2015年高考重庆理科数学试题与答案(word解析版)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共
10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（ 1）【 2015 年重庆，理 1】已知集合 A 1,2,3 ， B 2,3 ，则（ ）
（A ）A B
（B ）A B
（ C ） A üB
（D ） B ü A
【答案】 D
【解析】 A={1,2,2} ， B={2,3}
B A 且 B A B A ，故选 D ．
（ 2）【 2015 年重庆，理 2】在等差数列 a n 中，若 a 2
4 ， a 4 2 ，则 a 6
（
）
（A ） 1 （B ） 0
（C ）1
（D ） 6
【答案】 B
【解析】利用 a 2 +a 6 2a 4 可求得 a 6 0 ，故选 B ．
（ 3）【 2015 年重庆，理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温（
C ）数据的茎叶图如右，则这组
数据的中位数是（ ）
（ A ）19 （B ）20 （C ） 21.5 （D ）23
【答案】 B
【解析】这组数据是
8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 ． 中位数是
20+20
20 ，故选 B ．
（ 4）【 2015 年重庆，理 4】“ x 1 ”是“ log 1
x
2
2
”的（
）
2
（ A ）充要条件
（ B ）充分不必要条件
（ C ）必要不充分条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 log 1 (x
2) 0 x
1，故选 B ．
2
（ 5）【 2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （
）
（A ）
1
（B ）
2
（C ）
1
2
（D ） 2
2
【答案】 A 3 3
3 3
【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：
1 1
2 1
1
( 12 ) 2
1 ，故选 A ．
3
2
2
3
（ 6）【 2015 年重庆，理 6】若非零向量
2 2
b
3a 2b ，则 a 与 b 的夹角为（
）
a, b 满足 | a |
3
| b |，且 a
（ A ）
4 （ B ）
（C ）
3
（ D ）
【答案】 A
2
4
【解析】 (a
b)
(3a 2b )
(a b) (3a
2b) 0 ，结合 | a |
2 2
| b |，可得 a b
2
| b | ，
3 3
cos
a,b
a b 2 , a, b [0, ] a,b 4，故选 A ．
| a || b | 2
（ 7）【 2015 年重庆，理 7】执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件
是（ ）
（ A ） s 3 5 （ C ） s 11 （ D ） s 15
4 （ B ） s 12
24
【答案】 C 6
【解析】
s 0,k
0是
k
2， s
1
是 ，
k
4，s 1 + 1
是 ，
k 6，s 1 + 1 + 1 是
2
2 4
2 4 6
1
k 8， s 1 + 1 + 1 + 1
否 ，判断框内应该填 s 1 + 1 + 1 =
11
，故选 C ．
2 4 6 8 2 4 6 12
（ 8）【 2015 年重庆，理 8】已知直线 l ：x ay 1 0 a R 是圆C ：2
y 2
4 x 2 y 1 0 的对称轴，过点 A 4, a
x
作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则|AB| （ ）
（A ）2
（B ）4 2
（C ）6
（D ） 2 10
【答案】 C
【解析】 C : x-2
2
y-1 2
4 ，其圆心坐标为 C （2,1），半径 r
2 ．由题意可知直线 l : x ay 1
0( a R) 是圆的
直径所在直线，它过圆心
，所以 2 a
1 1 0 a
1 A( 4,
1)
AC
2 10 ．由几何图形可
C （2,1）
知， AB
AC 2 r 2
40 4
6 ，故选 C ．
cos(
3 ) （ 9）【 2015 年重庆，理 9】若 tan
2tan ，则
10 ＝（
）
5
sin(
)
5
（A ）1
（B ） 2
（C ）3
（D ）4
【答案】 C
2sin
【解析】
tan 2 tan
sin
5
cos
，
5
cos
3
5
cos(
) cos[(
) ] sin( ) sin cos cos
sin cos
10
5
2
5
5
5
sin(
5 )
sin( ) sin( ) sin cos
cos
sin cos
5 3
5
5 5
cos(
)
10
将
式带入上式可得：
3 ，故选 C ．
sin(
)
5
2
2
（ 10）【 2015 年重庆，理 10】设双曲线
x
y
1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F 作 AF 的垂线
a 2
b 2 与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D ．若 D 到直线 BC 的距离小于 a
a 2
b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（
）
（ A ） 1,0
0,1 （ B ）
, 1
1,
（ C ）
2,0
0, 2
（ D ）
,
2
2,
【答案】 A
b 2
AF
c
a, BF
b 2
． 在 Rt ABD
中，由射影定理有：
【 解 析 】 由 题 意 可 得 ： A(a,0), F (c,0), B(c, )
a b
a
2
BF 2
AF DF
DF BF 2 ( a )
(c
a)2 (c a)
．即点 D 到直线 BC 的距离为 (c a) 2 ( c
a)
，由题
AF c
a
2
a 2
a)2
(c
a
意 得 ：
(c a)
2
2
a c 0
b
1．而双曲线的渐近线斜率
a 2
< a
a b
a
b
k
k
( 1,0)
(0,1) ，故选 A ．
a
二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．
（ 11）【 2015 年重庆，理 11】设复数 a bi a, b R 的模为
3 ，则 a
bi a
bi
．
【答案】 3
【解析】复数
a bi(a,
b R) 的模为
3
a 2
b 2
3
a 2
b 2 3 ． (a
bi)( a bi)
a 2
b 2
3 ．
2
1
5
（ 12）【 2015 年重庆，理 12】 x 3
2 的展开式中 x 8
的系数是
（用数字作答） ．
x
【答案】
5
2
7 r
r
3
5 r
1
r r 1
15
7r
3 1 5 8
【解析】
T
r 1
) ( )
2
15
8 r 2 ． 故 (x
C 5 ( x
2 C 5
2r x
2
2 ) 的 展 开 式 中 x 的 系数 为
x
x
2 1
5
C 5
2
．
2 2
（ 13）【 2015 年重庆，理 13】在 ABC 中，
，AB
2 P ABC
AD
3，则 AC
B 120 的角平分线
．
，
【答案】 6
【解析】由正弦定理可得：
AD
AB
sin ADB
2
ADB 45
BAD 15
BAC 30 ，
sin B
sin
ADB
2
C 30 ，再由正弦定理可得： AC AB AC 6 ．
sin B sin C
考生注意：（ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
（ 14）【 2015 年重庆，理 14】如图，圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，
若 PA 6，AE
9， PC
3， CE: ED
2:1 ，则 BE
．
【答案】 2
【解析】 由切割线定理可得： PA 2 PC PD
PD 12 CD 9
CE 6, ED 3 ．再由相交弦
定理可得： AE BE CE DE BE 2 ．
（ 15）【 2015 年重庆，理
15】已知直线 l 的参数方程为
x 1 t
y
1 （ t 为参数），以坐标原点为极
t
点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为
2
cos2
4(
3
5
0,
) ．则直线
4
4
l 与曲线 C 的交点的极坐标为
．
【答案】 2,
【解析】直线 l 的直角坐标方程为
y
x 2 ．
2
cos2 4
2
(cos 2
sin 2 ) 4 x 2 y 2 4. 由
y
x 2
x
2
2
2
．由
3
5
． x 2
y 2
4
y 0 x y
2 y
sin
0及 4
4 =
故直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为
（2, ．
）
（ 16）【 2015 年重庆，理 16】若函数 f ( x)
x 1
x a 的最小值为 5，则实数 a
__．
【答案】 4 或 -6
【解析】分情况讨论： （ 1）当 a
1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知： f x 在 a 处取得
最小值 5，所以 | a 1| 5
a
6 ；（ 2）当 a 1 时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：
f x 在 a 处取得最小值 5， | a
1| 5 a 4 ，综上，可得实数 a
6 或 4．
三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（ 17）【 2015 年重庆，理 17】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统
习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，
从中任意选取 3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到
1 个的概率；
（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求
X 的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）令
A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则
P A
C 21C 31C 51 1 ．
C 103
4
（Ⅱ） X 所有可能取值为 0,1,2
，且PX
C 83 7
1 C 21C 82
7
P X
2
C 22C 81
1
3
， P X
3
， 3
．
C 10
15 C 10
15
C 10
15
故分布列见表：
X
1
2
3
P
7 7 1
15
15
15
且 E X
7 1 7 2 1 3
（个）．
15
15 15
5
（ 18【） 2015 年重庆，理 18（】本小题满分 13分，（ Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）设 f x
sin
x sin x
3 cos 2 x ．
2
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论 f
x 在
, 2 上的单调性．
3
6
解：（Ⅰ）由题 f x
cos x sin x
3cos 2
x
1
sin 2x
3 1 cos2 x sin
2x
3
3
，故 f
x 的最小正周期
2
2
2
T
，最大值为
2
2 3 ．
（ Ⅱ ） 由 x 2
知 0 2x
， 从 而 当 0 2 x
即 x 5 时 ， f x 单 调 递 增 ； 当
,
3
3
2
12
6
3
6
2 2 x
3
即
5
x 2 时， f x
单调递减．因此， f x
在
6
, 5
单调递增， 在 5 , 2
单
12
3
12
12 3 调递减．
（ 19）【 2015 年重庆，理 19】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分）如图，三棱锥 P
ABC 中，
PC 平面 ABC ，PC
3， ACB
2 ，D, E 分别为线段 AB, BC 上的点，且 CD
DE
2 ，CE 2EB
2 ．
（Ⅰ）证明： DE 平面 PCD ；
（Ⅱ）求二面角 A PD C 的余弦值．
解：（Ⅰ）因 PC 平面 ABC ，DE 平面 ABC ，故 PC DE ．又 CD DE 2 ，CE 2 ，故 CDE
为等腰直角三角形，且 CD DE ．因 PC CD C ， PC 平面 PCD ， CD 平面 PCD ， 所以 DE 平面 PCD ．
（Ⅱ）如图，取 CE 的中点 F ，连 DF ．由（Ⅰ）知
CDE 为等腰直角三角形，故
DF
CE ， DF CF
FE 1 ．又 ACB
，故 DF / /AC ，因此 DF
FB
2
，从而 AC
3 ．
2
AC
CB 3
2
z
P
以 C 为原点， CA, CB, CP 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C
xyz ．则 C 0,0,0 ， A
3
,0,0 ，E 0,2,0 ， D 1,1,0 ， P 0,0,3 ，故 DA
1
, 1,0
，
2
2
DP
1, 1,3 ， DE
1,1,0 ．设 n 1
x 1 , y 1 , z 1 为平面 APD 的法向量，则
n 1 DA 0
n 1 DP
C
F E
y
B
A
D
x
x 1 2y 1
，取 y 1
1 得 n 1
2,1,1 ．由（Ⅰ）知 DE
平面 PCD ，故 DE 即为平面 PCD 的法
即
y 1 3z 1 x 1 0
向量．因
cos n 1, DE
n 1 DE 3 ，故所求二面角 A PD C 的余弦值为
3 ．
| n 1 | |DE|
6
6
（ 20）【 2015 年重庆， 理 20】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 5 分）设函数 f x
3x 2 ax a R ．
e x
（Ⅰ）若 f x 在 x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线
y f x 在点 1, f 1
处的切线方程；
（Ⅱ）若 f
x 在 3,
上为减函数，求 a 的取值范围．
解：（Ⅰ）由题 f x
6x a e x
3x 2
ax e x
3x 2
6 a x a ，因 f x 在 x
0 处取得极值， 故 f
0 ，
e
2x
e
x
得 a 0 ．因此 f
x
3x 2 e x
， f
x
6x 3x 2 e x
．从而 f
1
3
， f
1
3
，所以曲线
y
f x 在
e
e
4
点 1, f 1 处的切线方程为 y
3 3 x
1 即 3x ey
0 ．
e
e
（Ⅱ）由题知
f x
0 对 x
3 恒成立，故
2
6 a x a 0 即 a
3 3 x
1 对 x
3 恒成立．显然
3x
x 1
g x
x 3
3 x
1在 3,
单调递减，故 g max x
g 3
9
，所以 a 9 ，即 a 的取值范围为
1 2
2
9
．
,
2
（ 21）【 2015 年重庆，理 21】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）如图，椭圆
2 2
x y 1 a
b 0 的左右焦点分别为
F 1, F 2 ，过 F 2 的直线交椭圆于 P, Q 两点，且
2
2
a
b
PQ PF 1 ．
（Ⅰ）若 | PF 1 | 2 2 ，|PF 2| 2 2 ，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 | PF 1 | | PQ |，求椭圆的离心率
e ．
解：（Ⅰ）由题 2a |PF 1 | |PF 2|
4 ，故 a
2 ．又 4c 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 12 ，故 c
2
3 ，因此 b
2
a
2
c 2
1 ，从
2
而椭圆方程为
x
2 1 ．
4
y
（Ⅱ）连 F 1Q ，由题 4a |F 1P| |PQ|
| QF 1 |
2 2 |F 1 P ，|故 |F 1P| 2 2 2 a ，从而 | F 2P | 2a |F 1P|
2 2 1 a ，因此 4c
2
| PF 1 |2
| PF 2 |
2
4 9
6 2 a 2
，所以 e 2 9 6 2
6
32
，得 e
6 3 ．
（ 22）【 2015 年重庆，理 22】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）在数列
a n 中， a 1
3 ，
a n 1a n a n 1
2
0 n N ．
a n
（Ⅰ）若 0 ， 2 ，求数列 a n 的通项公式；
（Ⅱ）若
1 k 0 N , k 0
2 ，
1 ，证明： 2
1 a k 0 1 2
1
．
k 0
3k 0 2k 0
1
1
解：（Ⅰ）由
0 ，
2 得 a n 1
a
n
2a n 2 ．因 a 1 3 0 ，故 a n
0 ，得 a n 1 2a n ．因此 a n 是首项为
3 公比为
2 的等比数列，从而
a n
3 2n 1 ．
（Ⅱ）由题 a n 1 a n
1 a n 2
，因 a 1 3 0 ，故 3 a 1 a 2
a n
0．
k 0
因 a n 1
a n 2 a n 1 1
1
，即 a n 1
a n
1
1
1 ，
1
k 0
k 0
k 0 a n 1 k 0
k 0 a n 1
a n
k 0
故 a k
1
a 1
k 0
a i 1
a i
3
k 0
1 1 1 3 k
1
1
1 2
1 ，
i 1
i 1
k 0 k 0 a i 1 i 1
k 0 3k 0 1
3k 0
1
因此 a 1
a 2
a k 0
a k 0 1
2 ，从而 a k 0
1
3 k 0
1
1
1 2
1
．
k 0 2k 0
1
1
i 1
2k 0 综上可知 2
1 a k 1
2
1
．
3k 0 1
2k 0
1
5。