【小初高学习】2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.2两直线的位置关系真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两直线的位置关系

真题演练集训 理 新人教A 版

1．[2016·四川卷]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

－ln x ，0<x <1，

ln x ，x >1

图象上点P 1，

P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的

取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(0，＋∞)

D ．(1，＋∞)

答案：A

解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)， 由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1

x 2

.

又切线l 1：y －ln x 1＝1

x 1

(x －x 1)，

l 2：y ＋ln x 2＝－1

x 2

(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y －ln x 1

＝1

x 1

x －x 1

，y ＋ln x 2

＝－1

x

2

x －x 2

，

解得x P ＝

2x 1＋

1

x 1

.

所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2

x 1＋

1

x 1

，

因为x 1>1，所以x 1＋1

x 1

>2，

所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.

2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )

A. (0,1)

B. ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－

22，12 C. ⎝ ⎛⎦

⎥⎤1－

22，13 D. ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫13，12 答案：B

解析：如图①所示，点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b a

，0在线段AB 上时，

可求得E ⎝

⎛⎭

⎪

⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1，

则S △EFB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝12S △ABC ＝1

2，

整理得a ＝

b 2

1－2b

， 由⎩⎪⎨⎪⎧

－1≤－b

a <0，a ＝b

2

1－2b >0，

可解得13≤b <12

；

①②

如图②所示，当点F ⎝

⎛⎭

⎪⎫－b a ，0在点A 左侧时，可求得E ⎝

⎛⎭

⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1，G ⎝

⎛⎭

⎪

⎫1－b a －1，a －b a －1， 则S 四边形ABEG ＝S △BEF －S △AFG ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋b a ·a －b a －1＝12S △ABC ＝12

，

整理可得a 2

＝－2b 2

＋4b －1，

由⎩⎪⎨⎪⎧

－b a <－1，

a 2＝－2

b 2＋4b －1>0，

可解得1－

22<b <13或1<b <1＋2

2

(舍去)． 综上可得，b 的取值范围为⎝

⎛

⎭

⎪⎫

1－

22，12，故选B. 3．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2

＋b x

(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．

答案：－3

解析：由曲线y ＝ax 2

＋b x

过点P (2，－5)可得 －5＝4a ＋b

2.①

又y ′＝2ax －b x

2，

所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－7

2

.②

由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.

4．[2014·四川卷]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．

答案：5

解析：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．

当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；

当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，

∴△APB 为直角三角形， ∴|PA |2

＋|PB |2

＝|AB |2

＝10，

∴|PA |·|PB |≤|PA |2

＋|PB |2

2＝10

2

＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．

课外拓展阅读

直线过定点及直线的距离最值问题

专题一 直线过定点问题

直线l 的方程中除去x ，y 还有其他字母(称为参数)，若直线l 过一个定点P ，求定点P 的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P 的坐标．

[典例1] 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，求过两点

Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程．

[思路分析] 由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程． [解] 因为点P (2,3)在已知直线上， 所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0， 所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0， 即

b 1－b 2a 1－a 2＝－2

3

， 所以所求直线方程为y －b 1＝－2

3(x －a 1)．

所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.

[典例2] 点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．