2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题43排列与组合(教学案)含解析

1．理解排列、组合的概念

2．理解排列数公式、组合数公式

3．能利用公式解决一些简单的实际问题

热点题型一排列问题

例1、（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种

【答案】B

【解析】法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320种安排方式。

法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A66种排法，故共有A33A66＝4 320种安排方式。

热点题型二组合问题

例2、【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】1080

【解析】

【变式探究】从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。

(1)A，B必须当选；

(2)A，B必不当选；

(3)A，B不全当选；

(4)至少有2名女生当选。

【提分秘籍】

两类组合问题的解决方法

(1)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。

(2)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。

【举一反三】从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有()

A．35 B．70 C．80 D．140

【答案】B

【解析】分3步来计算：①从9人中，任取3人进行视力检测，分析可得，这是组合问题，共C39＝84种情况；

②选出的3人都为男生时，有C35＝10种情况，选出的3人都为女生时，有C34＝4种情况；③根据排除法，可得符合题意的选法共84－10－4＝70种。学……&科网

热点题型三排列与组合的综合问题

例3．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止。

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

【解析】(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和

【提分秘籍】

解答排列与组合的综合问题应注意“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑。

【举一反三】

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为()

A．360 B．520 C．600 D．720

【答案】C

【解析】若甲乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种。

热点题型四分组分配问题

例4、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本。

【解析】(1)无序不均匀分组问题。先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；

【提分秘籍】

分组分配问题的解题方法

(1)相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”。

(2)不同元素的“分配”问题，利用分步计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放。

(3)限制条件的分配问题采用分类法分解。

【举一反三】

有10个相同的小球，分给甲、乙、丙三个人，每人至少一个小球，有________种不同的分法。

【解析】如下图：

○○|○○○○|○○○○

要想把10个小球分成三堆，需在这10个小球产生的9个空档处插入两个隔板，就分成三堆了，

∴共有C29＝36种分法。

【答案】36

1.（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________

个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

1.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

【答案】D

2.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】1080

【解析】

1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，

⨯=，故选B.

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318

2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24 （B）48 （C）60 （D）72

【答案】D

A种排法，所【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有4

4