北师大版七年级下册 第四章 三角形 章末检测(含解析)
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4．B
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可.
【详解】
如图所示，利用三角形外角性质可知：
∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F
=90°+30°+90°
=210°，
故选：B.
（2）若图1中的 平分 ，则 从图1中的位置绕点 逆时针旋转到 与 重合时，旋转了多少度？
（3） 从图2中的位置绕点 逆时针旋转 ，试问：在旋转过程中 的度数是否改变？若不改变，请求出它的度数；若改变，请说明理由.
17．在 中， ，点 为直线 上一动点（点 不与点 重合），以 为腰作等腰直角 ，使 ，连接 ．
答案与解析
1．C
【解析】
【分析】
在BC上截取 ，连接 ，易证 ，显然当A、P、 三点共线且 时， 的值最小，问题转化为求△ABC中BC边上的高，再利用面积法求解即可.
【详解】
解：在BC上截取 ，连接 ，如图，
∵ 是 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△PBQ和 中，
∴△△PBQ≌ （SAS），
∴ ，
2．C
【解析】
【分析】
根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.
【详解】
解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
（1）观察猜想
如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系为__________；
② 之间的数量关系为___________（提示：可证 ）
（2）数学思考
如图2，当点 在线段 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展延伸
如图3，当点 在线段 的延长线时，将 沿线段 翻折，使点 与点 重合，连接 ，若 ，请直接写出线段 的长．（提示：做 于 ，做 于 ）
2020年初中数学北师大版七年级下册
第四章章末检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图， 中， ， ， ， ， 是 的平分线.若P、Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是（）
A． B．4C． D．5
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=()
9．如图，在 中，点 在 上，点 在 上，如果 ， ， ，那么 （）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰 与等腰 ， ， ， ，连接 和 相交于点 ，交 于点 ，交 与点 .下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .其中一定正确的结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．35°B．95°C．85°D．75°
3．如图为作一个角的角平分线的示意图，该作法的依据是全等三角形判定的基本事实，可简写为( )
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．小明把一副直角三角板如图摆放，其中 ，则 等于( )
A． B． C． D．
5．如图，已知∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OR平分∠QON，OP平分∠MON，则∠POR的度数为( )
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3．A
【解析】
解：如图，连接BC，AC，由作图知：在△OAC和△OBC中，∵OA=OB，CO=CO，AC=BC，∴△OAC≌△OBC（SSS），故选A．
点睛：本题考查的是全等三角形的判定，要清楚作图时作出的线段OB与OA、BC与AC是相等的．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
（4）如图④， 和 都是等腰直角三角形， ，点 、 、 在同一直线上， 为 中 边上的高，则 的度数为__________；线段 ， ， 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤， 和 都是等腰直角三角形， ，将 绕点 逆时针旋转，连结 、 ．当 ， 时，在旋转过程中， 与 的面积和的最大值为__________．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则 ，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
∵OR平分∠QON，
∴∠NOR= ∠QON，
∴∠POR=∠PON-∠NOR=45°+ ∠QON- ∠QON=45°．
故选C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，即一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
6．D
【解析】
【分析】
证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
12．如图，在 和 中， ， ， ， ， ， 三点在同一条直线上，连接 ，则下列结论正确的是___________.
①
②
③
④
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F，作DH⊥BC于点H，连接CD．若tan∠DFH＝ ，S△BCD＝18，则DE的长为_____．
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；
，故结论④正确；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．C
【解析】
【分析】
先根据∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON得出∠PON的表达式，再由OR平分∠QON得出∠NOR的表达式，故可得出结论．
【详解】
∵∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON，
∴∠PON= （∠MOQ+∠QON）= （90°+∠QON）=45°+ ∠QON，
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
8．C
【解析】
【分析】
分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出 后可得答案．
abc和adf都是等腰直角三角形abacadafbacdaf90badcaf在dab和fac中adafbadcafabac??????????dabfacsasabdacfdbcfbac90abacacbabc45abd18045135acfabd135bcfacfacb1354590cfbccddbbcdbcfdccfbc3过a作ahbc?于h过e作embd?于m90bac???22abav??12422bcabahbhchbc??????114cdbc??3dhchcd???四边形adef是正方形90addeade???bccfembdencf???四边形cmen是矩形necmemcn??90ahdadcemd????90adhedmedmdem?????adhdem?在adh和dem中adhdemahddmeadde????????????adhdem32emdhdmah????3cmem??2232ceemcm???答案第26页总33页点睛本题考查了三角形的综合问题掌握正方形的性质全等三角形的性质以及判定余角的性质等腰三角形的角的性质是解题的关键
7．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
8．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
Hale Waihona Puke 其中所有正确结论的序号是( )A．②③B．③④C．②③④D．①②③④
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
，
故结论④正确；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以②正确．
14．已知△ABC的高为AD，BE相交于O点，∠C =70°，则∠BOA的度数为________
15．如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 , ．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为_____．
三、解答题
16．如图1，已知 ， 在 内， 在 内， .
（1） 从图1中的位置绕点 逆时针旋转到 与 重合时，如图2， ；
19．已知， ，作射线 ，再分别作上 和 的平分线 、 ．
(1)如图①，当 时，求 的度数；
(2)如图②，当射线 在 内绕 点旋转时， 的大小是否发生变化，说明理由．
(3)当射线 在 外绕 点旋转且 为钝角时，画出图形，请直接写出相应的 的度数(不必写出过程)．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
7．A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．
【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
∴ ，
∴当A、P、 三点共线且 时， 的值最小，
过点A作AF⊥BC于点F，则 的最小值即为AF的长，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 .
故选C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、垂线段最短和面积法求高等知识，属于常考题型，在BC上截取 ，连接 ，构造全等三角形、把所求问题转化为求 的最小值是解题的关键.
A．45°+ ∠QONB．60°C．45°D． ∠QON
6．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，连接 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时针旋转60°得到：②点 与 的距离为4；③ ；④ 四边形 ；⑤ ．其中正确的结论是（）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
18．已知 和 都是等腰三角形， ， ， ．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点 ， 分别在边 ， 上，则 __________ ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的 绕点 旋转，当点 在 外部，点 在 内部时，求证： ．
（深入研究）（3）如图③， 和 都是等边三角形，点 ， ， 在同一条直线上，则 的度数为__________；线段 ， 之间的数量关系为__________．
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可.
【详解】
如图所示，利用三角形外角性质可知：
∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F
=90°+30°+90°
=210°，
故选：B.
（2）若图1中的 平分 ，则 从图1中的位置绕点 逆时针旋转到 与 重合时，旋转了多少度？
（3） 从图2中的位置绕点 逆时针旋转 ，试问：在旋转过程中 的度数是否改变？若不改变，请求出它的度数；若改变，请说明理由.
17．在 中， ，点 为直线 上一动点（点 不与点 重合），以 为腰作等腰直角 ，使 ，连接 ．
答案与解析
1．C
【解析】
【分析】
在BC上截取 ，连接 ，易证 ，显然当A、P、 三点共线且 时， 的值最小，问题转化为求△ABC中BC边上的高，再利用面积法求解即可.
【详解】
解：在BC上截取 ，连接 ，如图，
∵ 是 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△PBQ和 中，
∴△△PBQ≌ （SAS），
∴ ，
2．C
【解析】
【分析】
根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.
【详解】
解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°
（1）观察猜想
如图1，当点 在线段 上时，
① 与 的位置关系为__________；
② 之间的数量关系为___________（提示：可证 ）
（2）数学思考
如图2，当点 在线段 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展延伸
如图3，当点 在线段 的延长线时，将 沿线段 翻折，使点 与点 重合，连接 ，若 ，请直接写出线段 的长．（提示：做 于 ，做 于 ）
2020年初中数学北师大版七年级下册
第四章章末检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图， 中， ， ， ， ， 是 的平分线.若P、Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是（）
A． B．4C． D．5
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=()
9．如图，在 中，点 在 上，点 在 上，如果 ， ， ，那么 （）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰 与等腰 ， ， ， ，连接 和 相交于点 ，交 于点 ，交 与点 .下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .其中一定正确的结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．35°B．95°C．85°D．75°
3．如图为作一个角的角平分线的示意图，该作法的依据是全等三角形判定的基本事实，可简写为( )
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
4．小明把一副直角三角板如图摆放，其中 ，则 等于( )
A． B． C． D．
5．如图，已知∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OR平分∠QON，OP平分∠MON，则∠POR的度数为( )
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3．A
【解析】
解：如图，连接BC，AC，由作图知：在△OAC和△OBC中，∵OA=OB，CO=CO，AC=BC，∴△OAC≌△OBC（SSS），故选A．
点睛：本题考查的是全等三角形的判定，要清楚作图时作出的线段OB与OA、BC与AC是相等的．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
（4）如图④， 和 都是等腰直角三角形， ，点 、 、 在同一直线上， 为 中 边上的高，则 的度数为__________；线段 ， ， 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤， 和 都是等腰直角三角形， ，将 绕点 逆时针旋转，连结 、 ．当 ， 时，在旋转过程中， 与 的面积和的最大值为__________．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则 ，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
∵OR平分∠QON，
∴∠NOR= ∠QON，
∴∠POR=∠PON-∠NOR=45°+ ∠QON- ∠QON=45°．
故选C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，即一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
6．D
【解析】
【分析】
证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
12．如图，在 和 中， ， ， ， ， ， 三点在同一条直线上，连接 ，则下列结论正确的是___________.
①
②
③
④
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F，作DH⊥BC于点H，连接CD．若tan∠DFH＝ ，S△BCD＝18，则DE的长为_____．
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；
，故结论④正确；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．C
【解析】
【分析】
先根据∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON得出∠PON的表达式，再由OR平分∠QON得出∠NOR的表达式，故可得出结论．
【详解】
∵∠MOQ是直角，∠QON是锐角，OP平分∠MON，
∴∠PON= （∠MOQ+∠QON）= （90°+∠QON）=45°+ ∠QON，
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
8．C
【解析】
【分析】
分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出 后可得答案．
abc和adf都是等腰直角三角形abacadafbacdaf90badcaf在dab和fac中adafbadcafabac??????????dabfacsasabdacfdbcfbac90abacacbabc45abd18045135acfabd135bcfacfacb1354590cfbccddbbcdbcfdccfbc3过a作ahbc?于h过e作embd?于m90bac???22abav??12422bcabahbhchbc??????114cdbc??3dhchcd???四边形adef是正方形90addeade???bccfembdencf???四边形cmen是矩形necmemcn??90ahdadcemd????90adhedmedmdem?????adhdem?在adh和dem中adhdemahddmeadde????????????adhdem32emdhdmah????3cmem??2232ceemcm???答案第26页总33页点睛本题考查了三角形的综合问题掌握正方形的性质全等三角形的性质以及判定余角的性质等腰三角形的角的性质是解题的关键
7．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
8．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
Hale Waihona Puke 其中所有正确结论的序号是( )A．②③B．③④C．②③④D．①②③④
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
，
故结论④正确；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以②正确．
14．已知△ABC的高为AD，BE相交于O点，∠C =70°，则∠BOA的度数为________
15．如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 , ．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为_____．
三、解答题
16．如图1，已知 ， 在 内， 在 内， .
（1） 从图1中的位置绕点 逆时针旋转到 与 重合时，如图2， ；
19．已知， ，作射线 ，再分别作上 和 的平分线 、 ．
(1)如图①，当 时，求 的度数；
(2)如图②，当射线 在 内绕 点旋转时， 的大小是否发生变化，说明理由．
(3)当射线 在 外绕 点旋转且 为钝角时，画出图形，请直接写出相应的 的度数(不必写出过程)．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
7．A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．
【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
∴ ，
∴当A、P、 三点共线且 时， 的值最小，
过点A作AF⊥BC于点F，则 的最小值即为AF的长，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 .
故选C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、垂线段最短和面积法求高等知识，属于常考题型，在BC上截取 ，连接 ，构造全等三角形、把所求问题转化为求 的最小值是解题的关键.
A．45°+ ∠QONB．60°C．45°D． ∠QON
6．如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，连接 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时针旋转60°得到：②点 与 的距离为4；③ ；④ 四边形 ；⑤ ．其中正确的结论是（）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
18．已知 和 都是等腰三角形， ， ， ．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点 ， 分别在边 ， 上，则 __________ ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的 绕点 旋转，当点 在 外部，点 在 内部时，求证： ．
（深入研究）（3）如图③， 和 都是等边三角形，点 ， ， 在同一条直线上，则 的度数为__________；线段 ， 之间的数量关系为__________．