备战中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题含答案

备战中考数学专题复习分类练习二次函数综合解答题含答案
一、二次函数
1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交
于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为
2
8
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF•OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣3
2
＜0，
∴当t=3
2时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段
=
∴P点到直线BC
27
2
8
⨯
=，
此时点P的坐标为（3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；
（4）5
2
或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A （4，0），B （1，3）代入到y ＝ax 2
＋bx 中，得1640
3a b a b +=⎧⎨
+=⎩
，解得1
4a b =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ．
（2）∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2．
又C ，B 关于对称轴对称，∴C （3，3）．∴BC ＝2，∴S △ABC ＝1
2
×2×3＝3． （3）存在点P ．作PQ ⊥BH 于点Q ，设P （m ，－m 2＋4m ）． ∵S △ABP ＝2S △ABC ，S △ABC ＝3，∴S △ABP ＝6． ∵S △ABP ＋S △BPQ ＝S △ABH ＋S 梯形AHQP
∴6＋
12×（m －1）×（3＋m 2－4m ）＝12×3×3＋1
2×（3＋m －1）（m 2－4m ） 整理得m 2－5m ＝0，解得m 1＝0（舍），m 2＝5，∴点P 的坐标为（5，－5）． （4）
5
2
或5． 提示：①当以M 为直角顶点，则S △CMN ＝52
； ②当以N 为直角顶点，S △CMN ＝5；
③当以C 为直角顶点时，此种情况不存在．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
4．如图，在平面直角坐标系中，直线4
83
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2
4y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；
（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228
833
y x x =-++； （2）t 的值为3011或50
13
； （3）t 的值为
103或6017或258
； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）. 【解析】
（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用
△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.
解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8
a a c c -+==，解得2
{
38
a c =-
=， ∴228
833
y x x =-
++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴30
11t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴50
13
t =； 综上所述，t 的值为
3011或
5013
. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103
t =
； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，
AH=
()31025
t -，∴()61025
t t -=
，∴6017
t =
； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35
t ，∴61025t t -=
，∴258
t =； 综上所述，t 的值为
103或6017或
25
8
. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴228
8833
x x -++=-，解得227x =±，∵x ﹥0，∴227x =+，∴()
227,8+-.
综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
5．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）300，9+93
2
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t ＜3时，②3≤t ＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得PE=33， 所以S 四边形PEAD =
12×（33+3）×3=993+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°， 在Rt △ADF 中，由AD=3，得AF=3，所以t=3 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t ＜3时， PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，AQ=3t ，∴S=
12×t×3t=3
t ； ②当3≤t ＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴BF=33-t ，S △ABD =93
， ∵∠FBK=∠FKB ，∴FB=FK=33-t ，KH=KF×sin600=9-3t
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK =23993,424
t t -
+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=
9-333t +，∴S=233233633
-t t --++
． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
6．二次函数y=x 2-2mx+3（m ＞
）的图象与x 轴交于点A （a ，0）和点B （a+n ，0）（n
＞0且n 为整数），与y 轴交于C 点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC 的面积； （2）求证：a=m-；
（3）线段AB （包括A 、B ）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a 的值． 【答案】（1）y=x 2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=
−．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；
（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．
试题解析：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x2-4x+3；
②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC的面积=×2×3=3；
（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B关于直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）
①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，
∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，
∴m2=，
∴m=，m=-（舍去），
∴a=−，
综上所述：a=1或a=−．
考点：二次函数综合题．
7．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣110）或P
（﹣110P（﹣1，6）或P（﹣1，5
3
）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）
63 8，
315
,
24
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即
可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y 轴的交点，因此C 的坐标为（0，3），根据M 、C 的坐标可求出CM 的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP ＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P 作PQ ⊥y 轴于Q ，如果设PM ＝CP ＝x ，那么直角三角形CPQ 中CP ＝x ，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ ＝3﹣x ，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标．
②当CM ＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM ＝C P 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y ＝3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；
（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE ＝S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；
（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，
∴其对称轴为x ＝22
-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，
∴C （0，3），M （﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝5
3
，
∴P点坐标为：P1（﹣1，5
3
）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±10，
∴P点坐标为：P2（﹣1，10）或P3（﹣1，﹣10）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣
1，6）或P（﹣1，5
3
）；
（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．
设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．
将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得
23 k t
k t
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得
1
1
k
t
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．
将x＝﹣1代入，得y＝2，
即：Q（﹣1，2）；
（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝1
2BF•EF+
1
2
（OC+EF）•OF
＝1
2
（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+
1
2
（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝﹣3
2
a2﹣
9
2
a+
9
2
＝﹣
3
2
（a+
3
2
）2+
63
8
，
∴当a＝﹣3
2时，S四边形BOCE最大，且最大值为
63
8
．
此时，点E坐标为（﹣3
2
，
15
4
）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
8．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=1
2
×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解
析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
103
b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B （3，0），
∴BC=32， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3
∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；
②当PB=PC 时，OP=OB=3，
∴P 3（0，-3）；
③当BP=BC 时，
∵OC=OB=3
∴此时P 与O 重合，
∴P 4（0，0）；
综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，
∴S △MNB=12
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=--+.
（2）3210.
（3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），
∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.
∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.
∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.
∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.
∴△PBC 的周长最小是：3210.
（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）
∴()22
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴
()
22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.
②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
10．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；
（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37
-
，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）．
【解析】 试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D 的坐标；
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；
（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．
试题解析：（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，
2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．
当2
23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）．
∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．
∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3
k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-
，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37
-，0）．
（3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{
30c a c =-+=，解得：1{3
a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3． 假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．
11．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3 2
2
a b
b
a
+-
⎧
⎪
⎨
-⎪
⎩
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213
x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x 2-4x=-5
∴点P 的坐标为（-1，-5），
又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1
所以BP 与x 轴交点为（
14，0） ∴S △PAB=
115531524
⨯⨯+= 【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
12．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122
y y +)．
【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；
(3)点N(43，﹣73
)． 【解析】
【分析】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．
【详解】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，
∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由(2)知：点N是PQ的中点，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：
45
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得：
1
1 k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣4
3
，即点Q(﹣
4
3
，
1
3
)，
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N(4
3
，﹣
7
3
)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．
13．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41
或
5-41 2；②点M的坐标为（
13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得
到
PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；
②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（
12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125
，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩
＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13+62
x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标． 详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），
当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15
a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5），
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴
AM=2
AB=2
， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴
PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=2PQ=2×22=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41
2
，m2=
5-41
2
，
综上所述，P点的横坐标为4或5+41
或
5-41
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
14．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+5
3
x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣
2）．点E是直线y=﹣1
3
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=21
4
，M坐标为（
3
2
，3）；（
3）F坐标为（0，﹣
3
2
）．
【解析】
【分析】
1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
20
162
3
2
a c
c
⎧
++=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
2
a
3
2
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，即二次函数解析式为y=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
联立一次函数解析式得：
2
2
25
2
33
y x
y x x
﹣
﹣
=+
⎧
⎪
⎨
=++
⎪⎩
，
消去y得：﹣
1
3
x+2=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，。