对勾函数图象性质

对勾函数图象性质之南宫帮珍创作
对勾函数:数学中一种罕见而又特殊的函数。

如图
一、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质
对勾函数是数学中一种罕见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如
f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：
当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变更。

但
是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变而已。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)
对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：
(三)
对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定
了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性 (五)
对勾函数的渐进线
由图像我们不难得
到：
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
y
X
O
y=ax
(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函
数，
二、类对勾函数性质探讨
函数，在为简单的单调函数，不予讨论。

在有如下几种情况：(1)
(2)
????????????????????????????????
设，，则，其定义域为
(1)时，，在上分别单调递增。

故在为单调递增函数。

(2)时，，在上分别单调递减。

故在为单调递减函数
(3)图像略
当时，，。

当且仅当，即取等号。

当时，
，当且仅当，即（因为，故舍掉）取等号。

4)
当时，，。

当且仅当，即取等号。

当时，，当且仅当，即取等号。

四、对勾函数练习：
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
（1）求
(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围
6.: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 , ]内有解，则a的取值范围是__________
的最小值为____________；函数
的最大值为_________。

的最大值为。

9、若，则的最值是。

的最小值是。

在上恒成立，则的取值范围是。

的最值。

13.
14.。