高考数学十五年真题精选(有答案)

十五年真题精选（一）
选填篇
三角函数
2004全国卷
答案：B
2012全国卷
==
+αααα2cos 3
3
cos sin .2，则为第二象限角，已知3
5
.-A 9
5.
B 3
5.C 9
5.D 答案：A
解三角形
2006全国1
答案：B
立体几何
2004全国卷
4.已知正四面体ABCD 的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH 的表面积为T.则S
T 等于（
）
9
1.A 9
4.B 4
1.C 3
1.D 答案：A
2007全国卷1
5.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则三角形的斜边长为.
答案：3
22005全国卷
的截面图形是（）、、那么，正方体过的中点。

、、分别是、、中，正方体R Q P C B AD AB R Q P D C B A ABCD 111111.6 A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案：D
2008卷1
所成角的正弦值等于
与底面则的中心，内的射影为在底面等，的侧棱与底面边长都相已知三棱柱ABC AB ABC ABC A C B A ABC 11111.7-3
1.A 3
2.
B 3
3.
C 3
2.
D 答案：B
2004全国卷
编号）
（写出所以正确结论的确的编号是在一面结论中，结论正④一条直线及其外一点
③同一条直线；②两条互相垂直的直线①两条平行直线；的射影有可能是在上、是一个平面，则为不垂直的异面直线，已知________________,.8ααb a b a 答案：①②④
解析几何
2011全国卷1文
9.设两圆12C C 都和两坐标轴相切，且都过（4,1）则两个圆心的距离12||C C =（A）4
（B）2
（C）8
(D)82
答案：C
2015新课标1
10.已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66A ，当APF
∆周长最小时，该三角形的面积为．
答案：6
122008全国卷2
11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0和x-7y-4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）
3.A 2
.B 3
1
.-
C 2
1.-
D 答案：A
2016新课标1
12.（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣
=1表示双曲线，且该双
曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，
）C．（0，3）D．（0，）
答案：A
向量
2006全国1
则（）
同向，其中后与顺时针旋转且，满足、、如果平面向量的和、、设平面向量.3,2,1i 30||2||b .0.133********=︒==++b a a b b b i i i αααααα0b b b -321=++）（A 0321=+-b b b B ）（0321=-+b b b C ）（0
321=++b b b D ）（答案：D
数列
2005全国卷
答案：B
不等式
2017新课标三文理
1≤+x x ，15.函数f（x）=
，
则满足_______1)2
1
()(的取值范围是的x x f x f >-
+0
,2>x x 答案：)4
1(∞+-，
函数及其性质
2008全国卷2
答案：C
2004全国卷
17.=+=+=
∈)5()2()()2(,21
)1())((f f x f x f f R x x f ，则为奇函数，设函数（）
0.A 1
.B 2
5
.
C 5.
D 答案：C
复数
2017新课标一理18.设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足
1
z
∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2
z
∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为A.13
,p p B．14
,p p C．23
,p p D．24
,p p 答案：B
大题篇
解三角形
2009全国卷2
答案：3
π=
B
2009全国卷1
b
,sin cos 3cos sin 2,,.222求且，已知的对边长分别为、、中，内角在C A C A b c a c b a C B A ABC ==-∆答案：b=4
数列
2005
全国卷
答案：
（1）），（）（∞+⋃∈00,1-q （2）n
n S T =解析几何
2011全国卷
2-12
.422
=++=+OP OB OA P B A C l F y y x F O 满足两点，点、交于与的直线斜率为且
轴正半轴上的焦点，过在为椭圆为坐标原点，已知（1）证明：点P 在C 上，设点P 关于O 的对称点为Q
（2）证明：A，P，B，Q四点在同一个圆上
2017新课标三文
5.在直角坐标系xOy中，曲线22
=+-与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).
y x m x
当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
答案：（1）能
（2）略
2008全国卷2
.
)01,00,2.6两点、，与椭圆相交与相交于点与（直线）是它的两个定点，（），（，设椭圆中心在坐标原点F E D AB k kx y B A >=（1）DF ED 6=若，求k 的值（2）求四边形AEBF 面积的最大值
答案：（1）8
332
==k k 或(2)2
22004全国卷
答案：（1）41
41
3-
夹角的余弦值为与OB OA （2）
3
443[43-34[，，⋃-
导数
2010全国一卷（理）
答案：（1）1
-≥a (2)略
2012全国卷9.ax x x x f ++=233
1)(已知函数的单调性
）讨论（)(1x f 的值
上，求的交点在曲线轴
与的直线，若过两点有两个极值点）设（a x f y x l x f x x f x x x x f )())(,()),(,(,)(2221121=答案：
（1）
单调递减
上单调递增，在在时，当上单调递增；
在时，当11,11()11,()(1)(1a a x a x x f a R x f a -+----∈----∞∈<≥（2）4332
0=
==a a a 或或选修篇
2012新课标
选修4-5：不等式选讲
1.|
2|||)(-++=x a x x f 已知函数（1）的解集
时，求不等式当3)(3-≥=x f a （2）的取值范围
，求的解集包含若a x x f ]2,1[|4|)(-≤答案：（1）}
41|{≥≤x x x 或（2）[-3,0]
2017新课标二
2.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系学科*网，曲线
1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨
迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．答案：（1））
（04)2(22≠=+-x y x （2）2
3+技巧篇
全国卷2005
______
.1=++=∆m OC OB OA m OH H O ABC 则实数），（，为，两条边上的高的交点的外接圆的圆心为答案：1
2017新课标一理
的最小值为
两点，则、交于与两点，直线、交于与直线作两条互相垂直的直线的焦点，过为抛物线已知||||,,4.21212DE AB E D C l B A C
l l l F x y F +=
答案：A
2007全国卷1
的面积是
，且，垂足为，部分相交于点轴上方的的直线与抛物线在且斜率为，经过，准线为的焦点抛物线AKF K l AK A x F l F x y ∆⊥=34.324.A 33.B 34.C 8
.D 答案：C
2017新课标二文
4.过抛物线2:4C y x =的焦点F 3C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为5B．22C．3D．3
答案：C
2009全国1
答案：24
十五年真题精选（二）
选填篇
三角函数
2007全国卷11.函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是A．2(
,)33ππB．(,)62ππC．(0,)3πD．(,)66ππ-答案：A 解三角形
2014新课标1
2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c 分别为△ABC 的三个内角A，B，C 的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC 面积的最大值为．
3
答案：立体几何
2010全国卷
3.点所在直线的距离相等的
、、的三条棱与正方体1111111-D A CC AB D C B A ABCD
C.有且只有3个
D.有无数个
答案：D
2010全国卷
4.已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)833
答案：B
2004全国卷
的距离为
则球心到平面三点，如果、、π，球面上有已知求的表面积为ABC BC AC AB C B A 32.220.5===A.1
2.B
3.C D.2
答案：A
6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。

现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是
A.南
B.北
C.西
D.下
答案：B 2008全国卷1
7.已知菱形ACBD 中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD 将三角形ABD 折起，使二面角A-BD-C 为120°，则点A 到三角形BCD 所在平面的距离等于________
2
3答案：解析几何
2015新课标2
8.过三点A （1，3），B （4，2），C （1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN |=（
）A．2
B．8C．4D．10
答案：C
9.已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A.1
3 B.2
3 C.2
3 D.22
3
答案：D
2017新课标二理
10.已知F 是抛物线:C 2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =____________．
答案：6
2007全国卷2
=
++=++=||||||04.112FC FB FA FC FB FA C B A x y F 则，为该抛物线上三点，若、、的焦点，为抛物线设9
.A 6.B 4.C 3
.D 答案：B 2004全国卷
12.的直线共有）距离为，（，且与点）距离为在坐标明明内，与点（
21312,1B 条
1.A 条
2.B 条
3.C 条
4.D
向量
2004全国卷
=
=-=λλ其中，则和分别是上的射影）在，（）和（点的方向向量已知平面上直线,2-10,0),5
3,54(.131111e A O A O l A C e l 511
.A 511
.-B 2.C 2
.-D 答案：D
数列
2017新课标二
14.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏答案：B
2005全国卷
______
4390.15的距离乘积的最大值是、到上的点，则点是，，，中，已知在BC AC P AB P AC BC ACB ABC ==︒=∠∆答案：3
函数及其性质
2012全国卷
答案：A
2006全国卷2
17.∑=-=19
1||)(n n x x f 的最小值为
函数答案：90
2010全国卷
18.，则设2
135,2ln ,2log -===c b a A.a<b<c B.b<c<a
C.c<a<b
Dc<b<a
答案：C
2004全国卷
19.=-=+-=)a (,)(,11lg
)(f b a f x
x
x f 则若已知函数b
A .b
B -.b
C 1.b
D 1-
.答案：B
2012新课标文
20._____
,1
sin )1()(22=++++=m M m M x x
x x f ，则最小值为的最大值为设函数答案：2
2018新课标三（文）
21.____)(4)(,1)1ln()(2
=-=+-+=a f a f x x x f ，则设函数答案：-2
大题篇
解三角形
2004全国卷
1.5
1
)sin(,53)sin(=-=+B A B A ABC 中，
已知锐角三角形（1）求证tanA=2tanB
（2）设AB=3，求AB 边上的高
6
22+）答案：（2006全国卷1
并求出这个最大值取得最大值为何值时，，求当、、的三个内角为2
cos 2cos .2C
B A A
C B A ABC ++∆2
3答案：
数列
2016新课标二
3.S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28，记b n =[lga n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；
（Ⅱ）求数列{b n }的前1000项和．
1893
22,1,0(1)b 101111）（答案===b b 解析几何
2009全国卷2
2
2
13
3
)0(1.42222的距离为
到时，坐标原点的斜率为两点，当、相交于
与的直线，过又焦点的离心率为：已知椭圆l O l B A C l F b a b y a x C >>=+(1)求a，b 的值
说明理由
的方程；若不存在，请的坐标与若存在，求出所有的成立？到某一位置时，有绕，使得当上是否存在点）（l P OB OA OP F l P C +=2答案：（1）a=√3b=√2
（2）存在
2005全国卷
5.的垂直平分线
是上，两点在抛物线（设AB l x y y x B y x A 2
22112),(),,=（1）？证明你的结论经过抛物线的焦点取何值时，直线
当且仅当F l x x 21+（2）轴上截距的取值范围
在时，求的斜率为当直线y l l 2（1）0
（2）
），（∞+32
9
2006全国卷
，求：
，且向量、的交点分别为轴、处的切线与在点上，在，动点分为曲线设椭圆在第一象限的部的椭圆）为焦点、离心率为，（）和，（中，有一个以在平面直角坐标系OB OA OM B A y x P C C P C F F xOy +=.2
3303-0.6（1）点M 的轨迹方程（2）的最小值
|OM |3
21
41122）（）（=+y x 2012全国卷
l
A A r r y x M x y C 直线处两曲线的切线为同一且在点有一个公共点（（与圆：已知抛物线,)
02
1()1:)1(.722222>=-+-+=（1）求r
（2）设m、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m、n 的交点为D，求D 到l 的距离。

55
6)2(2
5)1(==A M r
导数
2007全国卷1文
8.时取得极值及在设函数218332)(3
==+++=x x c bx ax x x f （1）求a、b 的值
（2）的取值范围成立，求，都有若对于任意的c c x f x 2
)(]3,0[<∈(1)a=-3
b=4
(2)()()
∞+-∞-，，91 2017新课标二理
9.已知函数2
()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
20e
()2f x --<<．
（1）a=1
（2）存在且2
022)(--<<x f e
选修篇
2011新课标
1.在直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足OM OP 2=,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
（1）
为参数）
ααα
(sin 4cos 4+==y x （2）3
2
2017新课标二
2.已知3
3
0,0,2a b a b >>+=．证明：（1）5
5()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．（1）当且仅当,b a ab 55=
即a=b=1时取等号
（2）,2≤+b a 当且仅当a=b=1时等号成立
技巧篇
2010新课标理科
1.已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为
（A ）22
1
36
x y -=（B ）22
1
45x y -=（C ）22
1
63x y -=（D ）22
1
54
x y -=答案：B
2.（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F
的直线交椭圆E 于A、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）
A．
B．
C．
D．
答案：D
2010全国卷
3.ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r
，1a =，2b =，
则=CD ()
（A ）
1233a b +（B ）
21
33
a b +（C ）
34
55
a b +（D ）
43
55
a b +答案：B
4.(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为(
)．A ．2
B ．22
C ．3
D ．4
答案：C
2015新课标2（文）
5.已知等比数列{a n }满足a 1=，a 3a 5=4（a 4﹣1），则a 2=（）
A．2
B．1C．D．
答案：C
十五年真题精选（三）
选填篇
集合
2012新课标
中所含元素的个数为
则（，已知集合B A y x A y A x y x B A },,,|),{}5,4,3,2,1{.1∈-∈∈==
3.A 6.B 8.C 10
.D 答案：D
三角函数
2010新课标理
的函数图像大致为
关于时间轴距离到，那么点角速度为），，（其初始位置为的圆周上逆时针运动，在半径为如图，质点t d x P P P 12-22.20
答案：C
2006全国一
3.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=
.
答案：
6
π
解三角形
2004全国卷
_____
23
30,,,,.4=∆︒=
∠∠∠∠∆b ABC B c b a C B A c b a ABC ，那么的面积为，成等差数列的对边，如果、、分别为中，231.+A 3
1.+B 2
32.+C 3
2.+D 答案：B
立体几何
2005全国卷
，则多面体的体积为，均为正三角形，、的正方形，且是边长为中，已知如图，在多面体2‖1.5=∆∆EF AB EF BCF ADE ABCD ABCDEF 3
2.A 3
3.B 3
4.C 2
3.D 答案：A
2004全国卷
______
2
.6与球的表面积的比值为，那么截得小圆的面积
的距离为的球，如果球心到界面截半径为用平面R
R α答案：
16
3
2005全国卷
7.积为面积为π，则球的表面的平面截球所得的圆面一个与球心距离为12
8.A π
8.B π24.C π
4.D 答案：B
2013新课标1文
8.(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
答案：
2
9
2011新课标
______
16
3
..9为体积较大者的高的比值积较小者的高与，则这两个圆锥中，体球面面积的若圆锥底面面积是这个球面上底面的圆周都在同一个面，且两圆锥的顶点和已知两个圆锥有公共底答案：
3
12005全国卷
10.将半径都为1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）
3
623.
+A 3
622.+
B 3
624.+
C 3
6
234.
+D 答案：C
解析几何
2008全国卷111..若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则（）
A．22
1
a b
+≤B．22
1
a b
+≥C．
2
211
1a b
+≤D．
2
211
1a b
+≥答案：D
2017新课标一文
12.设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，
则m 的取值范围是A．(0,1][9,)+∞ B．3][9,)+∞ C．(0,1][4,)
+∞ D．3][4,)
+∞ 答案：A
2011全国卷1文
13.已知：12,F F 分别是双曲线C：22
1927
x y -=的左右焦点，
点A C ∈，点M 的坐标为（2,0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF ____________
答案：6
2004全国卷
14.的方程为
对称，则圆关于直线与圆（已知圆C x y y x C -==+-1)1221
)1(.1)1(.1.1)1.22222222=-+=++=+=++y x D y x C y x B y x A （答案：D
向量
2017新课标二理
小值是的最内的一点，则为平面的等边三角形，边长为已知)(2.15PC PB PA ABC P ABC +⋅∆2
.-A 2
3
.-
B 3
4.-
C 1
.-D 答案：B
数列
2017新课标一理
16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他
们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440B．330C．220D．110
答案：A
不等式
2014新课标1
17．设x，y满足约束条件
,
1,
x y a
x y
+≥
⎧
⎨
-≤-
⎩
且z x ay
=+的最小值为7，则a=
（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3答案：B
函数及其性质
2017新课标三文理
18．已知函数2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，则a =
A．12
-
B．
13C．
12
D．1
答案：C
2005全国卷19.则若,5
5
ln ,33ln ,22ln ===c b a A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
答案：C
2012新课标
20.当0<x ≤1
2时，4log x a x <，则a 的取值范围是
（A ）(0，
22
)（B ）(
22
，1)（C ）(1，2)
（D ）(2，2)
答案：B
2005全国卷
21.
的图像为下列之一，二次函数设102
2-++=>a bx ax y b （）
答案：B 程序框图
22．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A，B，则（
）
A．A +B 为a 1，a 2，…，a N 的和B．
为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数
C．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数
答案：C
大题篇
解三角形
2008全国卷2
1.在△ABC 中，135cos -=B ，5
4cos =C .(Ⅰ)求A sin 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积2
33
=
ABC
S
,求BC 的长.答案：(1)
6533(2)
2
112012新课标
2.0sin 3cos ,,,,=--+c b C a C a C B A ABC c b a 的对边，的三个内角分别为已知（1）求A
（2）c
b ABC a ,3,2，求的面积为若∆=答案：
2
)2(601===︒c b A ）（2016新课标1
3.（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知2cosC（acosB +bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若
c=
，△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
7
5)2(3)1(+=
πC 2017新课标14.（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
.
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
33
3)2(3
2)
1(+数列
2004全国卷
}{
3,2,1(2
1}{.511n
S n S n
n a a S n a n
n n n n 证明：数列），，已知项和记为的前数列 =+==+答案：首项为1，公比为2的等比数列
2008全国卷2
6.设数列}{n a 的前n 项和为n S .已知a a =1，n
n n S a 31+=+，*N n ∈.
(Ⅰ)设n
n n S b 3-=，求数列}{n b 的通项公式；(Ⅱ)若n n a a ≥+1，*N n ∈，求a 的取值范围.
[)
+∞-⋅-=-,9)2(2)3(11n n a b ）（解析几何
2010新课标
7.设12,F F 分别是椭圆E:22
221x y a b
+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与
E 相较于A,B 两点，且2A
F ,AB ,2BF 成等差数列.（Ⅰ)求E 的离心率；
（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.
1
91822
2
12
2=+y x ）（）
（
2010全国卷
(22)(本小题满分12
分)
949122
2
=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-y x ）（2007全国卷2
9.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA 、PB 的取值范围.
[)
0,2)2(4122-=+y x ）（
10.（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x +1）2+y 2=1，圆N：（x﹣1）2+y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．
7
18
32)2()
2(13
4122或
）（=≠=+AB x y x 导数
2014新课标2
11．（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x ﹣e ﹣x ﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b 的最大值；（Ⅲ）已知 1.4142＜
＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
答案：（1）在R上单调递增
（2）2
（3）0.693
选修篇2017新课标一文理
[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
1.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
3cos,
sin,
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数），直线l的参数方
程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17 a.
答案：()8
a 162252425210,31=-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-或）（，和）（a 2011新课标
选修4-5：不等式选讲
2.设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}
|1
x x ≤-，求a 的值。

答案：
}{
2
)2(131=-≤≥a x x x 或）（技巧篇
2008全国卷2
1.已知F 为抛物线C ：x y 42
=的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点.设
FB FA >.则FA 与FB 的比值等于
.
答案：2
23+2006全国卷2
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3163=S S ，则=12
6S S （A）
10
3
（B）
31（C）
8
1（D）
9
1答案：A
2014新课标1
3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数
D．|f（x）•g（x）|是奇函数
答案：C
4.（2014•新课标Ⅱ）设F 为抛物线C：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）
A．
B．
C．
D．
答案：D
十五年真题精选（四）
选填篇
三角函数
2011新课标
1.设函数
()sin()cos()(0,2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减
（B ）
()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减
（C ）()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
（D ）
()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
答案：A
解三角形
2017新课标一文
2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c 2，则C =
A．π12
B．
π6
C．
π4
D．
π3
答案：C
立体几何
2009全国卷1
3.已知OA 为求O 的半径，过OA 的中点M 且垂直与OA 的平面截球面得到圆M，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积为____________答案：16π
2011全国卷
4.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π(B)9π
(C)11π
(D)13π
答案：D
2009全国卷2
5.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得
到圆C 。

若圆C 的面积等于74
π
，则球O 的表面积等于答案：8π
2005全国卷
6.共有平面的距离都相等，这样的个定点到平面不共面的αα4（）
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
答案：D
2005全国卷
则
，于，交于的一个平面交中，过对角线在正方形F C C E A A D B D C B A ABCD '''''''-.7D
B B E D BF ABCD E D BF E D BF E D BF '''''有可能垂直于平面④四边形内的投影一定是正方形在底面③四边形有可能是正方形
②四边形一定是平行四边形①四边形以上结论正确的为_______________.(写出所有正确结论的编号）答案：①③④
程序框图
2017新课标一文理
8.如图是为了求出满足321000n n
->的最小偶数n ，那么在和
两个空白框中，
可以分别填入
A．A >1000和n =n +1B．A >1000和n =n +2C．A ≤1000和n =n +1D．A ≤1000和n =n +2
答案：D
解析几何
9．（5分）（2013•新课标Ⅱ）已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax +b （a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）
A．（0，1）B．
C．D．
答案：B
2010新课标理
10.过点A（4,1）的圆C 与直线x-y=1相切于点B（2,1）则圆C 的方程为_____答案：（ ⺁ + =2
2010全国卷
_______
||||601.1121212221=⋅︒=∠=-PF PF PF F C P y x C F F 则上，在的左右焦点，点：为双曲线，已知答案：4
2017新课标1（理科15）
12.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

答案：
2016新课标1（文科15）
13．（5分）设直线y=x +2a 与圆C：x 2+y 2﹣2ay﹣2=0相交于A，B 两点，若|AB |=2，
则圆C 的面积为
．
答案：4π
2010全国卷
_____
30,1)0(2.142为的值，则，若的一个交点为，与相交于点的直线与）且斜率为（，过的准线为：已知抛物线P MB AM B C A l M l p px y C =>=答案：2
向量
2011全国卷
15.设向量,,a b c 满足1||||1,,,602
a b a b a c b c ==⋅=-<-->=
，则||c 的最大值等于
(A)23
2
(D)1
答案：A
数列
2013新课标
16．（5分）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1，2，3…若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，a n +1=a n ，，，则（）
A．{S n }为递减数列B．{S n }为递增数列
C．{S 2n﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D．{S 2n﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
答案：B。