2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷(学生版+解析版)

2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分） 1．（2分）5-的绝对值为( ) A ．5-
B ．5
C ．1
5-
D ．15
2．（2分）据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为( ) A ．51.64310⨯
B ．616.4310⨯
C ．316.4310⨯
D ．61.64310⨯
3．（2分）如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（2分）以下调查中，最适合采用全面调查的是( ) A ．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数
B ．调查全国中学生的平均身高
C ．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量
D ．检测某城市的空气质量
5．（2分）方程组422x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是( )
A ．2
2x y =⎧⎨=-⎩
B ．4
0x y =⎧⎨=⎩
C ．2
2x y =-⎧⎨=⎩
D ．3
1x y =⎧⎨=-⎩
6．（2分）如图，//AB CD ，点E 是CD 上一点，点F 是AB 上一点，EG 是FED ∠的平分
线，交直线AB 于点G ．若66GFE ∠=︒，则EGF ∠的大小为( )
A ．47︒
B ．57︒
C ．66︒
D ．67︒
7．（2分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是( ) A ．
2
3
B ．
12 C ．13
D ．18
8．（2分）一次函数y ax a =+与反比例函数(0)a
y a x
-=≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（2分）已知关于x 的一元二次方程：2260x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为
( )
A ．3
B ．6±
C ．6
D ．3±
10．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是( ) A ．(1,2)-
B ．(2,2)--
C ．(1,1)-
D ．(2,2)
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）因式分解：216ab a -= ．
12．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如表所示，如果从这四位同学
中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选 去．
甲 乙 丙 丁 平均分/分 86 90 90 85 方 差
24
36
42
38
13．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，且AF CF ⊥，若6AC =，1EF =，则AB = ．
14．（3分）星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以a 米/分钟的速度匀速到达超市，再以b 米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线OAB 反映了小明从家步行到
图书馆所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，a b
的值为 ．
15．（3分）如图，半径为6的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，重足分别为点D ，E ．若40CED ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）如图1，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边中点，点P 是对角线AC 上一动点，连
接PD ，PE ，设PC x =，PD PE y +=，y 关于x 的全部函数图象如图2所示，其中点N 是图象上的最低点，则点N 的纵坐标为 ．
三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分） 17．（6分）计算：0|13|3tan 3012(2021)π-+︒-+-．
18．（8分）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，点E 在BCD ∆内部，连接BE ，CE ，BCE DBE ∠=∠，求BEC ∠的度数．
19．（8分）在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率． 四、（20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校即将举行校园艺术节活动，拟定了A ，B ，C ，D 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成A 活动方案的人数为 人；扇形统计图中赞成D 活动方案所在扇形的圆心角的度数为 ︒；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成B 活动方案的学生共有多少人．
21．（8分）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同． （1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工 天． 五、（本题10分）
22．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC ，BC 于点D ，
E ，点
F 在AC 的延长线上，连接BF ，2BAC CBF ∠=∠．
（1）求证：直线BF 是O 的切线； （2）若3OA CF ==，求BCF ∆的面积．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线26y x =+与x 轴交于点A ，直线23y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与直线26y x =+交于点D ． （1）求点D 的坐标；
（2）将BOC ∆沿x 轴向左平移，平移后点B 的对应点为点E ．点O 的对应点为点F ，点C 的对应点为点G ，当点F 到达点A 时，停止平移，设平移的距离为t ． ①当点G 在直线26y x =+上时，求DCG ∆的面积；
②当EFG ∆与四边形AOCD 重合部分的面积为2时，请直接写出t 的值．
七、（本题12分）
24．（12分）ABC ∆为等边三角形，8AB =，AD BC ⊥于点D ，点E 为线段AD 上一点，23AE =．以AE 为边作等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．
（1）如图1，当点E 和点F 在直线AC 两侧时，EF 与AC 交于点M ，连接MN ， ①求证：ME MF =； ②求线段MN 的长；
（2）将图1中的AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，点M 为线段EF 的中点，连接BE ，MN ，DM ，
①如图2，当90α=︒时，请直接写出
DM
BE
的值； ②连接BN ，在AEF ∆绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出tan DAN ∠的值．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线2
2615
y x bx =
+-与y 轴交于点A ，
与x 轴正半轴交于点(103B ，0)，点C 在线段OB 上，连接AC ，过点B 作//BE AC 交y 轴于点E ，点M ，N 在线段BE
上，且点M 在点B ，N 之间，:2:3BM EN =，点P ，Q 分别是线段AC ，MN 上的动点，当点P 从点A 匀速运动到点C 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，设QN m =，PA n =，
已知6
125n m =-+．
（1）求抛物线的对称轴； （2）求线段AC 和BE 的长；
（3）连接AB ，当直线PQ 经过AOB ∆的一个顶点时，请直接写出直线PQ 与抛物线对称轴交点的纵坐标．
2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分） 1．（2分）5-的绝对值为( ) A ．5-
B ．5
C ．1
5-
D ．15
【解答】解：5-的绝对值为5， 故选：B ．
2．（2分）据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为( ) A ．51.64310⨯
B ．616.4310⨯
C ．316.4310⨯
D ．61.64310⨯
【解答】解：61643000 1.64310=⨯． 故选：D ．
3．（2分）如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形． 故选：C ．
4．（2分）以下调查中，最适合采用全面调查的是( ) A ．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数
B ．调查全国中学生的平均身高
C．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量
D．检测某城市的空气质量
【解答】解：A、调查某城市居民2月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查全国中学生的平均身高，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量，适合普查，故本选项符合题意；
D、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（2分）方程组
4
22
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是()
A．
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
B．
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
D．
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【解答】解：
4
22
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①+②得：36
x=，
2
x
∴=，
∴将2
x=代入①得：2
y=-，
故选：A．
6．（2分）如图，//
AB CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，EG是FED
∠的平分线，交直线AB于点G．若66
GFE
∠=︒，则EGF
∠的大小为()
A．47︒B．57︒C．66︒D．67︒
【解答】解：//
AB CD，66
GFE
∠=︒，
114
FED
∴∠=︒，
EG是FED
∠的平分线，
57
GED
∴∠=︒，
57
EGF
∴∠=︒．
故选：B ．
7．（2分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是( ) A ．
2
3
B ．
12 C ．13
D ．18
【解答】解：袋子中共有12个除颜色外其它都相同的球，其中红球有8个， ∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是
82123
=， 故选：A ．
8．（2分）一次函数y ax a =+与反比例函数(0)a
y a x
-=≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当0a >时，一次函数y ax a =+，经过一二三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当0a <时，一次函数y ax a =+，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限． 故选：A ．
9．（2分）已知关于x 的一元二次方程：2260x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为
( )
A ．3
B ．6±
C ．6
D ．3±
【解答】解：根据题意得△2(26)40k =--=， 解得6k =． 故选：C ．
10．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是( )
A ．(1,2)-
B ．(2,2)--
C ．(1,1)-
D ．(2,2)
【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为(2,2)--，
可设新抛物线的解析式为：2()y x h k =-+，
代入得：2(2)2y x =+-．
∴所得图象的解析式为：2(2)2y x =+-，
则点在平移后的图象上的是(2,2)--．
故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：216ab a -= (4)(4)a b b +- ．
【解答】解：2216(16)(4)(4)ab a a b a b b -=-=+-．
故答案为：(4)(4)a b b +-．
12．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选 乙 去．
甲 乙 丙 丁 平均分/分
86 90 90 85 方 差 24 36 42 38
【解答】解：由于乙同学的平均数较大，且方差较小，故选乙．
故答案为：乙．
13．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点F 是DE 上一点，连接AF ，CF ，且AF CF ⊥，若6AC =，1EF =，则AB = 8 ．
【解答】解：在Rt AFC ∆中，点D 是AC 的中点，6AC =， 116322
DF AC ∴==⨯=， 1EF =，
314DE DF EF ∴=+=+=，
点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，
DE ∴是ABC ∆的中位线，
2248AB DE ∴==⨯=，
故答案为：8．
14．（3分）星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以a 米/分钟的速度匀速到达超市，再以b 米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线OAB 反映了小明从家步行到图书馆所走的路程s （米)与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，a b
的值为 127
．
【解答】解：由函数图象得：9608120a =÷=（米/分钟），
(1800960)(208)70b =-÷-=（米/分钟），
∴12012707
a b ==． 故答案为：
127． 15．（3分）如图，半径为6的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，重足分别为点D ，E ．若40CED ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 5π ．
【解答】解：连接OC ，
90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥，
∴四边形CDOE 是矩形，
OD CE ∴=，DE OC =，
40DEC ∠=︒，
90904050DEO DEC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
在DOE ∆和CEO ∆中，
OD EC DE CO OE EO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()DOE CEO SSS ∴∆≅∆，
50COB DEO ∴∠=∠=︒，
∴图中阴影部分的面积=扇形OBC 的面积，
2
5065360
OBC S ππ⨯==扇形， ∴图中阴影部分的面积5π=，
故答案为5π．
16．（3分）如图1，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边中点，点P 是对角线AC 上一动点，连接PD ，PE ，设PC x =，PD PE y +=，y 关于x 的全部函数图象如图2所示，其中点N 是图象上的最低点，则点N 的纵坐标为 27 ．
【解答】解：由图象可知PC 最大值为8，即点P 与点A 重合时，8AC =，
此时36PE PD PE +==，
2AE ∴=，4AD =． 12
AD AC =， 30DCA ∴∠=︒，60CAD ∠=︒．
作点D 关于AC 对称点D '，连接ED '交AC 于点P ，连接DD '交AC 于点F ，作D G DA '⊥延长线于点G ，此时PE PD +取最小值，最小值为ED '的长度．
由对称可知DD '垂直于AC ，
DF AC ∴⊥，
sin 23DF AD CAD ∴=⋅∠=
43DD '∴=
9030D DG CAD '∠=︒-∠=︒，
cos306DG DD '∴=⋅︒=，sin3023D G DD ''=⋅︒=
4EG DG DE ∴=-=．
22161227ED EG D G ''∴=++
故答案为：27． 三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：0|13|3tan 3012(2021)π-+︒-+-．
【解答】解：原式3313231=-+⨯
-+ 313231=-+-+
0=． 18．（8分）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，点E 在BCD ∆内部，连接BE ，CE ，BCE DBE ∠=∠，求BEC ∠的度数．
【解答】解：四边形ABCD 是正方形，
45DBC ∴∠=︒．
BCE DBE ∠=∠，
BCE CBE DBE CBE DBC ∴∠+∠=∠+∠=∠，
45BCE CBE ∴∠+∠=︒，
18045135BEC ∴∠=︒-︒=︒．
19．（8分）在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率．
【解答】解：画树状图如下：
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有6种，
∴小明被选中进行主题演讲的概率为
61 122
=．
四、（20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校即将举行校园艺术节活动，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的人数为30人；扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为︒；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成B活动方案的学生共有多少人．
【解答】解：（1）4422%200
÷=（人)，
即抽取的学生一共有200人；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的有20015%30
⨯=（人)，
扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为：
10
36018
200
︒⨯=︒，
故答案为：30，18；
（3）由（2）知，选择A的有30人，补全的条形统计图如右图所示；
（4）
116
18001044
200
⨯=（人)，
估计赞成B活动方案的学生共有1044人．
21．（8分）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工 32 天．
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x 米，则甲工程队每天修路(50)x +米， 依题意，得：60030050x x
=+， 解得：50x =，
经检验，50x =是原方程的解，且符合题意，
50100x ∴+=．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙工程队施工m 天，则安排甲工程队施工
360050(360.5)100m m -=-天， 依题意，得：0.5 1.2(360.5)40m m +-，
解得：32m ．
即：至少安排乙工程队施工32天．
故答案是：32．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在AC 的延长线上，连接BF ，2BAC CBF ∠=∠．
（1）求证：直线BF 是O 的切线；
（2）若3OA CF ==，求BCF ∆的面积．
【解答】（1）证明：连接AE ，如图所示： AB 是O 的直径，
90AEB ∴∠=︒，
90BAE ABE ∴∠+∠=︒，
AB AC =，
2BAE CAB ∴∠=∠，
2BAC CBF ∠=∠，
BAE CBF ∴∠=∠，
90CBF ABE ∴∠+∠=︒，
即90ABF ∠=︒， AB 是O 的直径，
∴直线BF 是O 的切线；
（2）解：3OA CF ==，
26AC AB OA ∴===，9AF AC CF =+=， 13CF AF ∴=， 90ABF ∠=︒，
22229635BF AF AB ∴=-=-=，
BCF ∴∆的面积13ABF =∆的面积1111356353232
BF AB =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线26y x =+与x 轴交于点A ，直线23y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与直线26y x =+交于点D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）将BOC ∆沿x 轴向左平移，平移后点B 的对应点为点E ．点O 的对应点为点F ，点C 的对应点为点G ，当点F 到达点A 时，停止平移，设平移的距离为t ．
①当点G 在直线26y x =+上时，求DCG ∆的面积；
②当EFG ∆与四边形AOCD 重合部分的面积为2时，请直接写出t 的值．
【解答】解：（1）直线23y x =-+与直线26y x =+交于点D ，
由2623y x y x =+⎧⎨=-+⎩
，得 3492
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； ∴点D 的坐标为3(4-，9)2
； （2）当0x =时，2066y =⨯+=，2033y =-⨯+=；
当0y =时，260x +=，230x -+=；解得3x =-，32
x =； 点(0,0)O ，(3,0)A -，3(2
B ，0)，(0,3)
C ； 由平移的距离为t 知，点3(2
E t -，0)，点(,0)
F t -，点(,3)
G t -； ①当点G 在直线26y x =+上时，得32()6t =⨯-+，解得32
t =； ∴点G 坐标为3(2
-，3)；
32GC ∴=； 11399()(3)22228DGC D c S GC y y ∆=⋅-=⨯⨯-=； ②13932224
COB S ∆=⨯⨯=>； 当点G 在直线26y x =+上时，
32
FE OB FD ===， O ，E 重合，
GFE ∆完全在四边形AOCD 内，
此时94GFE COB S S ∆∆==
；即重合部分面积为94； 此时，32
t =， 1︒当32
t <时，GE 与y 轴交于M ， 此时EFG ∆与四边形AOCD 重合部分的为四边形GFOM ，面积为2．
即94
MOE GFOM S S ∆+=四边形， 9144
MOE GFOM S S ∆∴=-=四边形； 易证MOE GFE ∆∆∽
∴13
OE EF = 1132
OE EF ∴=⨯=； 即1t BO OE =-=；
2︒当32
t >时，GE 与26y x =+交于N ，GF 与26y x =+交于N ， 此时EFG ∆与四边形AOCD 重合部分的为四边形QFEN ，面积为2
此时14GNQ S ∆=； 设直线GE 解析式：2y x
b =-+；
把3(2
E t -，0)代入得2y x b =-+，解得32b t =-； 直线GE 解析式：232y x t =-+-；
解方程23226y x t y x =-+-⎧⎨=+⎩
得； 324922
t x t y --⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩； ∴点N 坐标为32(4t --，32)2
t -； 把x t =-代入26y x =+，得26y t =-+，
3(26)23GQ t t =--+=-，
11321;;|;|||(23)()2244
GNQ G N G N t S GQ y y GQ y y t t ∆+=⋅⋅-⋅-=⋅-⋅-= 解得322t +=或322
t -=（舍去）； 1t ∴=，或32t +=
．
七、（本题12分）
24．（12分）ABC ∆为等边三角形，8AB =，AD BC ⊥于点D ，点E 为线段AD 上一点，23AE =．以AE 为边作等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．
（1）如图1，当点E 和点F 在直线AC 两侧时，EF 与AC 交于点M ，连接MN ， ①求证：ME MF =；
②求线段MN 的长；
（2）将图1中的AEF ∆绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，点M 为线段EF 的中点，连接BE ，MN ，DM ，
①如图2，当90α=︒时，请直接写出DM BE
的值； ②连接BN ，在AEF ∆绕点A 逆时针旋转过程中，当线段BN 最大时，请直接写出tan DAN ∠的值．
【解答】（1）①证明：如图1中，
ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥，
1302
CAD CAB ∴∠==︒， AEF ∆是等边三角形，
AE AF ∴=，60EAF ∠=︒，
30EAM FAM ∴∠=∠=︒，
ME MF ∴=．
②AE AF =，EM MF =，
AM EF ∴⊥，
3cos30233AM AE =⋅︒==， 8AC =，
5CM AC AM ∴=-=， 3EM MF ==
22225(3)27CE CM ME ∴=++，
CN NE =，
172
MN EC ∴=
（2）①解：如图2中，延长BC 交FE 的延长线于R ，过点E 作EH AF ⊥于H ，过点D 作DJ FR ⊥于J ．
90α=︒，
F ∴，A ，B 共线，
AEF ∆，ABC ∆是等边三角形，
8AB BC ∴==，23AF EF ==60F ABC ∠=∠=︒，
60R ∴∠=︒，
BFR ∴∆是等边三角形，
238FB BR FR ∴===，
AD BC ⊥，
4CD DB ∴==，
23CR ∴=234DR =，
DJ FR ⊥，
cos6032RJ DR ∴=⋅︒=，3323DJ RJ ==+
3EM FM =
6JM RF FM RJ ∴=--=，
2222(323)631943DM DJ JM ∴=++++
EH AF ⊥，
3FH AH ∴==，33EH AH ==，
22223(83)21943BE EH BH ∴=++++ ∴3DM BE =．
②解：如图3中，取AC 的中点T ，连接NT ，BT ．
CN NE =，AT CT =， 132NT AE ∴==， ABC ∆是等边三角形，CT AT =，
BT AC ∴⊥，
343BT AT ∴==，
BN NT BT ∴+，
53BN ∴，
BN ∴的最大值为53，此时B ，T ，N 共线（如图4中）
如图4中，连接AN ，过点N 作NQ AD ⊥于Q ，设AD 交BN 于R ．
AD BC ⊥，BT AC ⊥，
AD ∴，BT 是ABC ∆的中线，
283433AR BR ∴==⨯，143433RT =⨯= 3NT =，
73NR NT TR ∴=+=
，
60NRQ ∠=︒， 1732RQ NR ∴==
，732
NQ RQ ==， 837333AQ AR RQ =-=
-=， 7
732tan 33NQ NAD AQ ∴∠===． 八、（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线22615
y x bx =+-与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点(103B ，0)，点C 在线段OB 上，连接AC ，过点B 作//BE AC 交y 轴于点E ，点M ，N 在线段BE 上，且点M 在点B ，N 之间，:2:3BM EN =，点P ，Q 分别是线段AC ，MN 上的动点，当点P 从点A 匀速运动到点C 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，设QN m =，PA n =，
已知6125
n m =-+． （1）求抛物线的对称轴；
（2）求线段AC 和BE 的长；
（3）连接AB ，当直线PQ 经过AOB ∆的一个顶点时，请直接写出直线PQ 与抛物线对称轴交点的纵坐标．
【解答】解：（1）将(103B 0)代入22615y x bx =
+-可得17315b = ∴抛物线的解析式为221761515y x x =
--， ∴抛物线的对称轴为1734
x =． （2）P 在C 点时，0QN m ==，12PC AC n ===，
令0x =，代入221761515
y x x =--，即6y =-．
A ∴的坐标为(0,6)-，
在Rt AOC ∆中，6OA =，12AC =， 由勾股定理可知2263OC AC OA =-=，
//AC BE ，
OAC OEB ∴∆∆∽，
∴OB OC BE CA
=， 20BE ∴=．
（3）当点P 和点A 重合时，0PA n ==，点Q 在点M 处，
6125
n m =-+， 10m ∴=，即10QN MN ==．
10BM EB ∴+=，
又:2:3BM EN =，
4BM ∴=，6EN =．
如图1，过点N 作1NN y ⊥轴于点1N ，过点M 作1MM x ⊥轴于点1M ，
由（2）知，::32OA OC AC =，
60OAC ∴∠=︒，30OCA ∠=︒，
//AC BE ，
60OEB ∴∠=︒，30OBE ∠=︒，
1132EN EN ∴==，1122
MM BM ==， 11333NN EN ∴==11323BM MM ==
(33N ∴，7)-，(83M ，2)-，
①当点P 过点A 时，(0,6)P -，点Q 和点M 重合，(83Q ，2)-， 则直线PQ 的表达式为：36y x =
-， 当173x =时，318y =-； ②当PQ 过点O 时，如图2，过点P 作PL y ⊥轴于点L ，过点M 作MT x ⊥轴于点T ，
QN m =，AP n =，
14BQ BN QN m ∴=-=-，
1722
m TQ BQ ∴==-，3373BT TQ =， 333OT ∴=， 3(33Q ∴，7)2
m -， ∴直线OQ 的表达式为：633y m +； 6125
AP n m ==-+， 1136225
AL AP n m ∴=
==-+，33363PL AL =+， 35OL m ∴=， 33(63P ∴+，3)5
m -， ∴将点P 的坐标代入直线OQ 333(63)5633m m +=-+， 解得143
m =，
∴直线PQ 的表达式为：y =，
∴当x x =时，11932y =-． 综上，当直线PQ 经过AOB ∆的一个顶点时，直线PQ 与抛物线对称轴交点的纵坐标为318-或11932
-
．。