第二课堂 电场线、等势面及导体和电场力
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0
( x a) 2 y 2 ln 4 0 ( x a) 2 y 2
( x a) 2 y 2 U ln 40 ( x a)2 y 2
( x a) 2 y 2 令 k e 2 0U k2 ( x a) 2 y 2 2 2 2 k 1 2ka 2 整理化为 x 2 y 2 k 1 k 1
E dS E a S E b S 0 Ea Eb
a b c d
a b c d E dl E1 dl E dl E 2 dl E dl
E1l E2l E1 E2 l E1 E2 E dl 0
2 2
2l a l
2 2
(1)
dy E y dx E x
图1 电场线在q处与导体表面平行，即
( x l )
dy dx xl
2
y
2
3
( x l )
2
2
y
2
x l ( x l )2 y 2
2l a l
2 2
(2)
对（1）求极限
lim
x l y 0
l ab bc cd da
E1 ab ( E2 cd ) 0
E1 cd r2 r2 E2 ab r1 r1
a d r2
E1
E2 b c r1
Er const
a( xi yj ) 例2、已知电场强度为 E 2 2 ，式中a为常数，求 x y
2
y2
3
( x l )
2
2
y2 0
0 1
a 3l
例3、一点电荷带电量为+q，距一半径为a的导体球的球 心为D，把导体球接地，导体球对球外电场所起的作用 相当一等效点电荷，求： （1）此等效电荷的位置与电量； （2）球外在OM连线上一点的电势。
a O D M
解：设等效电荷q，在球面上q 、q产生的电势为零
电场线、等势面及静电场中的导体和电场力
一、电场线和等势面 方向—切向 E 大小—疏密
U
沿E方向电势降落 与E垂直，疏密反映E的大小
静电场的基本方程
qi E dS 0 E dl 0
问题(书 p94 1-44): 是否存在着这样的静电场线?
反证法：设静电场中存在此类电场线，则可作如图高斯 面及环路
1、静电场中的导体 静电平衡
Ei 0 E face导体表面
等势体，等势面 自身带电情况导体形状 外场的电荷分布 高 斯 定 理 电 荷 守 恒 定 律 静 电 平 衡 条 件 导体内部各处净余电荷为 零，电荷只能分布在表面
E face σ e / ε 0
孤立导体
+ + + +
1 r
U P E dl
o P
o E dl E dl
p' P P'
0 E dl Ex dx
p' P x
xa xa ( x a) 2 y 2 ( x a) 2 y 2 dx 2 0 x
q' q UP 0 4 0 (a D' ) 4 0 ( D a) q' q U P' 0 4 0 (a D' ) 4 0 ( D a)
a a D' , q' q D D q' q U 4 0 (r D' ) 4 0 ( D r )
例1：在两平行无限大平面内是电荷体密度>0的均匀 带电空间。有一m、q<0的点电荷在带电的边缘自由释 放。在仅考虑电场力的情况下，该点电荷运动到中心 对称面OO’的时间为多少？ O
>0 F qE xq 0 q T 质点作谐振动 t d x 4 O’ xq ma mx '' 0 0 m 2 2 x '' qx 0 q T 2 0 m 0 m q
违背静电场的环路定理
a
b
E1 E2
d
c
即平行线必为均匀场, 该电场线不是静电场.
例1、 静电场电力线形状为以o点为中心的同心圆弧，
试确定每点E与该点离o点的距离r的关系。
解: 作图示扇形环路abcda, 0 0 E dl E dl E dl E dl E dl
解： (1) E1
qr qr ' 3 3 40 r 40 r '
q h
U 0
r r'
q
q
E 0
+
r' r
(2) E 2
q (r r') 3 40 r
q h a
q 40 (a h )
2 2 3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱˆ (2h )n
例3、有两个异号点电荷ne 和e（n>1），相距为a。其 电势为零的等势面是否一个球面？ 解: 设坐标原点在e处, 空间P点的电势为零 ne e Up 0 40 ( x a)2 y 2 z 2 40 x 2 y 2 z 2
解得 x a y 2 z 2 2 n 1 na 球的半径: n2 1 球心坐标: a , 0 , 2 n 1 (n>1 在e的外侧)
x l ( x l ) y
2 2
lim (
x l y 0
xl (x l) y
2 2
) 1
2l a2 l 2
对（2）求极限
lim
x l y 0
x l ( x l )2 y 2
2l a2 l 2
lim
x l y 0
( x l )
xl
x a i yj
y
P
P - O 2a +
x
xa x a E E E i 2 2 2 2 2 0 ( x a) y ( x a) y
1 1 yj 2 2 2 2 ( x a) y ( x a) y
b E dS
S 0
1 q 2d 3 2 0 2 0 ( a 2 2 ) 2
1 h 3a 2
aq
0
b
a d (a )
2 2 3 2
等效一对正负电荷，其电场线方程
xl (x l) y
2 2
x l ( x l ) y
a
2
q
D
P
O
P
+q
D
1 a ( ) 2 M 4 0 D r Dr a
q
三、静电场的电场力
F qE
dF dqE
q
0
q (1) 40 d 2
2
q
q ( 2) 0S
2
q (3) 2 0S
2
q E 2 0 2 0S
F qE
B球先击穿
EB max
QB 6 3 10 V / m 2 4 0 R2
（2） EB max
QB 6 3 10 V / m 2 4 0 R2
4
QB 3.3 10 C
1 4 QA QB 0.47 10 C 7
Q QA QB 3.7710 C
E x 0
例2、如图所示，在金属球内有两个空腔，此金属球体 上原来不带电。在两空腔内各放一点电荷q1、q2，求， 金属球上的电荷分布 。此外在金属球外远处放一点电 荷q（r>>R), 问q1、q2、q各受力多少？
1圆柱筒外任一点的电势2证明电势为u的等势面是半径为圆柱面其中3在xy平面内电场线的方程为2a电场强度的方向就是电场线的切线方向电场线的微分方程dxdy1静电场中的导体静电平衡等势体等势面导体内部各处净余电荷为零电荷只能分布在表面孤立导体自身带电情况导体形状外场的电荷分布而不带电的小导体球a试判断下列说法是否正确
A R R1 R B R2
解：设两球所带电量 QA、QB, 两内球壳电势相等
QA 1 QA QB QB QB 7 4 0 R1 4 0 R 4 0 R2 4 0 R
QA
E A max EB max
QA 2 4 0 R1
QB 2 4 0 R2
4 1 7
通过半径为R的坐标原点为球心的球面的电通量。
a( xi yj ) a a 0 E 2 ＝ 2r r 2 x y r r
z
0 r 2 0 r
2R
~E
o x
y
表明该电场具有轴对称分布
球面＝ 柱面＝ 柱侧面＝ E dS
S 柱侧面
a 2R(2 R) 4Ra R
静电屏蔽和接地 （1）该导体的电势为零； （2）该导体与大地间形成 了电荷移动的通道。 （保证该导体的电势为零）
++ + +
讨论： 将一个带电+q，半径为RB的大导体球B移近一 个半径为RA而不带电的小导体球A，试判断下列说法是 否正确？并说明理由。 （1）B球电势高于A球； （2）以无限远为电势零点，A球的电势UA<0
r
0 E
qh 2(a h )
2 2 3 2
r'
q
q' 2ada q q 3 2 2 2 0 0 (a h ) r r'
hada
习题5
E
aq 2 0 ( a )
2 2 3 2
终至在板上以OB为半径的圆内的电场线为总电场 线的一半
B
A
UA>U = 0
讨论：导体空腔，点电荷q1、q2 问题1：电荷如何分布？ 能否用高斯定理求电场强度？ q2 d 问题2： q1对外场有无影响？ -q’ q2对内场有无影响？
答： q1对外场有影响。 q2对内场无影响。 问题3：O点的电势为多少？
-q1 R2
q’
q1 O r R1
q1
q1 q1 q1 q2 U0 40 r 40 R1 40 R2 40 d
问题4：导体上的感应电荷对q1的作用力为多少？
Ei = 0 Fq F感 0
2
q1q 2 F 2 40 d r
方向:q1q2
例1（习题册P64 6）两导体球A、B．半径分别为R1 = 0.5 m，R2 =1.0 m，中间以导线连接，两球外分别包以内 半径为R =1.2 m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导 体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场 强为3×106 V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计 算： (1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值? (2) 击穿时两球所带的总电荷Q为多少？ (设导线本身不带电，且对电场无影响．)
电场强度的方向就是电场线的切线方向 电场线的微分方程 y y 2 2 dy E y ( x a) y ( x a) 2 y 2 xa xa dx E x 2 2 ( x a) y ( x a) 2 y 2
2 xy 2 2 2 x y a
二、静电场中的导体
4
2、静电场的唯一性定理: 在给定边界条件后，静电场的分布就唯一地确定了。 1) 给定每个导体上的总电量;
2) 给定每个导体的电势; 3) 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势;
导体的电势、总电荷等=边界条件
qin
-qin qin
球壳外仍为球对称场（边界条件没变）
镜像法
例2、点电荷放在一个水平的无限大接地金属板的上方h 处，试求板上方空间内的电场分布和板面上的电荷分布。
2
na 2 n 1
2
P
0
-a
0
例4、两个无限长均匀带电平行直线，相距为2a，线电
荷密度分别为，求：
（1）圆柱筒外任一点的电势，
2ka （2）证明电势为U的等势面是半径为 r 2 的 k 1 2 0U 圆柱面，其中 k e
（3）在x-y平面内，电场线的方程为
x 2 y 2 by a 2 0
+ -
E 2 0 r
2a
解：设O点电势为零，O-yz平面就是零电势面 x a i yj E 2 2 2 0 x a y
E
2 2 0 x a y 2
( x a) 2 y 2 ln 4 0 ( x a) 2 y 2
( x a) 2 y 2 U ln 40 ( x a)2 y 2
( x a) 2 y 2 令 k e 2 0U k2 ( x a) 2 y 2 2 2 2 k 1 2ka 2 整理化为 x 2 y 2 k 1 k 1
E dS E a S E b S 0 Ea Eb
a b c d
a b c d E dl E1 dl E dl E 2 dl E dl
E1l E2l E1 E2 l E1 E2 E dl 0
2 2
2l a l
2 2
(1)
dy E y dx E x
图1 电场线在q处与导体表面平行，即
( x l )
dy dx xl
2
y
2
3
( x l )
2
2
y
2
x l ( x l )2 y 2
2l a l
2 2
(2)
对（1）求极限
lim
x l y 0
l ab bc cd da
E1 ab ( E2 cd ) 0
E1 cd r2 r2 E2 ab r1 r1
a d r2
E1
E2 b c r1
Er const
a( xi yj ) 例2、已知电场强度为 E 2 2 ，式中a为常数，求 x y
2
y2
3
( x l )
2
2
y2 0
0 1
a 3l
例3、一点电荷带电量为+q，距一半径为a的导体球的球 心为D，把导体球接地，导体球对球外电场所起的作用 相当一等效点电荷，求： （1）此等效电荷的位置与电量； （2）球外在OM连线上一点的电势。
a O D M
解：设等效电荷q，在球面上q 、q产生的电势为零
电场线、等势面及静电场中的导体和电场力
一、电场线和等势面 方向—切向 E 大小—疏密
U
沿E方向电势降落 与E垂直，疏密反映E的大小
静电场的基本方程
qi E dS 0 E dl 0
问题(书 p94 1-44): 是否存在着这样的静电场线?
反证法：设静电场中存在此类电场线，则可作如图高斯 面及环路
1、静电场中的导体 静电平衡
Ei 0 E face导体表面
等势体，等势面 自身带电情况导体形状 外场的电荷分布 高 斯 定 理 电 荷 守 恒 定 律 静 电 平 衡 条 件 导体内部各处净余电荷为 零，电荷只能分布在表面
E face σ e / ε 0
孤立导体
+ + + +
1 r
U P E dl
o P
o E dl E dl
p' P P'
0 E dl Ex dx
p' P x
xa xa ( x a) 2 y 2 ( x a) 2 y 2 dx 2 0 x
q' q UP 0 4 0 (a D' ) 4 0 ( D a) q' q U P' 0 4 0 (a D' ) 4 0 ( D a)
a a D' , q' q D D q' q U 4 0 (r D' ) 4 0 ( D r )
例1：在两平行无限大平面内是电荷体密度>0的均匀 带电空间。有一m、q<0的点电荷在带电的边缘自由释 放。在仅考虑电场力的情况下，该点电荷运动到中心 对称面OO’的时间为多少？ O
>0 F qE xq 0 q T 质点作谐振动 t d x 4 O’ xq ma mx '' 0 0 m 2 2 x '' qx 0 q T 2 0 m 0 m q
违背静电场的环路定理
a
b
E1 E2
d
c
即平行线必为均匀场, 该电场线不是静电场.
例1、 静电场电力线形状为以o点为中心的同心圆弧，
试确定每点E与该点离o点的距离r的关系。
解: 作图示扇形环路abcda, 0 0 E dl E dl E dl E dl E dl
解： (1) E1
qr qr ' 3 3 40 r 40 r '
q h
U 0
r r'
q
q
E 0
+
r' r
(2) E 2
q (r r') 3 40 r
q h a
q 40 (a h )
2 2 3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱˆ (2h )n
例3、有两个异号点电荷ne 和e（n>1），相距为a。其 电势为零的等势面是否一个球面？ 解: 设坐标原点在e处, 空间P点的电势为零 ne e Up 0 40 ( x a)2 y 2 z 2 40 x 2 y 2 z 2
解得 x a y 2 z 2 2 n 1 na 球的半径: n2 1 球心坐标: a , 0 , 2 n 1 (n>1 在e的外侧)
x l ( x l ) y
2 2
lim (
x l y 0
xl (x l) y
2 2
) 1
2l a2 l 2
对（2）求极限
lim
x l y 0
x l ( x l )2 y 2
2l a2 l 2
lim
x l y 0
( x l )
xl
x a i yj
y
P
P - O 2a +
x
xa x a E E E i 2 2 2 2 2 0 ( x a) y ( x a) y
1 1 yj 2 2 2 2 ( x a) y ( x a) y
b E dS
S 0
1 q 2d 3 2 0 2 0 ( a 2 2 ) 2
1 h 3a 2
aq
0
b
a d (a )
2 2 3 2
等效一对正负电荷，其电场线方程
xl (x l) y
2 2
x l ( x l ) y
a
2
q
D
P
O
P
+q
D
1 a ( ) 2 M 4 0 D r Dr a
q
三、静电场的电场力
F qE
dF dqE
q
0
q (1) 40 d 2
2
q
q ( 2) 0S
2
q (3) 2 0S
2
q E 2 0 2 0S
F qE
B球先击穿
EB max
QB 6 3 10 V / m 2 4 0 R2
（2） EB max
QB 6 3 10 V / m 2 4 0 R2
4
QB 3.3 10 C
1 4 QA QB 0.47 10 C 7
Q QA QB 3.7710 C
E x 0
例2、如图所示，在金属球内有两个空腔，此金属球体 上原来不带电。在两空腔内各放一点电荷q1、q2，求， 金属球上的电荷分布 。此外在金属球外远处放一点电 荷q（r>>R), 问q1、q2、q各受力多少？
1圆柱筒外任一点的电势2证明电势为u的等势面是半径为圆柱面其中3在xy平面内电场线的方程为2a电场强度的方向就是电场线的切线方向电场线的微分方程dxdy1静电场中的导体静电平衡等势体等势面导体内部各处净余电荷为零电荷只能分布在表面孤立导体自身带电情况导体形状外场的电荷分布而不带电的小导体球a试判断下列说法是否正确
A R R1 R B R2
解：设两球所带电量 QA、QB, 两内球壳电势相等
QA 1 QA QB QB QB 7 4 0 R1 4 0 R 4 0 R2 4 0 R
QA
E A max EB max
QA 2 4 0 R1
QB 2 4 0 R2
4 1 7
通过半径为R的坐标原点为球心的球面的电通量。
a( xi yj ) a a 0 E 2 ＝ 2r r 2 x y r r
z
0 r 2 0 r
2R
~E
o x
y
表明该电场具有轴对称分布
球面＝ 柱面＝ 柱侧面＝ E dS
S 柱侧面
a 2R(2 R) 4Ra R
静电屏蔽和接地 （1）该导体的电势为零； （2）该导体与大地间形成 了电荷移动的通道。 （保证该导体的电势为零）
++ + +
讨论： 将一个带电+q，半径为RB的大导体球B移近一 个半径为RA而不带电的小导体球A，试判断下列说法是 否正确？并说明理由。 （1）B球电势高于A球； （2）以无限远为电势零点，A球的电势UA<0
r
0 E
qh 2(a h )
2 2 3 2
r'
q
q' 2ada q q 3 2 2 2 0 0 (a h ) r r'
hada
习题5
E
aq 2 0 ( a )
2 2 3 2
终至在板上以OB为半径的圆内的电场线为总电场 线的一半
B
A
UA>U = 0
讨论：导体空腔，点电荷q1、q2 问题1：电荷如何分布？ 能否用高斯定理求电场强度？ q2 d 问题2： q1对外场有无影响？ -q’ q2对内场有无影响？
答： q1对外场有影响。 q2对内场无影响。 问题3：O点的电势为多少？
-q1 R2
q’
q1 O r R1
q1
q1 q1 q1 q2 U0 40 r 40 R1 40 R2 40 d
问题4：导体上的感应电荷对q1的作用力为多少？
Ei = 0 Fq F感 0
2
q1q 2 F 2 40 d r
方向:q1q2
例1（习题册P64 6）两导体球A、B．半径分别为R1 = 0.5 m，R2 =1.0 m，中间以导线连接，两球外分别包以内 半径为R =1.2 m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导 体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场 强为3×106 V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计 算： (1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值? (2) 击穿时两球所带的总电荷Q为多少？ (设导线本身不带电，且对电场无影响．)
电场强度的方向就是电场线的切线方向 电场线的微分方程 y y 2 2 dy E y ( x a) y ( x a) 2 y 2 xa xa dx E x 2 2 ( x a) y ( x a) 2 y 2
2 xy 2 2 2 x y a
二、静电场中的导体
4
2、静电场的唯一性定理: 在给定边界条件后，静电场的分布就唯一地确定了。 1) 给定每个导体上的总电量;
2) 给定每个导体的电势; 3) 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势;
导体的电势、总电荷等=边界条件
qin
-qin qin
球壳外仍为球对称场（边界条件没变）
镜像法
例2、点电荷放在一个水平的无限大接地金属板的上方h 处，试求板上方空间内的电场分布和板面上的电荷分布。
2
na 2 n 1
2
P
0
-a
0
例4、两个无限长均匀带电平行直线，相距为2a，线电
荷密度分别为，求：
（1）圆柱筒外任一点的电势，
2ka （2）证明电势为U的等势面是半径为 r 2 的 k 1 2 0U 圆柱面，其中 k e
（3）在x-y平面内，电场线的方程为
x 2 y 2 by a 2 0
+ -
E 2 0 r
2a
解：设O点电势为零，O-yz平面就是零电势面 x a i yj E 2 2 2 0 x a y
E
2 2 0 x a y 2