2024届湖南省凤凰县联考中考数学模试卷含解析

2024学年湖南省凤凰县联考中考数学模试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是()
A．∠BDO＝60°B．∠BOC＝25°C．OC＝4 D．BD＝4
2．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）
A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
3．如图所示，若将△ABO绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1O，则A点的对应点A1点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，3）D．（2，﹣3）
4．已知关于x的不等式组﹣1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，则b满足的条件是（）
A．0＜b＜2 B．﹣3＜b＜﹣1 C．﹣3≤b≤﹣1 D．b=﹣1或﹣3
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=43，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）
A．2πB．4πC．6πD．8π
6．下列运算正确的是（）
A．a4+a2=a4B．（x2y）3=x6y3
C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．b6÷b2=b3
7．如图，A、B为⊙O上两点，D为弧AB的中点，C在弧AD上，且∠ACB=120°，DE⊥BC于E，若AC=DE，则BE CE
的值为（）
A．3 B．3C．33
3
+
D．31
+
8．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（）
A．﹣5 B．3
2
C．
5
2
D．7
9．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）
A．24 B．18 C．12 D．9
10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为（）
A．﹣2B．4 C．﹣4 D．2
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．观察下列一组数1
3
，
2
5
，
3
7
，
4
9
，
5
11
，…探究规律，第n个数是_____．
12．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[1.3]=1，（1.3）=3，[1.3）=1．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；
②当x=﹣1.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；
③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；
④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．
13．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为_____．
14．已知图中Rt△ABC，∠B=90°,AB=BC,斜边AC上的一点D，满足AD=AB，将线段AC绕点A逆时针旋转α （0°<α <360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC时，旋转角度α 的值为_________,
15．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，将ABC 绕点C 逆时针旋转至A B C ''，使得点A '恰好落在AB 上，A B ''与BC 交于点D ，则A CD '△的面积为_________．
16．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x
（x ＜0）的图象经过菱形OABC 中心E 点，则k 的值为_____．
17．分解因式：x 2y ﹣xy 2=_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E. F ．试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若BD=2，
BF=2，求⊙O 的半径．
19．（5分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中a = ，b = ，并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少
则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
20．（8分）如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口，海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从A，B两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里．
求AP，BP的长（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）；甲、乙
两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？
21．（10分）某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖励3元；若指针指向字母“C”，则奖励1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？
22．（10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
求证：BE = DF；连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判
断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
k
（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=k
x
的图象于点P．求反比例函数y=
k
x
的表达式；求点B的坐标；求△OAP
的面积．
24．（14分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
求证：AB＝DC；试判断△OEF的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．
【题目详解】
解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，故C选项正确；
则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；
∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.
故选D．
本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．
2、D
【解题分析】
根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【题目详解】
根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，
在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为2
3
≈0.67>0.16，
故A选项不符合题意，
从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为13
27
≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是1
2
=0.5>0.16，故C选项不符合题意，
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是1
6
≈0.16，故D选项符合题意，
故选D.
【题目点拨】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
3、A
【解题分析】
由题意可知，点A与点A1关于原点成中心对称，根据图象确定点A的坐标，即可求得点A1的坐标.
【题目详解】
由题意可知，点A与点A1关于原点成中心对称，
∵点A的坐标是（﹣3，2），
∴点A关于点O的对称点A'点的坐标是（3，﹣2）．
故选A．
【题目点拨】
本题考查了中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征，熟知中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征是解决问题的关键.
4、C
根据不等式的性质得出x的解集，进而解答即可．【题目详解】
∵-1＜2x+b＜1
∴
11
22
b b
x
---
＜＜，
∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，
∴
1
2
1
2
2
b
b
--
⎧
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪≤
⎪⎩
，
解得：-3≤b≤-1，
故选C．
【题目点拨】
此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集．
5、B
【解题分析】
先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面
积的1
4
．
【题目详解】
在△ABC中，依据勾股定理可知
，
∵两等圆⊙A，⊙B外切，∴两圆的半径均为4，
∵∠A+∠B=90°，
∴阴影部分的面积=
2
904
360
π⨯
=4π．
故选：B．
【题目点拨】
本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．
6、B
【解题分析】
详解：根据同类项的定义，可知a 4与a 2不是同类项，不能计算，故不正确；
根据积的乘方，等于个个因式分别乘方，可得(x 2y)3=x 6y 3，故正确；
根据完全平方公式，可得(m-n)2=m 2-2mn+n 2，故不正确；
根据同底数幂的除法，可知b 6÷
b 2=b 4，不正确. 故选B.
点睛：此题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，熟记并灵活运用是解题关键. 7、C
【解题分析】
连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：
120,ACB ADB ∠=∠=,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠= ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠= 设,DE x = 则,BF AC x == 3,tan 30DE CE EF x ===即可求出BE CE
的值. 【题目详解】
如图：
连接,,CD BD
D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,
根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=,CAD CBD ∠=∠
在BC 上截取BF AC =,连接DF,
,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
则ACD ≌BFD △,
,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠
即120,CDF ADB ∠=∠=
,DE BC ⊥
根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=
设,DE x = 则,BF AC x == 3,tan 30DE CE EF ===
BE BF EF CE CE +=== 故选C.
【题目点拨】
考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.
8、C
【解题分析】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，求出解析式，再将A （3，m ）代入，可求得m.
【题目详解】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，得
201k b b -+=⎧⎨=⎩
， 解得121
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
所以，一次函数解析式y=
12x+1， 再将A （3，m ）代入，得
m=12×3+1=52
. 故选C.
【题目点拨】
本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
【解题分析】
【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．
【题目详解】∵E 是AC 中点，
∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，
故选A ．
【题目点拨】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10、C
【解题分析】
试题分析：作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ．
则∠BDO=∠ACO=90°，则∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA ⊥OB ，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠AOC ，∴△OBD ∽△AOC ，∴
=（tanA ）2=2， 又∵S △AOC =×2=1，∴S △OBD =2，∴k=-1．
故选C ．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、21
n n 【解题分析】
根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的正整数，分母是连续的奇数，进而得出第n 个数分子的规律是n ，分母的规律是2n+1，进而得出这一组数的第n 个数的值．
【题目详解】
解：因为分子的规律是连续的正整数，分母的规律是2n+1，
所以第n 个数就应该是：21n n +， 故答案为21
n n +. 【题目点拨】
此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数n 表示出来．
12、②③
【解题分析】
试题解析：①当x=1.7时，
[x]+（x ）+[x ）
=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+1+1=5，故①错误；
②当x=﹣1.1时，
[x]+（x ）+[x ）
=[﹣1.1]+（﹣1.1）+[﹣1.1）
=（﹣3）+（﹣1）+（﹣1）=﹣7，故②正确；
③当1＜x ＜1.5时，
4[x]+3（x ）+[x ）
=4×1+3×1+1
=4+6+1
=11，故③正确；
④∵﹣1＜x ＜1时，
∴当﹣1＜x ＜﹣0.5时，y=[x]+（x ）+x=﹣1+0+x=x ﹣1，
当﹣0.5＜x ＜0时，y=[x]+（x ）+x=﹣1+0+x=x ﹣1，
当x=0时，y=[x]+（x ）+x=0+0+0=0，
当0＜x ＜0.5时，y=[x]+（x ）+x=0+1+x=x+1，
当0.5＜x ＜1时，y=[x]+（x ）+x=0+1+x=x+1，
∵y=4x ，则x ﹣1=4x 时，得x=；x+1=4x 时，得x=；当x=0时，y=4x=0，
∴当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有三个交点，故④错误，
故答案为②③．
考点：1.两条直线相交或平行问题；1.有理数大小比较；3.解一元一次不等式组．
13、1.1．
【解题分析】
分析：由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
详解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.1，
∴CD=BC-BD=3.1-2=1.1．
故答案为：1.1．
点睛：此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
14、15或255°
【解题分析】
如下图，设直线DC′与AB相交于点E，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，DC′//BC，
∴∠AED=∠ABC=90°，∠ADE=∠ACB=∠BAC=45°，AB=
2
AC，
∴AE=
2
AD，
又∵AD=AB，AC′=AC，
∴AE=
21
2 AC′，
∴∠C′=30°，
∴∠EAC′=60°，
∴∠C AC′=60°-45°=15°，即当DC′∥BC时，旋转角α=15°；同理，当DC′′∥BC时，旋转角α=180°-45°-60°=255°；
综上所述，当旋转角α=15°或255°时，DC′//BC.
故答案为：15°或255°.
15
3
【解题分析】
首先证明△CAA′是等边三角形，再证明△A′D C是直角三角形，在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD、A′D即可解决问题．
【题目详解】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=∠ACB -∠ACA′=90°-60°=30°，
∴∠A′DC=180°-∠CA′B′-∠BCA′=90°，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，
∴A′D=1
2
CA′=1，33，
∴
1
2
A CD
S CD A D
'
'
=⋅⋅
△
1
31
2
=3
=
3
【题目点拨】
本题考查了含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等”是解题的关键．
16、8
【解题分析】
根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.
【题目详解】
解：菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，-4），OA=OC=22
345,
+=则点B的横坐标为-5-3=-8，点B的坐标为（-8，
-4），点C的坐标为（-5,0）则点E的坐标为（-4，-2），将点E的坐标带入y=k
x
（x＜0）中，得k=8.
给答案为：8.
【题目点拨】
此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.
17、xy（x﹣y）
【解题分析】
原式=xy（x﹣y）．
故答案为xy（x﹣y）．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）相切，理由见解析;（1）1．
【解题分析】
(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
(1)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【题目详解】
(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD,
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；
(1)设⊙O的半径为R，
则OD=OF=R，
在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB=BD+OD，
即(R+1) =(1)+R，
解得：R=1，
即⊙O的半径是1.
【题目点拨】
此题考查切线的判定，勾股定理，解题关键在于求出OD⊥BC.
19、（1）a=0.3，b=4；（2）99人；（3）1 4
【解题分析】
分析：（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）a=1-0.15-0.35-0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），
∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为：0.3，4；
补全统计图得：
（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：
31
= 124
．
点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时
【解题分析】
（1）过点P作PE⊥AB于点E，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.
【题目详解】
(1)如图，过点P作PE⊥MN，垂足为E，
由题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，
∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，
∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴PE＝EB＝30海里，
在Rt△PEB中，BP＝22
PE EB
+＝302≈42海里，
故AP＝60海里，BP＝42(海里)；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，
根据题意，得
604224 1.260
x x
-=，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，
答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.
【题目点拨】
本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.
21、商人盈利的可能性大．
【解题分析】
试题分析：根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可．
试题解析：商人盈利的可能性大．
商人收费：80×4
8
×2＝80(元)，商人奖励：80×
1
8
×3＋80×
3
8
×1＝60(元)，因为80＞60，所以商人盈利的可能性大．
22、（1）证明见解析；（2）四边形AEMF是菱形，证明见解析.
【解题分析】
（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
【题目详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵
AD AB AF AE ⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE=DF；
（2）四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
在△COE 和△COF 中，
CE CF ACB ACD OC OC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△COE ≌△COF （SAS ），
∴OE=OF ，
又OM=OA ，
∴四边形AEMF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF ，
∴平行四边形AEMF 是菱形．
23、（1）反比例函数解析式为y=12x ；（2）点B 的坐标为（9，3）；（3）△OAP 的面积=1． 【解题分析】
（1）将点A 的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB ∥x 轴即可得点B 的坐标；
（3）先根据点B 坐标得出OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P 的坐标，再利用割补法求解可得．
【题目详解】
（1）将点A （4，3）代入y=
k x ，得：k=12， 则反比例函数解析式为y=12x
； （2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，
则OC=4、AC=3，
∴2243+，
∵AB ∥x 轴，且AB=OA=1，
∴点B 的坐标为（9，3）；
（3）∵点B 坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=1
3 x，
由
1
3
12
y x
y
x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=1
2
×（2+6）×3﹣
1
2
×6×2﹣
1
2
×2×1=1．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
24、（1）证明略
（2）等腰三角形，理由略
【解题分析】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．。