解析】由题意,得5049k a ae -=,解得2523t e -=;令827kt ae a -=,即()33257523kt k k e e e ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭,即需经过的天数为75天.第20讲 对数的核心运算公式对数log (0a N a >,且1,0,0)a M N ≠>>具有以下性质：(1)1的对数等于0,即log 10a =; (2)底数的对数等于1,即log 1a a =; (3)log a N a N =;(4)log ()log log a a a M N M N ⋅=+; (5)log log log aa a MM N N=- (6)log log ()n a a M n M n R =∈. (7)log log (0log c b c NN b b=>,且1;0b c ≠>,且1;0)c N ≠>. (8)1log (log a b b a=其中0a >且1;0a b ≠>且1b ≠）; (9)log log n m a a mb b n=(其中0a >且)1;0a b ≠>; (10)log log log log (a b c a b c d d ⋅⋅=其中,,a b c 均大于0且不等于1,0)d >. 【例1】计算:(1)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭;(2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+;(3)2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++.【答案】(1)23;4(2) 3; (3)1.【解析】(1)原式2111923*********⎛⎫=++⨯-=++= ⎪⎝⎭;(2)原式22310lg 25lg8lglg(102)(lg 2)2=++⋅⨯+ 2lg 25lg 4(1lg 2)(1lg 2)(lg 2)=++-++22lg(254)1(lg 2)(lg 2)=⨯+-+3=;(3)原式232lg 2lg32lg 2lg32lg 2lg3111lg 0.6lg 21(lg 6lg10)lg 21lg 0.6lg 223+++===+++-+++2lg 2lg32lg 2lg32lg 2lg31lg6lg 2lg 2lg3lg 22lg 2lg3+++====++++.【例2】已知11,73a⎛⎫= ⎪⎝⎭7log 4b =,试用,a b 表示49log 48.【解析】∵11()73a =，∴1g31g7a =; ∵7log 4,b =∴lg 4lg 7b =.则49lg 48lg 4lg32log 48lg 49lg72lg722a b ab +==+=+=. 【例3】已知50,log ,lg ,510d b b a b c >===,则下列等式一定成立的是（ ）A ．d ac =B ．a cd =C ．c ad =D ．d a c =+【答案】B【解法一】5lg 1log ,lg ,lg5lg5b a bc bd ====所以a cd =. 【解法二】因为5log ,lg b a b c ==,所以5,10a c b b ==.又510d =,所以()51055ca c d cdb ====, 则a cd =.【例4】已知1a b >>,若5log log ,2b a a b b a a b +==,则a =_____,b =_____.【答案】4,2a b ==【解析】由log log 1log 25log log 2a b a a b b a b b a ⋅=⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩或212b a ⇒=或b 再结合,1b a a b a b =>>得4,2a b ==.【例5】若正数,a b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+,则11a b+的值为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．172【答案】C【解析】由2362log 3log log ()a b a b +=+=+得236log (4)log (27)log ()a b a b k ==+=,所以有 42,273,6k k k a b a b ==+=,所以108236k k k ab a b =⨯==+,即11108a b+=,故选C. 【例6】若1,01a b c >><<,则（ ）A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <【答案】C【解析】函数(01)cx c <<在(0,)+∞上递增,故A 错;选项B 即,01c b b b a a a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭,函数xb a ⎛⎫⎪⎝⎭在R 上递减，故B 错;由1,01a b c >><<得lg lg lg lg c ca b>,即log log a b c c >,故D 错,C 对,故选C .。
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第17讲 乘法公式（二）【学习目标】1.学习三元二次的公式与二元三次公式的证明推导2.熟练应用三元二次的公式与二元三次公式【专题简介】乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。
乘法公式是整式恒等变形的基础之一，是整个代数的运算基础之一，因此乘法公式的熟练使用将直接影响初中代数能力，而学习乘法公式的关键就在于多练习多应用。
【专题分类】（1）常见公式的推导证明：（2）三元二次公式的应用：（3）二元三次公式的应用： 知识导航【常见乘法分类】1.二元二次：（1）()()a b a b +-= .（2）()2a b += .2.三元二次：（3）()2a b c ++= .（4）222a b c ab bc ca +++++= .3.二元三次：（5）()3a b += .（6）33a b += .【拓展乘法公式】4.三元三次：（7）()()()1111a b c abc ab bc ca a b c +++=+++++++；（8）()()()2222222a b b c c a a b b c c a ab bc ca abc +++=++++++ （9）()()2222222a b c ab bc ca a b b c c a ab bc ca abc ++++=++++++ （10）()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++--- 5.三元四次：（11）()()()()444222222222a b c a b c b c a c a b a b c a b b c c a +++-+-+-=---+++ 6.二元n 次：（12）()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++L（13）()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++-+L （n 为奇数）模块一 公式的推导证明题型一 三元二次公式【例1】（1）推导()()()222a b b c c a +++++的展开式，并总结公式.（2）推导()2a b c ++、()2a b c d +++的公式，比较()2a b +、()2a b c ++、()2a b c d +++的公式，并探索规律.【练1】填空：（1）222a b c ab bc ca ++---= ；（2）222a b c ab bc ca ++++-= ；（3）222a b c ab bc ca ++-+-= ；（4）()2a b c d e +-+-= ；【思考】根据例题结论可直接做下列变化.（1）()()()()2222222a b b c c a a b c ab bc ca ++-++=+++-+；（2）()()()()2222222a b b c c a a b c ab bc ca ++-+-=+++--.【拓】利用例题得出的规律推导()2a b c d ++-、()2a b c d +--、()2a b c d e ++++的展开式.【周小东录入】题型二 二元三次公式【例二】 推导(a ＋b)3、(a ＋b)4的公式，比较(a ＋b)3、(a ＋b)4、(a ＋b)3，并探索规律 .【拓】 利用例题得出的结论和相关规律推导(a －b)4、(a ＋b)5的展开式 .【练2】 填空：（1）(a ＋b)6＝ ；（2）(a －b)6＝ .【例3】 证明立方和（差）公式【练3】 证明：a n －b n ＝(a －b)(a n －1＋a n －2b ＋a n －3 b 2＋……＋a b n －2＋b n －1)a n ＋b n ＝(a ＋b)(a n －1－a n －2b ＋a n －3 b 2＋……－a b n －2＋b n －1 )（n 为奇数）模块二三元二次公式的应用 题型一三元完全平方 【例4】计算：（1）( 3x －y ＋5z ) 2 ； （2）( x －5y －9 ) 2 ；【练4】填空：（1）2221111119164643a b c ab bc ac +++++＝（ ＋ ＋ ）；（2）4m 2＋n 2＋16p 2－4mn －8np ＋16pm ＝（ － ＋4p 2）.【例5】已知三个数a ，b ，c 满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a ＋b ＋c .【练5】已知(x＋y)2－2x－2y＋1＝0，则(x＋y) 999＝ .题型二三元配方基础夯实【例6】已知a＝120x＋20，b＝120x＋19，c＝120x＋21，求代数式a2＋b2＋c2－a b－bc－a c的值 .【练6】已知a－b＝3，b－c＝1，求代数式a2＋b2＋c2－a b－bc－a c的值 .【拓】已知a－b＝b－c＝35，a2＋b2＋c2 ＝1，求a b＋bc＋a c的值 .一强化挑战【例7】如果abc是△ABC三边的长，且a2＋b2－a b＝c（a＋b－c），那么△ABC是（）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状不确定【练7】若a，b，c为正数，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，那么a，b，c之间有什么关系？【例8】已知3a＋2b＋c＝24，且a2＋b2＋c2 ＝a b＋bc＋a c，则a3＋b2＋c＝ . 【练8】若14(a2＋b2＋c2 )＝(a＋2b＋3c)2 ,求a:b:c .【拓】x，y，z为有理数且(y－z)2＋(z－x)2＋(x－y)2＝(y＋z－2x)2＋(x＋z－2y)2＋(x＋y －2z)2 ，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值 .【例9】 计算：(1)(a －13)(a ＋13)(a 2－13a ＋19)(a 2＋13a ＋19)(2)(b ＋3a )(9a 2－3a b ＋b 2)【练9】 (1)(2a ＋b)2()2242a a b b ⎡⎤--⎣⎦-(2)(a ＋2b)(a －2b)(a 4－8a 2b 2＋16b 4)【例10】若a＋b＝5，求a3＋b3＋15a b的值 .【练10】已知x＋y＝10，x3＋y3＝280，求x2＋y2的值 .【拓】（外高资格生2014）计算：3333333321314120012131412001----⨯⨯⨯⨯=++++L .第17讲 [尖端班课后作业]乘法公式（三）【习1】已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－a b－bc－a c的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【习2】设a，b，c是不全相等的任意实数，设x＝a2－bc，y＝b2－ca，z＝c2－ab，则x，y，z（）A. 都不小于0B. 都不大于0C. 至少有一个小于0D. 至少有一个大于0 【习3】若a＝2011，b＝2012，c＝2013，则a2＋b2＋c2－a b－bc－a c＝ . 【习4】利用立方和、立方差公式填空：（1）(b－ )(4a2＋2a b＋b2)＝b3－8a3；（2）(x＋3y)(x2 －＋9y2)＝x3＋27y3；（3）(m＋2n)( －2mn＋ )＝m3＋8n3；【习5】已知x＋2y＝4，xy＝1，则x3＋8y3＝ .【习6】 (2010年联赛)已知实数x，y满足方程组33191x yx y⎧+=⎨+=⎩，则x2＋y2＝ .【习7】已知x＋y＝1，x2＋y2＝2，求x6＋y6的值 . 【习8】若a＋b＝5，求a3＋b3＋15a b的值 .【习9】已知x＋y＝10，x3＋y3＝100，求x2＋y2的值.【习10】(2011深圳外国语分校初二下期中)已知a－b＝3，a－c(c－b)[(a－b)2＋(a－c)(a－b)＋(a－c)2]的值是 .【习11】已知三个数a，b，c满足方程222214229221b acc aba bc⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a＋b＋c .【习12】已知(x＋y)2－2x－2y＋1＝0，则(x＋y)999＝ . 【习13】已知b－c＝c－a＝2，a b＋bc＋c a＝5，求a2＋b2＋c2 .【习14】计算：(1)(2m＋n2)(4m2－2mn2＋n4)； (2)(x＋2y)2(x2－2xy＋4y2)2；【习15】阅读下列材料，然后回答后面的问题：利用完全平方公式(a±b)2＝a2±2a b＋b2，通过配方可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2a b或a2＋b2＝(a－b)2＋2a b . 从而使某些问题得到解决 .例：已知a＋b＝5，a b＝3，求a2＋b2的值 .解：a2＋b2＝(a＋b)2－2a b＝52－2×3＝19 .问题：(1)已知1aa+＝6，则221aa+＝；(2)已知a－b＝2，a b＝3，求a4＋b4的值 . 【卢超录入】。