对勾函数研究学习论文

用几何做图方法画出函数y=x+1/x和y=x+3/x的图像。

从函数图像上，观察得到函数的单调性、对称性，以及函数大致的值域和定义域。

为了获取函数精确的值域和定义域，我们使用了基本不等式的相关知识。

以y=x+1/x为例，其单调性为：[-1,0）和（0,1]区间上，函数是递减的；在（-∞，-1）和（1，+∞）区间上，函数是递减的
对称性：该函数图像是以原点为对称中性的中心对称图形。

值域：（-∞，-2]∪[2，+∞]
定义域：（-∞，0）∪（0,+∞）。

在掌握函数在特殊取值情况下的一般性质之后，我们从互联网上搜索到关于函数y=ax+b/x的相关内容。

我们了解到y=ax+b/x这样的函数叫对号函数，别名耐克函数，图像为：
五，课题研究结果
y=ax+b/x性质的总结。

（主要为a＞0，b＞0时的性质）
定义域（-∞，0）∪（0，+∞）
值域（-∞，-2「ab]∪[2「ab，+∞）
对称性关于原点O对称
单调性：①（0，「b/a」∪（-「b/a，0），函数
是递减的
②（-∞，-「b/a）∪（+「b/a，+∞），
函数递增的
最值① x＜0，当x=-「b/a时，ymax=-2「ab
② x＞0，当x=「b/a,ymin=2「ab
从特殊性推广到一般性。

我们参照从网上得到的信息总结了以下表格中的部分性质。

特殊性质：
①对号函数是双曲线旋转得到的。

同双线一样也有渐近线，顶点等。

（以y=x+1/x为例：其方程为rsinα＝rcosα+1/rcosα,逆时针旋转22.5度后为rsin(α-π/8)＝rcos(α-π/8)+1/rcos(α-π/8),化简即得，其实半轴平方为2^1/2+2,虚半轴平方为2^1/2-2，离心率平方为4-2^1/2）
基于对号函数的以上性质，它常用于研究函数的最值和恒成立问题。

例如：对于函数f（x）=12/x+3x的x＜0时最大值，x＞0时最小值可轻易由对号函数的性质可以知道x＜0时，ymax=-6。

x＞0时ymin=6.当然这只是在数学中的简单而又基本的应用，稍复杂的应用会在与求含两个变量的最值如已知正数x,y满足8/x+1/y=1，求x+2y的最小值。

运用对号函数的以上性质，在解决数学问题时会很简单。

在解决生产科研和日常生活的问题上，对号函数也可为是功劳不小。

例如：①某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。

求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（1）设该厂应每隔x太难购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x+6(x-1)+…+6*2=6*1]=9x（x+1）。

设平均每天所支付的总费用为y元，则
y=1/x[9x(x+1)+900]+6*1800=900/x
+9x+10809利用对号函数的性质可知当x=10时，取得最小值10989.即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能是平均每天所支付的总费用最少。

在解决该试剂问题时，无非是建立对号函数模型，然后再利用函数性质解决。

再如：
②经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v
（千米/小时）之间有函数关系：y=920v/v²+3v=1600（v＞0）
⑴在该时段时，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
⑵为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
解决问题思路，大同小异。

六，对勾函数在数学中的应用
在求函数的最值或值域时，有些函数不能用均值不等式，主要是由于等号不成立，而用单调性又难以判断与证明。

掌握对号函数的性质，使这类题目在解题中显得简便而准确。

函数x
b ax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a b x b ax 2≥+（当且仅当x b ax =即a b x =时取等号），由此可得函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质: 当a
b x =时，函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。

函数x b ax y +
=（a>0,b>0）在区间（0，a b ）上是减函数，在区间（a
b ，+∞）上是增函数。

因为函数x b ax y +
=（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质： 当a
b x -=时，函数x b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。

函数x b ax y +
=（a>0,b>0）在区间（-∞，-a b ）上是增函数，在区间（-a
b ，0）上是减函数。

利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：
1、求函数324
222++++=x x x x y 的最小值。

解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x t
t
t t t y 112+=+= 根据对号函数t
t y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值2
23。

此时x=-1. 2、求函数),(sin 2sin Z k k x x
x y ∈≠+
=π的单调区间，并求当),0(π∈x 时函数的最小值。

解：令t=sinx,对号函数t t y 2+
=在（0，2）上是减函数，故当]2
,0(π∈x 时sinx 是增函数，所以x x y sin 2sin +=在]2,0(π上是减函数。

同理，x
x y sin 2sin +=在),2(ππ上是增函数，由于函数x
x y sin 2sin +=是奇函数，所以函数x x y sin 2sin +=在)0,2(π-上是减函数，在)2
,(ππ--上是增函数，由周期性，函数x x y sin 2sin +=在每一个区间))(2,2
2(Z k k k ∈-πππ上是减函数，在每一个区间))(22,2(Z k k k ∈+πππ上是减函数；函数x
x y sin 2sin +=在每一个区间))(2,22(Z k k k ∈++ππππ上是增函数，在每一个区间))(232,2(Z k k k ∈++ππππ上是增函数。

当),0(π∈x 时]1,0(∈t ，当t=1时即2π=
x 时y 有最小值3。

3、求函数x
x y 32+=的单调区间，并用函数单调性定义证明之。

解：利用对号函数性质，容易得出函数x
x y 32+=的单调递增区间是 （-∞，-26），（26，+∞），函数的单调递减区间是（-2
6，0）， （0，26）。

下面只证明在区间上（0，2
6）是减函数的情形： 设任意的∈21,x x （0，
26）,且21x x <，)32(32)()(221121x x x x x f x f +-+=-
=)(3)(22
11221x x x x x x -+-=)32)(()32)((2121212121x x x x x x x x x x --=-- 因为∈21,x x （0，
26）,且21x x <，所以032,02121<-<-x x x x 0)32)((2
12121>--x x x x x x 即f(x 1)-f(x 2)>0
所以f(x 1)>f(x 2)，f(x) 在区间上（0，
26）是减函数. 4、与不等式的结合
（1）基本不等式
前提条件是：0,0>>b a
取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证.
练习1已知0<x ，则x
x 123+取最 值为 练习2若2log log 33=+n m ，则n m +的最小值为
练习3：已知关于x 的不等式722≥-+
a x x ),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的取值范 练习4函数91
9)(22+++=x x x f 的最小值为
练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则
b a 121+的最小值为 练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围
练习7已知不等式（x y +）1a x y
+（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为
练习8.若320<<x ，则x
x 3213-+的最小值为 练习9.若21<<x ，则x
x -+-2111的最小值为 （2）对勾函数b y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质：
1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4.图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b y ax x =+≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=
a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：
当x<0时，)(x f 在x=a
b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（∞+,a b ），（a
b -∞-,） 减区间是（0，
a b ），（a b -,0） 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x
=+
)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数x
b x a y )()(-+-=关于y 轴对称， 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(<ab 类型三：函数)0()(2>++=a
c x
c bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++
=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c ax y +=上下平移得到 例1作函数x
x x x f 1)(2++=的草图 解：11)(1)(2++=⇒++=x
x x f x x x x f 作图如下：
类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x a x x f 此类函数可变形为k k
x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x a x y +=左右平移，上下平移得到
例2作函数2
1)(-+=x x x f 的草图 解：22
12)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=2
3)(的作图： 解：12
12211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f
练习： 1.求函数4
21)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标 类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x ax x f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a x
b x a x f +=+=2)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数x
b x y +=的单调性相反，图像如下：
性质：
1．定义域：),(+∞-∞
2. 值域：]21
,21
[b a b a ⋅⋅-
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
a x
b x a x f 22)(=
⋅
≤
（当且仅当b x =取
等号），
即)(x f 在b x =时，取最大值b
a 2
由奇函数性质知：
当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值b
a 2-
5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）
增区间是],[b b -
例1作函数4
2)(2
+-
=x x
x f 的草图 类型六：函数)0()(2≠+++=
a m
x c
bx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=
at s m
x t
m x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数x
t
ax y +
=左右平移，上下平移得到 例1说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1
+=如何变换而来
解： 11
1
111)1()1()(2-+++=+++-+=
x x x x x x f 故 此函数)(x f 可由对勾函数x
x y 1
+
=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：
练习：1.已知1->x ，求函数1
107)(2+++=x x x x f 的最小值
类型七：函数)0()(2
≠+++=
a c
bx ax m
x x f
例2求函数2
1
)(2
++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时，3
1411
1
4
)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=
-+-+-=+-+--=
x x x x x x x x x f 问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 类型八：函数a
x b x x f ++=
)(
此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
例9求函数1
3)(-+=x x x f 的最小值
解： 1
411
41)(-+
-=-+-=
x x x x x f
练习： 1．求函数1
5)(++=x x x f 的值域
2.求函数3
2
)(++=
x x x f 的值域 类型九：函数)0()(2
2>++=
a a
x b x x f
此类函数可变形为标准形式：
)()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
例10求函数4
5)(2
2++=
x x x f 的最小值
解：4
5)(2
2++=x x x f 4
144
14)(2
22
2++
+=+++=
⇒x x x x x f
七，研究体会
通过这次数学研究学习，我们深深体会到数学正是无处不在，不敢想象如果没有
数学，我们的世界会是什么样子。

团队的合作精神得到提升，历练了我们每个人发现、解决问题的能力；于此同时，也培养了良好的沟通表达能力。

总而言之，此次研究性学习的成功，是团队合作的成果。

八，参考文献
任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方教育出版社 2011
韦民《与名师对话》北京：大众文艺出版社 2008
严军马传渔《冲刺金牌高中数学奥林匹克竞赛教程》吉林：吉林教育出版社 2007。