高三数学第四章《三角函数》题目汇编及详解

普通高等学校招生全国统一考试数学 第四章《三角函数》题目汇编及详解

一、选择题（共21题）

1.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量

,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移：平移后的图象如图所示：则平移后的图象

所对应函数的解析式是 A ．sin()6

y x π

=+ B ．sin()6

y x π

=-

C ．sin(2)3y x π=+

D ．sin(2)3

y x π

=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移：平移后的图象所对应的解析式

为sin ()6

y x π

ω=+

：由图象知：73(

)1262

πππω+=：所以2ω=：因此选C 。 2.（安徽卷）设0a >：对于函数()sin (0)sin x a

f x x x

π+=

<<：下列结论正确的是

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈：则函数()sin (0)sin x a

f x x x

π+=

<<的值域为函数

1,(0,1]a y t t =+∈的值域：又0a >：所以1,(0,1]a

y t t

=+∈是一个减函减：故选B 。

3.（北京卷）函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称

（D ）关于直线x =

2

π

对称 解：函数y =1+cos 是偶函数：故选B 4.（福建卷）已知α∈(

2π,π)：sin α=53,则tan(4

π

α+)等于

A.

71 B.7 C.－ 7

1

D.－7 解：由3(,),sin ,25παπα∈=则3tan 4α=-：tan()4πα+=

1tan 1

1tan 7

αα+=-：选A. 5.（福建卷）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,

4

π

]上的最小值是－2：则ϖ的最小值等

于

A.

32 B.2

3

C.2

D.3 解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦上的最小值是2-：则ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

： ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥：∴ ω的最小值等于32：选B. 6.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2

sin 23

A =

：则sin cos A A +=

B ．．53 D ．53-

解：由sin2A ＝2sinAcosA >0：可知A 这锐角：所以sinA ＋cosA >0：又

25

(sin cos )1sin 23

A A A +=+=

：故选A 7.（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心：若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值

4

π

：则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.

2π D . 4

π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心：若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值

4

π

：∴ 最小正周期为π：选B. 8.（江苏卷）已知R a ∈：函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数：则a ＝

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性：三角函数sin x 的奇偶性的判断：本题是一道送分的概念题

【正确解答】解法1由题意可知：()()f x f x =--得a=0

解法2：函数的定义域为R ,又f (x )为奇函数,故其图象必过原点即f (0)=0,所以得a =0, 解法3由f (x )是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A

【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提

条件是函数的定义域必须关于原点对称.

若函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.

9（江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(2π

的图像：只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所

有的点 （A ）向左平移6π个单位长度：再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度：再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6

π

个单位长度：再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移

6

π

个单位长度：再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换：这是一道平时训练的比较多的一种类型。 【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6

π

个单位长度： 得到函数2sin(),6

y x x R π

=+

∈的图象：再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵

坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(

2π

的图像：选择C 。 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ （1）．y=Asinx ：x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的

（2）函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象：可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变）

（3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)：x ∈R (其中ϕ≠0)的图象：可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减