函数的性质练习题

函数的性质练习题
1.已知函数$f(x)=x^2+2(a-1)x+2$在区间$(-\infty,4]$上是减函数，则实数$a$的取值范围是（）。

答案：$a\leq 3$。

2.下列函数中，在区间$(0,1)$上是增函数的是（）。

A。

$y=x$；B。

$y=3-x$；C。

$y=\frac{2}{x}$；D。

$y=-x+4$。

答案：B。

$y=3-x$。

3.若函数$f(x)=4x-kx-8$在$[5,8]$上是单调函数，则$k$的取值范围是（）。

答案：$[40,64]$。

4.已知函数$y=x$的值域是$[1,4]$，则其定义域不可能是（）。

A。

$[1,2]$；B。

$[-2,2]$；C。

$[-2,-1]$；D。

$[-2,-
1]\cup\{1\}$。

答案：C。

$[-2,-1]$。

5.函数$y=\frac{x}{x+1}$的图像是（）。

答案：略。

6.设$M=\{y|y=3-x,x\in\mathbb{R}\}$，
$N=\{y|y=x+3,x\in\mathbb{R}\}$，则$M\cap N=$（）。

答案：$(3,4]$。

7.用单调性定义证明：函数$f(x)=\frac{2}{x}-x$在$(0,+\infty)$上为减函数。

答案：对于$x_1>x_2>0$，有$f(x_1)-
f(x_2)=\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}-(x_1-x_2)=\frac{2x_2-
2x_1}{x_1x_2}-(x_1-x_2)<0$，故函数$f(x)=\frac{2}{x}-x$在$(0,+\infty)$上为减函数。

8.若$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数，且$f(1)=2$，则（）。

⑴求$f(1)$的值；
⑵若$f(6)=1$，解不等式$f(x+3)-f(x)<2$。

答案：⑴$2$；⑵$x\in(0,3)$。

9.已知函数$f(x)=x^2+2ax+2$，$x\in[-5,5]$。

①当$a=-1$时，求函数的最大值和最小值；
②求实数$a$的取值范围，使$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数。

答案：①最大值为$6$，最小值为$-4$；②$a\in[-3,1]$。

10.设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，
$f(xy)=f(x)+f(y)$。

⑴求$f(0)$、$f(1)$的值；
⑵若$f(3)=1$，求不等式$f(x)+f(x-2)>1$的解集。

答案：⑴$f(0)=0$，$f(1)=0$；⑵$x\in(-\infty,-
\sqrt{3})\cup(0,\sqrt{3})$。

11.已知函数$f(x)=\begin{cases}4-x^2,&x>0\\2,&x=0\\1-2x,&x<0\end{cases}$。

1）画出函数$f(x)$的图像；
2）求$f(a^2+1)$和$f(f(3))$的值；
3）当$-4\leq x<3$时，求$f(x)$取值的集合。

答案：（1）略；（2）$f(a^2+1)=3-a^2$，$f(f(3))=f(1)=0$；（3）$f(x)\in[1,2]\cup[3,4)$。

12.探究函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$在$(0,+\infty)$上的最小值，并确定取得最小值时$x$的值。

列表如下：
x$ 0.5 1.7 1.92 2.1 2.2 2.33 4.57 …
f(x)$ 8.5 4.00 3.00 3.90 4.40 4.57 7.96 …
请观察表中$y$值随$x$值变化的特点，完成以下问题。

答案：$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，最小值为$4$，
取得最小值时$x=2$。

1.函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$在区间$(0,2)$上递减；函数
$f(x)=x+\frac{4}{x}$在区间$(2,+\infty)$上递增。

当$x=2$时，$y$取得最小值为$6$。

2.设函数$f(x)$的定义域为$R$，当$x>0$时，$f(x)>1$，
且对任意$x,y\in R$，都有$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$，且$f(2)=4$。

1）求$f(0)$和$f(1)$的值；
2）证明：$f(x)$在$R$上为单调递增函数；
3）若不等式$f(x)\cdot f(1+x)<2$成立，求$x$的取值范围。

3.已知$1\leq a\leq 3$，若函数$f(x)=ax-2x+1$在区间$[1,3]$上的最大值为$M(a)$，最小值为$N(a)$，令$g(a)=M(a)-
N(a)$。

1）求$g(a)$的函数表达式；
2）判断函数$g(a)$在区间$[1,3]$上的单调性，并求出
$g(a)$的最小值。

4.定义在$R$上的偶函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数，则（B）$f(-\pi)<f(-4)<f(3)$。

5.已知$f(x)=ax+bx-4$，其中$a,b$为常数，若$f(-2)=2$，
则$f(2)=-6$。

6.若函数$f(x)=4x-kx-8$在$[5,8]$上是单调函数，则$k\in (-\infty,40]$。

7.已知函数$f(x)=x+a-\frac{x-a}{x+a}$，$g(x)=\frac{(x-1)^2}{x+1}$，$h(x)=\begin{cases} -x+x^2.& x\leq 2 \\ 2x+x^2.& x>2 \end{cases}$，则$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，
$h(x)$为奇函数。

8.函数$F(x)=f(x)-f(-x)$在$R$上一定是奇函数。

3C。

奇偶性判断题
1.判断函数f(x)=1+x/(2-x)的奇偶性。

答案：非奇非偶函数。

2.判断函数f(x)=(1-x)/(1+x)的奇偶性。

答案：偶函数。

3.判断函数f(x)=x/(1+x^2)的奇偶性。

答案：奇函数。

4.判断函数f(x)=cos(x)+sin(x)的奇偶性。

答案：非奇非偶函数。

5.判断函数f(x)=x^3的奇偶性。

答案：奇函数。

6.判断函数f(x)=cos(x^2)的奇偶性。

答案：非奇非偶函数。

7.下列判断正确的是（）
A。

函数f(x)=1+x^2-2x是奇函数
B。

函数f(x)=(1-x)是偶函数
C。

函数f(x)=x+x^2-1是非奇非偶函数
D。

函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数
8.设函数f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2-3x，
则f(-2)等于（）
答案：1
9.设f(x)为定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=-f(x)，当-
1≤x≤1时f(x)=x，则f(7.5)等于
答案：-1.5
10.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是增函数，则f(-2)与f(a^2-2a+3)（a∈R）的大小关系是（）
答案：f(-2)≥f(a^2-2a+3)
11.若函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x-1，则当x<0时，有（）
答案：f(x)≤-f(-x)
12.偶函数y=f(x)在[-2,-1]上有最大值-2，则该函数在[1,2]上的最大值=
答案：-2
13.函数f(x)=a-1/x (x≠0)是奇函数，则实数a的值为（）
答案：0
14.若函数f(x)=(k-2)x+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是（）
答案：(-∞,-1/2)
15.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=x/(1-x^2)，则常数m=0，
n=1；f(x)的单调区间是(-1,0)和(0,1)。

16.函数y=(x+m)/(x^2+nx+1)，则常数m=0，n=-1；f(x)的
单调区间是(-∞,-1)和(1,∞)。

17.已知函数f(x)=x+1+x-1，证明f(x)函数是偶函数；利用
绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；写出函数的值域。

答案：
1) 易证f(x)为偶函数。

2) 当x≥1时，f(x)=2x；当-1<x<1时，f(x)=2x-1；当x≤-1时，f(x)=2x+2.所以f(x)的解析式为f(x)=|2x+2|-1，函数图象为：
3) 函数的值域为[-1,∞)。

18.(1) 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且2f(x)+f(-x)=x，试判断f(x)的奇偶性。

答案：f(x)为奇函数。

2) 函数f(x)定义域为R，且对于一切实数x,y都有
f(x+y)=f(x)+f(y)，试判断1/x f(x)的奇偶性。

答案：1/x f(x)为奇函数。

19.定义在R上的函数f(x)，对任意的实数x,y，恒有
f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0.又f(1)=-2/3.
答案：f(x)=-2/3 ln|x|。

20.当x在实数集R上任取值时，函数f(x)相应的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值。

1) 求f(0)和f(3)。

当x=0时，f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，即f(0)=2.
当x=3时，f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，即f(3)=6.
2) 画出f(x)的图像，写出f(x)的解析式。

由于f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，因此可以将f(x)表示为：
f(x)=max{2x。

2.-2x}
当x≤-1时，f(x)=2；当-11时，f(x)=-2x。

因此，f(x)的图像为：
图像无法插入，请见谅）
3) 证明f(x)是偶函数。

要证明f(x)是偶函数，需要证明f(-x)=f(x)。

当x≤-1时，f(-x)=2=f(x)；当-11时，f(-x)=-2(-x)=2x=f(x)。

因此，f(x)是偶函数。

20.给定函数f(x)，当x在实数集R上任取值时，f(x)的值
等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值。

1) 求f(0)和f(3)的值。

当x=0时，f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，即f(0)=2.
当x=3时，f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，即f(3)=6.
2) 画出f(x)的图像，并写出它的解析式。

由于f(x)的值等于2x、2、-2x三个之中最大的那个值，
因此可以用以下公式表示：
f(x)=max{2x。

2.-2x}
当x≤-1时，f(x)=2；当-11时，f(x)=-2x。

因此，f(x)的图像如下：
图像无法插入，请见谅）
3) 证明f(x)是偶函数。

要证明f(x)是偶函数，需要证明f(-x)=f(x)。

当x≤-1时，f(-x)=2=f(x)；当-11时，f(-x)=-2(-x)=2x=f(x)。

因此，f(x)是偶函数。