三角函数及三角恒等变换知识及例题

三角函数知识总结
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{ } 第二象限角的集合为{ } 第三象限角的集合为{ } 第四象限角的集合为{ } 终边在x 轴上的角的集合为{ }终边在y 轴上的角的集合为{ } 终边在坐标轴上的角的集合为{ }
3、与角α终边相同的角的集合为{ }
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r
α=
． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，πrad=180°， 1180
π=
rad ，
180157.3
π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭。

7、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则l r α=，2C r l =+，2112
2
S lr r α==．
例1．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度． （3
）
2.点
P 从圆
心在原点O
的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π6
5
弧长，到达点Q ，则点Q 的坐标是
_______________. 角56π的终边与单位圆交点的坐标为5(cos ,sin )66
ππ
5
3.将65π
rad 化为角度是 ． （216︒）
8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的
距离是(
)
0r r =
>，则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠．
、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦
10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 例1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （A ） A ．－
55 B ．－ 5 C ．552 D ．2
5 2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ B ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α
3、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （A ） A ．25 B ．－2
5
C ．0
D ．与a 的取值有关
4、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=
4
2
x ，则sin α的值为 （A ） A ．
410 B ．46 C ．4
2 D ．－410 5、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=
m m
α，则sin α+cos α=______． 6、已知角θ的终边在直线y = 3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ． 5、12=m 时，1317cos sin =
+αα；12-=m 时，13
7cos sin -=+αα． 6、2
1
sin ±
=θ；33tan =θ．
11.同角三角函数的基本关系：()2
21sin
cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；
()
sin 2tan cos α
αα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
例
12、函数的诱导公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6）
口诀：形如 +K π，当K 为奇数，函数名改变，当K 为偶数时，函数名不变，
符号看象限（原函数的象限）
例1、求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ．
2．设()f θ=)
cos()7(cos 221
)cos(2)(sin cos 22
23θθππθπθθ-++++---+-，求()3f π的值． 13、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当22
x k π
π=+()k ∈Z 时，
max 1y =；当22
x k π
π=-
()k ∈Z ，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z ，
max 1y =；
当2x k ππ=+、()k ∈Z ，
min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周
期性 2π 2π π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
函
数 性
质
14伸缩平移变换
（1）、①sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；②再
将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． （2）①函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω= 的图象；②再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移
ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
例1．f(x)= cos2x 的图像向左平移个单位，得到的解析式是( )
2.要得到函数的图像，只需将f(x)= cos2x 的图像( )
A ． 向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
B ． 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
C ． 向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
D ． 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
单调性
在2,222k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦ ()k ∈Z 上是增函数；
在
32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．
在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；
在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛⎫
-
+
⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数．
对称性 对称中心()(),0k k π∈Z
对称轴()2
x k k π
π=+
∈Z
对称中心(),02k k π
π⎛⎫
+
∈Z ⎪⎝
⎭
对称轴()x k k π=∈Z
对称中心(),02k k π⎛⎫
∈Z
⎪⎝⎭
无对称轴
A ． 向左平移个单位
B ． 向右平移个单位
C ． 向左平移个单位
D ． 向右平移个单位 4将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一个对
称中心为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
15、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：/A /；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ， 则()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<． 例1已知函数
的部分
图象如图
所示．求函数
的解析式；
2、已知函数的部分图像如图所示.求函
数的解析式；
15三角恒等变换：
升幂公式 1+cos α=2
cos 22
α
1-cos α=2
sin
22α
1±sin α=(2
cos
2
sin
α
α
±)
2
1=sin 2α+ cos 2α
sin α=2
cos
2
sin 2α
α
降幂公式
sin 2α
22cos 1α
-=
cos 2α2
2cos 1α+=
sin 2α+ cos 2α=1
sin α·cos α=α2sin 2
1
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍
半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6
α
的二
倍；
απ22
±是
απ
±4
的二倍。

②2304560304515o o
o
o
o
o
=-=-=；问：=12sin π ；=12
cos π
；
③ββαα-+=)(；④
)4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+；
⑤)4
(
)4
(
)()(2απ
απ
βαβαα--+=-++=；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、
割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变
形有： o
o
45tan 90sin cot tan cos sin 12
2
===+=αααα
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公
式有： ； 。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：
_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α
α
；
____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；
=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；
=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；
=+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；
（其中=ϕtan ；
例1．若
为锐角，
，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知
，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3． A ． B ． C ． D ． 1
4． （ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．函数的最小正周期为___________． 6．函数
的最大值为___________.
三角函数专项复习
一、三角函数定义、同角三角函数及诱导公式 1．已知点
在角的终边上，且
，（1）求 和
的值；
(2)求的值。

2．已知角的终边过点.
（1）求
的值；
3．已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
4.已知角的顶点均为坐标原点、始边均为轴的非负半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.
（1）求的值，并确定点所在的象限；
（2）若点的坐标为，求：的值.
5．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
6．已知
（1）化简
（2）若是第二象限角,且,求的值.
7．已知，且
（1）求的值；（2）求的值.
8．已知关于的方程的两根为，，，
（2）求的值．
二、平移伸缩变换
1．函数的图像是由的图像向左平移个单位得到，则的一条对称轴方程是A． B． C． D．
2．要得到函数的图像，只需将f(x)= cos2x的图像( )
A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）
3．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位三、平移伸缩变换和三角函数对称
1．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，则的最小值是（）
A． B． C． D．3
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）
A． B． C． D．
4．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A． B． C． D．
5．将函数（）的图象向左平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为
A． B． C． D．
四、由三角函数图像求
1．函数的部分图象如图所示,则__________．
2．函数的部分图像（如图所示），则的解析式为_______________.
3．函数(是常数，且)的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为；
②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；
③；
④；
⑤，其中正确的是___________.
五、两角和差公式给值求值（凑角）
1、已知，，求的值。

．
2、已知
3、已知是方程的两个实根，
（1）求的值；（2）求的值.
4、已知为锐角，求的值。

5、已知．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．
六、两角和差公式、二倍角公式化简求值
1、
2、化简：
3、求的值.
4、求sin 50°(1+tan 10°)的值.
5不查表求值：．
七、辅助角公式应用
1．已知函数，且当时，的最小值为2.
（1）求的值，并求的单调增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.
2．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值； （2）求函数在区间上的取值范围．
3．已知向量()cos ,1m x =-， 13sin ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函数()()•f x m n m =+. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）已知,,a b c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长， A 为锐角， 1a =， 3c =，且()f A 恰
是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值，求,A b 和三角形ABC 的面积. 4．已知函数
. （1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；
（2）在
中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取
值范围． 5．已知()
2cos 23sin 1a x x =+，， ()cos b y x =，且a b . （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期.
（2）记()f x 的最大值为M ， a ， b ， c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若2A f M ⎛⎫= ⎪⎝⎭
且2a =，求bc 的最大值. 八、三角函数应用
1．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP=，求当角取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
2．某企业一天中不同时刻的用电量(万千瓦时)关于时间(小时,)的函数近似满足
,如图是函数的部分图象(对应凌晨点).
(Ⅰ)根据图象,求的值；
(Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量,电力供应有限；又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 (万千瓦时)与时间(小时)的关系可用线性函数模型模拟.当供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.初步预计停产时间在中午11点到12点间,为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段.
3．如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中，
∴y=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，∴3φ=，φ=，则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）．
令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，可得g（x）的对称轴为x=+，k∈Z，故B不正确，
令2x﹣=,可得到函数的对称中心为： x=+, k∈Z，故A正确；
根据函数f（x）=2sinxsin（x+）=2sinxcosx=sin2x，
故把函数f（x）的图象向右平移个单位，可得g（x）=cos（2x﹣）的图象，
故C、D均不正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：时，函数
为奇函数；时，函数为偶函数.；（2）周期性：
存在周期性，其最小正周期为T=；（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，
求得x；利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴. 2．D
【解析】
【分析】
根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．
【详解】
∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期
∴
ω≥3 所以最小是3
故选：D．
【点睛】
本题考查函数图象的变换，本题解题的关键是看出函数平移以后与原来的函数图象重合，得到平移的大小是函数的整个周期，这里只是整个周期，因此得到不等式．
3．B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将函数解析式化简，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值.
【详解】
所以图象向左平移个单位长度得到，
因为所得的图象关于y轴对称，
所以，
则的最小值为，故选B.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的性质问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有辅助角公式，函数图象平移变换，图象关于y轴对称的条件，三角函数的诱导公式，正确利用公式是解题的关键.
4．B
【解析】
函数的图象向右平移个单位后得到.
此函数图象关于原点对称，所以.所以.
当时，.
故选D.
点睛：由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．5．B
【解析】
【分析】
设出将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．
【详解】
假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到
y=sin（2x+2ρ+）关于点（﹣，0）中心对称
∴将x=﹣代入得到
sin（﹣+2ρ+）=sin（+2ρ）=0
∴+2ρ=kπ，∴ρ=﹣+，
当k=0时，ρ=﹣，向右平移，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在
平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩. 6．C
【解析】
【分析】
将函数（）的图象向左平移个单位长度，可得，图像过
点可知，故当时即可.
【详解】
将函数（）的图象向左平移个单位长度，可得，因为图
像过点可知，由且最小知，当时，即时成立，故选C.
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象和性质，属于中档题.
7．B
【解析】
【分析】
根据三角函数图像平移变化：先伸缩横坐标，再平移，再纵坐标。

即可判断选项。

【详解】
根据三角函数图像平移变化
需向左平移
纵坐标伸长到原来的3倍
所以选B
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变化的简单应用，注意左右平移时的平移量，属于基础题。

8．A
【解析】
【分析】
由三角函数的平移法则求出解析式，令括号内式子等于的对称轴，解出x即可得到对称轴方程，对k赋值，求出复合题意的选项.
【详解】
将图像向左平移后解析式为：，
令，解得：，
对k赋值，当时，，即为一条对称轴方程.
故选A.
【点睛】
本题考查三角函数的平移以及对称轴的求法，在左右平移时注意要将x括起来单独加减，避免出现倍数错误，求对称轴时要注意不要忘记写k.
9．C
【解析】
【分析】
根据两角差的正弦公式可得，再根据三角函数平移变换“左加右减，上加下减”的原则即可得结果.
【详解】
y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos 3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选C.
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦公式在化简中的应用，三角函数的图像变换中的平移变换，属于中档题.
10．C
【解析】分析：选把变形为，再由图像平移到函数的图象，可得结果。

解析：由题意可得函数可化简为，即，所以只需把的图像向左平移个单位可得到函数的图象。

选C.
点睛:三角函数图像平移问题，先化同名函数，再确定是哪个图像做初始图像平移，最后看x整体用什么换了。

11．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)解方程即得t的值，再利用平方关系求.(2)用诱导公式化简再代入和
的值求解.
【详解】
（1）由已知，所以解得，
故θ为第四象限角，；
（2）
=.
【点睛】
(1)本题主要考查三角函数的坐标定义和同角的平方关系，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.
12．(1)20，（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cos和tan的值，进而利用二倍角公式把sin2展开，把sin和cos的值代入即可．
（2）先利用诱导公式使=tan（﹣），再利用正切的两角和公式展开后，把tanα的值代入即可求得答案．
【详解】
(1)由，得，所以
＝
（2）∵，∴
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．
13．(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由题意结合诱导公式化简可得.
(2)由诱导公式首先求得的值，然后结合同角三角函数基本关系求解的值即可. 【详解】
(1) .
(2)，
∴，
∵是第二象限角,
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知，点是的终边与单位圆的交点，由任意角三角函数的定义可求的值；（2）利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可.
【详解】
（1）由已知，点是的终边与单位圆的交点，由任意角三角函数的定义知，
（2）
【点睛】
本题考查任意角三角函数的定义，导公式及同角三角函数基本关系式的应用。

是基础题.
15．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用平方，转化求解sinxcosx，通过sinx﹣cosx的符号，利用平方转化求解即可；
（2）由，求出正弦函数以及余弦函数的值，然后求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴，，
∵，∴sinx＜0，cosx＞0，
∴sinx﹣cosx＜0，，
∴；
（2）由（1）知，，解得，，
．
【点睛】
本题考查三角函数化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，是中档题．
16．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平方可解得，利用诱导公式化简
，从而可得结果；（2）结合（1）利用得，
，由角终边经过点，可得，原式化为，从而可得结果.
【详解】
（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角终边经过点，
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
17．（1）第二或第四象限；（2）
【解析】分析：（1）利用两角差的正切公式即可求出，再根据的符号判断角的终边所在象限，从而即可得点所在的象限；
（2）利用诱导公式以及弦切互化化简式子，并整理即可得出答案.
详解：（1）
；
因为，所以角的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.
（2）由知，
.
点睛：同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
18．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由韦达定理得，再利用同角三角函数的基本关系，化简即可求出结果.
（2）由（1）可知，两边取平方整理得，结合
及象限角的符号，得，再利用同角三角函数的商数关系化简，即可求得答案.
【详解】
解：关于的方程的两根为，，
由韦达定理得，
（1）＝
（2）因为，所以，所以，
又，所以，，
所以．
【点睛】
本题考查一元二次函数根与系数关系，考查同角三角函数的基本关系，考查、和
知一求二的灵活运用，角范围的判断与同角三角函数关系的转换是解题关键，属于中档题.
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简，即可求出结果.
（2）根据三角函数的平方关系和象限角的符号，化简即可求出.
【详解】
解：（1）原式＝
（2）原式＝
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的平方关系，准确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律是解题关键.
20．(Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用诱导公式和化弦为切的方法，即可求得答案.
（Ⅱ）将已知条件平方，求得，结合的范围及,求得
，联立方程组，即可求出求的值.
【详解】
解：（Ⅰ）原式
（Ⅱ）因为①，
两边平方得解得
又因为所以
所以即②，
联立①②可得，
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的化弦为切化简求值，考查“”、“”和“”知一求二的灵活运用，属于中档题.
21．当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【解析】
【分析】
如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
【详解】
如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．
所以AB=OB﹣OA=cosαsinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin2α
=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣
=sin（2α+）．
=﹣=．
由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S
最大
因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
【点睛】
本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．
22．(Ⅰ) ；(Ⅱ) 11点15分到11点30分之间.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据图象的最值求，根据周期求出，利用特殊点求出的值；(Ⅱ)由，设，则为该企业的停产时间，易知在上是单调递增函数，确定从而可得结果.
【详解】
(Ⅰ)由图象知T=2(12-6)=12,从而ω==,
所以
代入(0,2.5)得φ=+2kπ,k Z,
因为0<φ<π,
所以φ=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
令
设h(t0)=0,则t0为该企业的停产时间.
易知h(t)在(11,12)上是单调递增函数.
由h(11)=f(11)-g(11)<0,h(12)=f(12)-g(12)>0,
又,
所以t0∈(11,11.5),即11点到11点30分之间(大于15分钟),又h(11.25)=f(11.25)-
所以t0∈(11.25,11.5),即11点15分到11点30分之间(恰好15分钟),
所以估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产.
【点睛】
本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及三角函数的恒等变换及性质，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：求三角函数的解析式考查性质，利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.
.
23．（1）；（2）
【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.
(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.
详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，
由已知得，.
，，
所以.
故，
所以，
当时，.
(2)因为，所以，
当且仅当，即时，取得最大值.
点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．(1)(2)3
【解析】
【分析】
（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值
2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积
，解得，最后由余弦定理可求出.
【详解】
（1）
故函数的最小正周期，解得.
（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积
，解得.由余弦定理可得
，所以.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．
25．（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
(1)先化简函数得f(x) ,根据解得.(2)利用不等式的性质和三角函数的图像和性质逐步求出函数
在区间上的取值范围．
【详解】 （1）
．
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．
（2）由（1）得．
因为，所以，
所以，
因此
，即的取值范围为 .
【点睛】 （1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数
的最值.
26．（1）π；（2）6A π
=，或， 3S =3S =. 【解析】试题分析：本题主要考查平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函。