高考数学总复习136 数系的扩充与复数的引入 exe精品PPT课件
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高三数学总复习优秀ppt课件(第42讲)数系的扩充与复数的引入(55页)
4, 0 为实数，2 3i,
所给复数 实部
4 2-3i 0 4 2 0
1 2
虚部
0
－3
0
4 3
1 4 - + i, 2 3
2i + 5, 6i 为
1 4 + i 2 3
虚数， 6i 为纯虚数.
2i + 5
6i
5
0 6
2
回顾反思
如 果 z 写 成 a + bi 的 形 式 ， 那 么 一 定 要 加 注
复数及复数集： 形如 a + bi(a,b ∈ R)的数叫做复数， 常用字母 z 表 示，即 z = a + bi(a,b ∈ R) ，其中 a,b 分别叫做复数 z 的 实部与虚部.全体复数的集合叫做复数集，记作 C.
问题研究
问题1 复数的分类的应用；
问题2 复数的四则运算法则的应用.
基础知识
⑴ i4 n = 1, i4 n+1 = i ,i4 n+ 2 = 1,i4 n+ 3 = i ，
i n +i n+1 +i n+ 2 +i n+ 3 = 0 ；
⑵ (1 i) 2i ；
2
1i 1i i， i ⑶ 1i 1+i
1 3 ⑷设 i， 2 2 则 ω3 1， ω2 ω ，1 + ω + ω2 0
求解过程
解法 2 先求出 m 的取值范围 ( , 3) ( 3,+) ， 然后在这个范围内解决三个小问题，此处略.
回顾反思
此题属基础题， 用到了复数的分类知识. 在对复 数进行分类时要注意， 使实部和虚部均有意义. 如当
所给复数 实部
4 2-3i 0 4 2 0
1 2
虚部
0
－3
0
4 3
1 4 - + i, 2 3
2i + 5, 6i 为
1 4 + i 2 3
虚数， 6i 为纯虚数.
2i + 5
6i
5
0 6
2
回顾反思
如 果 z 写 成 a + bi 的 形 式 ， 那 么 一 定 要 加 注
复数及复数集： 形如 a + bi(a,b ∈ R)的数叫做复数， 常用字母 z 表 示，即 z = a + bi(a,b ∈ R) ，其中 a,b 分别叫做复数 z 的 实部与虚部.全体复数的集合叫做复数集，记作 C.
问题研究
问题1 复数的分类的应用；
问题2 复数的四则运算法则的应用.
基础知识
⑴ i4 n = 1, i4 n+1 = i ,i4 n+ 2 = 1,i4 n+ 3 = i ，
i n +i n+1 +i n+ 2 +i n+ 3 = 0 ；
⑵ (1 i) 2i ；
2
1i 1i i， i ⑶ 1i 1+i
1 3 ⑷设 i， 2 2 则 ω3 1， ω2 ω ，1 + ω + ω2 0
求解过程
解法 2 先求出 m 的取值范围 ( , 3) ( 3,+) ， 然后在这个范围内解决三个小问题，此处略.
回顾反思
此题属基础题， 用到了复数的分类知识. 在对复 数进行分类时要注意， 使实部和虚部均有意义. 如当
2020高考数学总复习 13.6 数系的扩充与复数的引入课件
§13.6 数系的扩充与复数的引入
基础知识 自主学习
要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分 别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0，则a+bi为实数, 若 b≠0，则a+bi为虚数,若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- z =2i， z =iz，则z= -1+i . 解析 z=iz,代入z-z =2i，得z-iz=2i,
z 2i 1 i. 1i
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念及复数的几何意义
【例1】 已知复数 z a2 7a 6 (a2 5a 6)i(a R). a2 1
(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模
1且a 6
6 .
∴不存在实数a使z为纯虚数.
探究提(高1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则 z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
基础知识 自主学习
要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分 别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0，则a+bi为实数, 若 b≠0，则a+bi为虚数,若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- z =2i， z =iz，则z= -1+i . 解析 z=iz,代入z-z =2i，得z-iz=2i,
z 2i 1 i. 1i
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念及复数的几何意义
【例1】 已知复数 z a2 7a 6 (a2 5a 6)i(a R). a2 1
(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模
1且a 6
6 .
∴不存在实数a使z为纯虚数.
探究提(高1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则 z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
高考数学复习课件：数系的扩充与复数的引入
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.复数的有关概念
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.复数通常用
字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫
做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
(2)全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
(3)复数相等
a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等当且仅当a=c且b=d .即两个复数相等的充要
条件是它们的实部和虚部分别相等.
特别地,a,b∈R,a+bi=0⇒ a=0,b=0 .
(4)复数的模
向量的模叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.即
|z|=|a+bi|= 2 + 2 .
②复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2=z2z1
(z1z2)z3=z1(z2z3)
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)复数除法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),
1 +i + -
特别地:若 z≠0,且 z+=0,则 z 是纯虚数.
2.z=|z|2=||2∈R,z 与互为实数化因式.
1
1
3.1 ± 2 = 1 ± 2 , 1 ·2 = 1 ·2 , = (z2≠0).
2
2
2.复数的分类
高中数学数系的扩充与,复数的概念(公开课)(共12张ppt)
数系的扩充与 复数的概念
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
高中数学《数系的扩充与复数的引入》知识点讲解附真题PPT课件
如何学好高中数学
1、培养良好的学习兴趣。 兴趣是最好的老师。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识” 过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢? (1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。 (2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停 顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神， 把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。 (3)思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。 (4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的? (5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概 念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理 解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。
共轭 a+bi与c+di共轭⇔⑤ a=c且b=-d (a,b,c,d∈R) 复数
复平面
复数 的模
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面,⑥ x轴 叫实轴,y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原 点外,虚轴上的点都表示纯虚数, 各象限内的点都表示虚数
设 OZ对应的复数为z=a+bi,则向量 OZ 的长度叫 做复数z=a+bi的模,其中a,b∈R
-
1 5
2
7 5
2
=
2 .故选A.
(2)由1 2z =i,得1+2z=i-iz,∴z= -1 i = (-1 i)(2-i) =-1 + 3 i.故选C.
1-z
第四节 数系的扩充与复数的引入 课件(共81张PPT)
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由|z－i|≤ 2，得|x＋(y－1)i|≤ 2， 所以 x2＋y－12≤ 2， 所以x2＋(y－1)2≤2， 所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心， 以 2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.
5．[多选][2021福建泉州适应性测试]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x ∈R，e为自然对数的底数)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域 扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天 桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是( AB )
[解析] 由条件，得O→C＝(3，－4)， O→A＝(－1,2)，O→B＝(1，－1)， 根据O→C＝λO→A＋μO→B，得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) (1)复数z、复平面上的点Z及向量O→Z间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
③当mm22－－53mm＋≠60＝，0， 即m＝2时，所给复数是纯虚数．
(2)①当
m2－8m＋15>0， m2－5m－14<0，
限．
即－2<m<3或5<m<7时，复数z对应的点位于第四象
5．[多选][2021福建泉州适应性测试]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x ∈R，e为自然对数的底数)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域 扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天 桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是( AB )
[解析] 由条件，得O→C＝(3，－4)， O→A＝(－1,2)，O→B＝(1，－1)， 根据O→C＝λO→A＋μO→B，得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4， 解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) (1)复数z、复平面上的点Z及向量O→Z间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
③当mm22－－53mm＋≠60＝，0， 即m＝2时，所给复数是纯虚数．
(2)①当
m2－8m＋15>0， m2－5m－14<0，
限．
即－2<m<3或5<m<7时，复数z对应的点位于第四象
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解得m=0或m=2.
∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.
（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,
m(m2) 则有 m1
0.
m2 2m30
解得m<-3或1<m<2，故当m<-3或1<m<2时，z对应 的点位于复平面的第二象限.
（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,
则m 有 (m2)(m22m3)30, m1
|a+bi ，即|z|=|a+bi|= a2 b2 . |
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi一一对应 复平面内的点Z(a,b)
(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi一一对应 平面向量OZ(a,b∈R).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵z=i(1+2i）=-2+i,∴复数z在复平面内
对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.
2.下列命题正确的是( A ) ①(-i)2=-1;②i3=-i;③若a>b,则a+i>b+i;
④若z∈C，则z2>0.
A.①②
B.①③ C.②③ D.①②④
解析 虚数不能比较大小，故③错误；
(3)共轭复数:a+bi与c+di a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模
向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z| 或
aa22 a257aa16600,aa 61且a6. ∴不存在实数a使z为纯虚数.
探究提(高1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则 z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
若z=i,则z2=-1<0,故④错误.
3.（2008·浙江理，1）已知a是实数，a i 是纯虚
数，则a等于( A )
1 i
A.1
B.-1
C. 2
D.- 2
解析 ai(ai)1 (i)a 1(a 1 )i 1i (1i)1 (i) 2
a1a1i, 22
因为该复数为纯虚数，所以a=1.
4.（2009·山东理，2）复数 3 i 等于( C )
(acb)d(bcad )i
=
c2d2
.(c+di≠0)
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3∈C,有z1+z2=z2+z1 ,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) .
基础自测
1.(2009·北京理，1)在复平面内,复数z=i(1+2i)
对应的点位于( B ) A.第一象限
复数
基础知识 自主学习
要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分 和 实.部若 虚，部则a+bbi=为0实数, 若 b≠0，则a+bi为虚数,若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+dia=c且b=d
(a,b,c,d∈R).
列方程组
分别解方程组
检验结果是否符合条件
解 依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i
①
或8=(a2-1)+(b+2)i
②
或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i
③
由①得a=-3,b=±2,
∴a=-3，b=2. 由②得a=±3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.
z 2i 1i. 1i
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念及复数的几何意义
【例1】 已知复数 z a 2 7 a 6 (a 2 5 a 6 )ia ( R ). a 2 1
试求实数a分别取什么值时，z分别为：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思维启迪 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的 概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.
A.1+2i
B.11-2ii
C.2+i
D.2-i
解析 3i(3i)1 (i)32ii2 1i (1i)1 (i) 1i2
42i 2i. 2
பைடு நூலகம்
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- z =2i， z =iz，则z= -1+i . 解析 z =iz,代入z-z =2i，得z-iz=2i,
即 m(m22m4)0,解m 得 0或 m1 5, m1
∴当m=0或m=-1± 5 时，z对应的点在直线
x+y+3=0上.
题型二 复数相等
【例2】 已知集合M={(a+3)+(b2-1)i，8}，集合 N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足M∩N M，
M∩N
思≠维启，迪求整判数断a、两b集. 合元素的关系
知能迁移1 已知m∈R，复数 zm(m2)(m22m m1
-3)i,当m为何值时,(1)z∈R；(2)z是纯虚数； (3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的
点在直线x+y+3=0上. 解 (1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0 解得m=-3,故当m=-3时，z∈R.
（2）当z为纯虚数时,则有m(mm12) 0, m2 2m 3 0.
a25a60 解 (1)当z为实数 ,则时 有 a2a27a16有意, 义 a a 1 1或 a6, a6,即 a6时 ,z为实 . 数
（2）当z为虚数时，
a2 5a60
则有a2
7a6有意义 , a2 1
∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时， z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)(=a+c)+(b+d)i ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)(=a-c)+(b-d)i ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)(=acbd)+(ad+
bc)i
④除法: z z1 2c a d bii((c a d bii))c c(( d dii))
∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.
（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,
m(m2) 则有 m1
0.
m2 2m30
解得m<-3或1<m<2，故当m<-3或1<m<2时，z对应 的点位于复平面的第二象限.
（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,
则m 有 (m2)(m22m3)30, m1
|a+bi ，即|z|=|a+bi|= a2 b2 . |
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi一一对应 复平面内的点Z(a,b)
(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi一一对应 平面向量OZ(a,b∈R).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R),则
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵z=i(1+2i）=-2+i,∴复数z在复平面内
对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.
2.下列命题正确的是( A ) ①(-i)2=-1;②i3=-i;③若a>b,则a+i>b+i;
④若z∈C，则z2>0.
A.①②
B.①③ C.②③ D.①②④
解析 虚数不能比较大小，故③错误；
(3)共轭复数:a+bi与c+di a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模
向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z| 或
aa22 a257aa16600,aa 61且a6. ∴不存在实数a使z为纯虚数.
探究提(高1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则 z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
若z=i,则z2=-1<0,故④错误.
3.（2008·浙江理，1）已知a是实数，a i 是纯虚
数，则a等于( A )
1 i
A.1
B.-1
C. 2
D.- 2
解析 ai(ai)1 (i)a 1(a 1 )i 1i (1i)1 (i) 2
a1a1i, 22
因为该复数为纯虚数，所以a=1.
4.（2009·山东理，2）复数 3 i 等于( C )
(acb)d(bcad )i
=
c2d2
.(c+di≠0)
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、 z3∈C,有z1+z2=z2+z1 ,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) .
基础自测
1.(2009·北京理，1)在复平面内,复数z=i(1+2i)
对应的点位于( B ) A.第一象限
复数
基础知识 自主学习
要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分 和 实.部若 虚，部则a+bbi=为0实数, 若 b≠0，则a+bi为虚数,若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+dia=c且b=d
(a,b,c,d∈R).
列方程组
分别解方程组
检验结果是否符合条件
解 依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i
①
或8=(a2-1)+(b+2)i
②
或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i
③
由①得a=-3,b=±2,
∴a=-3，b=2. 由②得a=±3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.
z 2i 1i. 1i
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念及复数的几何意义
【例1】 已知复数 z a 2 7 a 6 (a 2 5 a 6 )ia ( R ). a 2 1
试求实数a分别取什么值时，z分别为：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思维启迪 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的 概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.
A.1+2i
B.11-2ii
C.2+i
D.2-i
解析 3i(3i)1 (i)32ii2 1i (1i)1 (i) 1i2
42i 2i. 2
பைடு நூலகம்
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- z =2i， z =iz，则z= -1+i . 解析 z =iz,代入z-z =2i，得z-iz=2i,
即 m(m22m4)0,解m 得 0或 m1 5, m1
∴当m=0或m=-1± 5 时，z对应的点在直线
x+y+3=0上.
题型二 复数相等
【例2】 已知集合M={(a+3)+(b2-1)i，8}，集合 N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足M∩N M，
M∩N
思≠维启，迪求整判数断a、两b集. 合元素的关系
知能迁移1 已知m∈R，复数 zm(m2)(m22m m1
-3)i,当m为何值时,(1)z∈R；(2)z是纯虚数； (3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的
点在直线x+y+3=0上. 解 (1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0 解得m=-3,故当m=-3时，z∈R.
（2）当z为纯虚数时,则有m(mm12) 0, m2 2m 3 0.
a25a60 解 (1)当z为实数 ,则时 有 a2a27a16有意, 义 a a 1 1或 a6, a6,即 a6时 ,z为实 . 数
（2）当z为虚数时，
a2 5a60
则有a2
7a6有意义 , a2 1
∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时， z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)(=a+c)+(b+d)i ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)(=a-c)+(b-d)i ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)(=acbd)+(ad+
bc)i
④除法: z z1 2c a d bii((c a d bii))c c(( d dii))