2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期10月月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期10月月考数学质量检测
模拟试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）
A ．3612x x +-=
B ．28x y +=
C ．232x x +=
D ．216x x
-=2．在直角坐标系中，以O 为圆心，5为半径作圆，下列各点，一定在圆上的是（）
A ．()2,3
B ．()4,3
C ．()1,4
D ．()
2,4-3．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，依题意可列方程为（）
A ．23.2(1) 3.7x -=
B ．23.2(1) 3.7x +=
C ．23.7(1) 3.2x -=
D ．2
3.7(1) 3.2
x +=4．如图，,AB AC 是O 的弦，,OB OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（）
A ．70︒
B ．105︒
C ．125︒
D ．155︒
5．如图，A B C 、、是半径为4的O 上的三点．如果45ACB ∠=︒，那么 AB 的长为（）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．8π
6．如图，点,,,A B C D 均在直线上，点P 在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
7．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，3BC =．将 BC 沿着BC 折叠后恰好经过点O ，则AB 的长为（）
A ．
B ．．4D ．5
8．如图，在Rt ABC △中，90,3,4BAC AB AC ∠=︒==，平面上有一点P ，连接AP ，CP ，
且2CP =，取AP 的中点M ．连接BM ，则BM 的最小值为（）
A B ．5
C 1-
D ．二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．）
9．方程2
40x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为_________．
10．已知一个圆雉的底面圆半径是2，母线长是6，则圆雉侧面积是_________．
11．已知点,C D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，半径2AO =，则扇形COD 的面积为_________．
12．直线与O 相离，且O 的半径r 等于3，圆心O 到直线的距离为d ，则d 的取值范围是_________．
13．直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________．
14．如图，四边形ABCD 内接于O ，延长AD 至点E ，已知140AOC ∠=︒那么CDE ∠=_________．
15．如图，PA PB 、分别切圆O 于A B 、，并与圆O 的切线，分别相交于C D 、，已知7cm PA =，则PCD △的周长等于_________cm ．
16．已知a 是方程2310x x +-=的根，则代数式2
32023a a ++的值为_________．
17．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是_________．
18．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“非内接四边形”，已知一个圆的一个非内接四边形是边长为3的菱形，且这个菱形不在圆上的顶点与圆上的点最近距离是为2，则这个圆的半径为_________．
三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．解下列方程．
（1）2
230x x --=（2）()2(3)23x x +=+20．如图，,AB CD 为O 内两条相交的弦，交点为E ，且AB CD =，求证：AD BC ∥．
21．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC AD 、．若35BAC ∠=︒，
（1）求D ∠的度数；
（2）若65ACD ∠=︒，求CEB ∠的度数．
22．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD AB ⊥，垂足为P ，若8,2AP BP ==．求CD 的长．
23．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩如表所示：候选人
文化水平艺术水平组织能力甲
80分87分82分乙80分96分76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照1∶1∶3的比例计入综合成绩，应该录取谁？
24．如图，,,OA OB OC 都是O 的半径，2ACB BAC ∠=∠．
（1）求证：2AOB BOC ∠=∠；
（2）若4,AB BC ==O 的半径．
25．如图，已知，BE 是O 的直径，BC 切O 于B ，弦DE OC ∥，连接CD 并延长交BE 的延长线于点A ．
（1）证明：CD 是O 的切线；
（2）若2,1AD AE ==，求CD 的长．
26．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x 元，则每天销售量增加_________件，每件商品盈利元（用含x 的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
27．【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC △中，,90,AB AC BAC D =∠=︒是ABC △外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 长为半径作辅助圆A ，则,C D 两点必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，BDC ∠是A 的圆周角，则BDC ∠=_________．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形ABCD 中，90,23BAD BCD BDC ∠=∠=︒∠=︒，求BAC ∠的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段AB 和直线，用直尺和圆规在1上作出所有的点P ，使得30APB ∠=︒（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形,2,,ABCD AB BC m M ==为边CD 上的点．若满足45AMB ∠=︒的点M 恰好有两个，则m 的取值范围为_________，②如图4②，在ABC △中，45,BAC AD ∠=︒是BC 边上的高，且3,1BD CD ==，求AD 的长．
28．早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．
某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是O 的两条弦（即折线段ACB 是圆的一条折
弦），,BC AC M >是 ACB 的中点，过点M 作MD BC ⊥，垂足为D ，小明通过度量AC CD DB
、、的长度，发现点D 平分弦ACB ，即BD AC CD =+．小丽和小军改变折弦的位置发现BD AC CD =+仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：
小军采用了“截长法”（如图2），在BD 上截取BE ，使得BE AC =，…
小丽则采用了“补短法”（如图3），延长BC 至F ，使CF AC =，…
小明采用了“平行线法”（如图4），过M 点作ME BC ∥，交圆于点E ，过点E 作EF BC ⊥，…
（1）请你任选一位同学的方法，并完成证明；
（2）如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，ABC △内接于O （A B C 、、均是格点），点A D 、关于BC 对称，连接BD 并延长交O 于点E ，连接CE ．
①请作直线，使得直线平分BCE △的周长；
②求BCE △的周长．
图1图2图3图4
图5
参考答案和解析
一、选择题题号
12345678答案C B B D A D B C 二、填空题
9．410．12π11．
23π12．3d >13．214．7015．1416．．1018．4.5或12或12
-三、解答题
19．（1）123,1x x ==-；
（2）123,1x x =-=-．
20．证明：AB CD = ， C AB D ∴=，
AB AD AD CD ∴-=-，
即
AC BD =，,
A B ∴∠=∠AD BC ∴∥．
21．解：（1）连接CB ，
AB 是O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
35BAC ∠=︒ ，
9055ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒，
55ABC D ∴∠=∠=︒，
D ∴∠的度数为55︒；
（2）CEB ∠ 是ACE △的一个外角，
100CEB BAC ACD ∴∠=∠+∠=︒，
CEB ∴∠的度数为100︒．
22．解：连接OC ，
8,2PA PB ==，
10AB ∴=，
152
OB OC AB ∴===，523OP OB BP ∴=-=-=，
CD AB ⊥ ，
2CD PC ∴=，
在Rt OPC △中，5,3OC OP == ，
2222534PC OC OP ∴=-=-=，
28CD PC ∴==．
23．解：（1）甲的综合成绩为808782833
++=（分），乙的综合成绩为809676843
++=（分），因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙．
（2）甲的综合成绩为11380878282.6555
⨯+⨯+⨯=（分），乙的综合成绩为11380967680.8555
⨯+⨯+⨯=（分），
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲．
24．（1）证明：11,,222ACB AOB BAC BOC ACB BAC ∠=∠∠=∠∠=∠ ，2AOB BOC ∴∠=∠；
（2）解：过点O 作半径OD AB ⊥于点E ，连接DB ，
AE BE ∴=，
12,2
AOB BOC DOB AOB ∠=∠∠=∠ ，DOB BOC ∴∠=∠．
BD BC ∴=．
4,AB BC ==
2,BE DB ∴==
，
在Rt BDE △中，90DEB ∠=︒，
1DE ∴==，
在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，222(1)2OB OB =-+，解得52
OB =，即O 的半径是
52．25．（1）证明：连接OD ，
ED OC ∥，
,COB DEO COD EDO ∴∠=∠∠=∠，
OD OE = ，
DEO EDO ∴∠=∠，
COB COD ∴∠=∠，
在BCO △和DCO △中，OB OD COB COD OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS BCO DCO ∴△≌△，
CDO CBO ∴∠=∠，
BC 为圆O 的切线，
BC OB ∴⊥，即90CBO ∠=︒，
90CDO ∴∠=︒，
又OD 为圆的半径，
CD ∴为圆O 的切线；
（2）解：,CD BC 分别切O 于,D B ，
CD BC ∴=，
2AD AE AB =⋅ ，即221AB =⋅，
4AB ∴=，
设CD BC x ==，则2AC x =+，
222
A C A
B B
C =+ 222(2)4x x ∴+=+，
解得：3x =，
3CD ∴=．
26．解：（1）()2,40x x -；
（2）设每件服装降价x 元，则每件的销售利润为()40x -元，平均每天的销售量为()202x +件，依题意得：()()120802021200x x --+=，
整理得：2
302000x x -+=，
解得：1210,20x x ==．
又 需要扩大销售量，20x ∴=．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y 元，则每件的销售利润为()12080y --元，平均每天的销售量为()202y +件，依题意得：()()120802021800y y --+=，
整理得：2
305000y y -+=．22Δ4(30)4150011000b ac =-=--⨯⨯=-< ，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
27．解：（1）45︒；
（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO CO 、．
90BAD BCD ∠︒∠== ，
11,22
OA BD OC BD ∴==，OA OB OC OD ∴===，
∴点A B C D 、、、共圆，
BDC BAC ∴∠=∠，
23BDC =︒∠ ，
23BAC ∴∠=︒；
（3）作图如下：由图知，11302APB AOB ∠=
∠=︒；同理230AP B ∠=︒．
（4）①21m ≤<+2+．
28．（1）证明：（下列方法选择其一即可）．
①选小军的证法，如图2，
在BC 上取点E ，使BE AC =，连接,,AM BM CM ，
M 是 ACB
的中点， B AM M ∴=，
AM BM
∴=MAC MBC ∠=∠ （同弧所对的圆周角相等）
，()SAS MAC MBE ∴△≌△，
MC ME ∴=，
MD CE ⊥ ，
CD DE ∴=，
BD BE DE AC CD ∴=+=+．
②选小丽的方法，如图3，连接AB ，
M 是 ACB
的中点，∴ AM BM
=，MCB MBA ∴∠=∠，
180,180MCA MBA MCF MCB ∠+∠=︒∠=︒+∠ ，
MCF MCA ∴∠=∠，
MC MC = ，
()SAS MCF MCA ∴△≌△，
MF MA ∴=，
MF MB
∴=，
，
MD BF
⊥
∴==+=+．
BD DF CD CF CD AC
图1图2图3图4
（3）选小明的方法，如图4，
⊥⊥
，
EF BC MD BC
,
∥，
∴∠=∠=︒
,90
MD EF MDC EFB
∥，
ME BC
∴四边形MDFE是矩形，
ME DF MD EF
∴==，
,
∥，
ME BC
B
∴=，
CM E
CM BE
∴=，
()
∴△≌△，
Rt Rt HL
CDM BFE
∴=，
CD BF
是
M
ACB的中点，
∴=，
AM M
B
∴=，
M
AC E
∴=，
AC ME
∴=+=+．
BD DF BF AC CD
=；弧BEC的中点Q，连接CQ与BE交于点G，则（2）①如图5，在BC的中点F，则BF CF
=+，作直线FG，直线FG即为所求直线；
BG CE GE
②
325 8
5 ．。