李委明数量关系讲义

售额是乙和丙销售额的 1.5 倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的 5 倍，已知乙的销售额是 56
万元，问甲的销售额是：（ ）
A. 140 万元
B. 144 万元
C. 98 万元
D. 112 万元
● 题型三：比例倍数
核心提示
若 a : b m : n (m, n互质) ，则说明 a 占 m 份，是 m 的倍数；b 占 n 份，是 n 的倍数；
浓度的多少倍？（ ）
A. 3/2
B. 4/3
C. 6/5
D. 7/6
核心提示 使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不行？
总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这 样的量一般需要满足两个条件：
1. 首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小； 2. 其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。 上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速 度为 1，那么就必须依次满足两个条件： 1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小； 2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可
【示例】∵7394 奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是
11 的倍数 ∴7394 不能被 11 整除
三、例题精析
● 题型一：直接倍数
【例 1】（上海 2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中 1/4 是 2007 年以前的国内外 发行的邮票，1/8 是 2008 年国内发行的，1/19 是 2009 年国内发行的，此外尚有不足 100 张 的国外邮票。则该人共有（ ）张邮票。
且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（ ）岁。
A. 17
B. 20
C. 22
D. 34
【例 2】（浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子
共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。柚子占水果总数的 1/4。一共运来水果多少吨？( )
A. 56 吨B. 6Fra bibliotek 吨A. 87
B. 127
C. 152
D. 239
【例 2】（2011 年 424 联考-43）某单位招录了 10 名新员工，按其应聘成绩排名 1 到
10，并用 10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们 的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（ ）
【示例】∵362 末一位“2”的 2 倍与“36”差“32”不能被 7 整除 ∴362 不能被 7 整除
【示例】∵12047 末三位“047”与“12”差“35”能被 7 整除
∴12047 能被 7 整除
④11 整除判定基本法则
1. 一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数；
1. 一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字和能被 3 整除；
2. 一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除。
③7 整除判定基本法则
1. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为 7 的倍数；
2. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为 7 的倍数。
二、破题密钥
“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果， 还可以与其它方法进行结合使用。
三、例题精析
【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而
每千克 20 元、30 元、60 元。如果购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是
A.30 元
B.35 元
C.40 元
D.60 元
【例 3】（河北 2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了 30%的利润。
1 个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台电视机，
D. 40
【例 6】（2012 年 915 联考－49）甲、乙两种商品的价格比是 3∶5，如果它们的价格分
别下降 50 元，它们的价格比是 4∶7，这两种商品原来的价格各为（ ）。
A. 300 元 500 元
B. 375 元 625 元
C. 450 元 750 元
D. 525 元 875 元
第 03 讲 化归为一
一、题型评述
如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果 的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计 算。这种方法又被为“设 1 法”或者“设 1 思想”。
我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问 题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。
1/3，乙花的钱的 3/4 等于丙花的钱的 4/7，结果丙比甲多花 93 元，则三人一共花的钱是
（ ）？
A. 432 元
B. 422 元
C. 429 元
D. 430 元
【例 5】（浙江 2013-57）一个总额为 100 万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来
完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为 1/2:1/3:1/4:1/6，请问甲分到的项目额为多少
二、破题密钥
在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”， 从而避免分数，简化计算。
三、例题精析
【例 1】（重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的 2
倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯
C. 80 吨
D. 120 吨
【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，
则 A 的最大值是
A. 927
B. 928
C. 929
D. 990
【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓
库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的
以计算出速度具体大小的。 当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为 1 或者其他数字，就不 会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和 总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为 1，或者假设总价为 1，但不能同时做 这两件事情。
【例 2】（江苏 2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为
a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍数；a-b 占 m-n 份，是 m-n 的倍数。
【例 5】（广州 2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人，美术和
舞蹈专业的学生比例为 2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为 3∶4,则学生人数最多的专业有
多少人？
A. 25
B. 30
C. 35
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18
● 题型二：因子倍数
【例 3】（北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工
厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？
A. 400
B. 420
C. 440
D. 460
【例 4】（2012 年 421 联考－61）某公司三名销售人员 2011 年的销售业绩如下：甲的销
数学运算
第 01 讲 直接代入
一、题型评述
数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准 确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当 容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题 时最大的误区之一。
A. 4∶9
B. 5∶9
C. 4∶7
D. 5∶7
第 04 讲 比例假设
一、题型评述
我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方 便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。
然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意 假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。
集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。问甲仓
库原来有多少个集装箱？
A. 33
B. 36
C. 60
D. 63
【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把
小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假
万？( )
A. 35 万
后的公司中拥有多少比例的股份？（ ）
A. 9%
B. 10%
C. 11%
D. 12%
【例 5】（广州 2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。
经对比发现，2 月份的居民满意度是 85 分，比 1 月份上升了 20%，3 月份的居民满意度又比
2 月份下降了 20%。则 3 月份的居民满意度和 1 月份相比（ ）。
二、破题密钥
①2、4、8 整除及余数判定基本法则
1. 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被 2（或 5）整除；
2. 一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除；
3. 一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除。
②3、9 整除及余数判定基本法则
后来小王又以最初的收购价格将其卖出。问小王在这台电视机交易中的利润率为（
）。
A. 13%
B. 17%
C. 20%
D. 27%
【例 4】（新疆 2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司 30%股份的陈先生在
合并后持有新公司股份的 12%，赵先生拥有甲公司 15%的股份和乙公司 5%的股份，他在合并
A. 两个月持平
B. 3 月份比 1 月份高 4%
C. 1 月份比 3 月份高 4%
D. 3 月份比 1 月份低 4%
【例 6】（贵州 2012－40）某调查队男、女队员的人数比是 3∶2，分别为甲、乙、丙三
个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是 10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是 3∶
1，乙组中男、女队员的人数比是 5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（ ）。
辆、中型车 15 元/辆、小型车 10 元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是 5∶
6，中型车与小型车的数量比是 4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多 270 元，这天的
收费总额是（ ）。
A. 7280 元
B. 7290 元
C. 7300 元
D. 7350 元
【例 4】(江苏 2013B-87)甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的 1/2 等于乙花的钱的
大型车30辆中型车15元辆小型车106中型车与小型车的数量比是411小型车的通行费总数比大型车的多270元这天的收费总额是江苏2013b87甲乙丙三人同去商城购物甲花的钱的1247结果丙比甲多花935浙江201357一个总额为100万的项目分给甲乙丙丁四个公司共同来完成甲乙丙丁分到项目额的比例为工程问题一题型评述工程问题研究工作量和工作时间工作效率之间的关系是近年来考题中最重要最常考的重点题型之一
二、破题密钥
尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后 看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。
三、例题精析
【例 1】（广东 2012－8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝
每小时为 52 名男员工 35 名女员工量体。几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还 有 24 名男员工没有量体。若男女员工的比例为 11:7，则该企业共有多少名员工？（ ）
A. 720
B. 810
C. 900
D. 1080
【例 2】（北京 2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的 40%，现商场决定 将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了 54 元。问该商品原来的售价是多少元？
A. 324
B. 270
C. 135
D. 378
【例 3】（上海 2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车 30 元/
山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的
1/3，第三次是第二次的 2 倍。问三个假山的体积之比是（
）。
A. 1∶3∶5
B. 1∶4∶9
C. 3∶6∶7
D. 6∶7∶8
第 02 讲 倍数特性
一、题型评述
“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种 方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要 点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。