(完整版)七年级因式分解

【因式分解】讲义 知识点1：分解因式的定义
1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
①8)3)(3(892
+-+=+-x x x x （ ） ② )49)(49(492
2
y x y x y x -+=- （ ）
③ 9)3)(3(2
-=-+x x x （ ） ④ )2(22
2
y x xy xy xy y x -=+- （ ） 知识点2：公因式
公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：
（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式；
例如：1、的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________
2、多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是
3、3
4
2
)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________
知识点3：用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成
几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：1、可以直接提公因式的类型：
（1）3
442231269b a b a b a +-=_______________ （2）1
1n n n a
a a +--+=____________
（3）5
4
2
)()()(b a b a y b a x -+---=_____________
（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧
⎨⎩
，求代数式()()()
22332x y x y x x y +-++的值 2、式子的第一项为负号的类型：
（1）①3
3222864y x y x y x -+- =_____________
②2
43)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=
（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用
到平方差公式时）
如：2
2188y x +-=
1、多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是
2、分解因式－5(y －x)3
－10y(y －x)3
3、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的
因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。

（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次
里面的字母的位置，如：）（）（）（）（1-x -y x -y x -y -x -y )(-)(5
5656==--x y y x
例：( 1)（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）（2）（a+b －c ）（a －b+c ）+（b －a+c ）·（b －a －c ）
（3）a a b a b a a b b a ()()()-+---322
22
1、把多项式m 2
(a-2)+m(2-a)分解因式等于 2、多项式)3()3(3
y x y x ---的分解因式结果 3、分解因式：（1）)(()()(y x x y n y x m -=-+- ) （2）－6(x －y)4
－3y(y －x)5
知识点4、公式法分解因式
公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做公式法。

一、平方差公式分解因式法
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。

即a 2
-b 2
=(a+b)(a-b)
例如：1、判断能否用平方差公式的类型
（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A 、-a 2
+b 2
B 、-x 2
-y 2
C 、49x 2y 2
-z 2
D 、16m 4
-25n 2p 2
（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）
A ． 22y x +
B ．22y x --
C ．2
2xy x - D ．21y -
2、直接用平方差的类型： 2
2916y x - 1252
+-x
14-x
3、整体的类型： 22)(n n m -+ 2
2)32()(y x y x -++-
4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型 m 3
—4m
= ． =-a a 3
．
练习：将下列各式分解因式
100x 2
－81y 2
9(a －
(
)
2
2
2
41x x -+
b)2－(x －y)2
；
5a a - x x 93+- )()(3n m n m --- 3)2(4)2(y x y x ---
二、完全平方式分解因式法
完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的
和（或差）的平方。

即 a 2
+2ab+b 2
=(a+b)2
; a 2
-2ab+b 2
=(a-b)2
特点：（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解 如：下列多项式能分解因式的是（ ）
A ．y x -2
B ．22y x +
C ．y y x ++22
D ．962
+-x x
2、关于求式子中的未知数的问题
如：1、若多项式162
++kx x 是完全平方式，则k 的值为
2．若k x x +-692
是关于x 的完全平方式，则k=
3. 若49)3(22
+-+x m x 是关于x 的完全平方式则m=__________
3、直接用完全平方公式分解因式的类型
2
816x x ++； 2
2
4129x xy y -+-； 2
24
x xy y ++；
2244
93
m mn n ++
4、整体用完全平方式的类型
(x －2)2
＋12(x －2)＋36； 2
)()(69b a b a ++++
5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型
-4x 3
+16x 2-16x ； 2
1ax 2y 2
+2axy+2a
已知：2,1=-=y x ab ，求xyab aby abx 6332
2
-+的值
练习：分解因式
（1）442
+-x x （2） 64162
2
++ax x a （3） 4
2
2
4
168b b a a +-
（4）49)(14)(2++-+y x y x （5）
2
)()(69b a b a ++++
（6）
（7）2
1
222++x x
知识点5、十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a ）（x+b ） =ab x b a x +++)(2
，用来把某些多项式分解因
式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

1、 二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式—))(()(2
b x a x ab x b a x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例题讲解1、分解因式：652
++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5
1 2
解：652
++x x =32)32(2
⨯+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672
+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2
--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习
分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542
-+x x
(4)22-+x x (5)1522
--y y (6)24102
--x x
2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
22312123xy y x x +-
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++ 例题讲解1、分解因式：101132
+-x x
分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132
+-x x =)53)(2(--x x
分解因式：（1）6752-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102
+-x x （4）101162
++-y y
3、二次项系数为1的齐次多项式
例题讲解、分解因式：2
21288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
解：2
21288b ab a --=)16(8)]16(8[2
b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+
分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)2
26b ab a --
4、二次项系数不为1的齐次多项式
例题讲解 2
2
672y xy x +- 232
2
+-xy y x
1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy
分解因式：（1）2
2
4715y xy x -+ （2）862
2+-ax x a
如: 分解因式：1072
+-x x 3522
--x x a
2
+6ab +5b 2
x 2
+5x+6 x 2
-5x+6 x 2
-5x-6 练习题：
x 2
+7x+12 x 2
-8x+12 x 2
-x-12 x 2
+4x-12
y 2
+23y+22 x 2
-8x-20 x 2
+9xy-36 y 2
x 2
+5x-6
知识点6、分组的方法分解因式
如：
练习题：
m m m 20544
3--+144224-++-x y x
（1）222449c bc b a -+- （2）12432
3--+x x x （3）22962y y x x --+
（4）4492
2
---y y x （5）4222
-+-y xy xy
小结：因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。

“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式或立方和、立方差公式，三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。