三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩之杨若古兰创作
函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变更
A k
ωϕ，，，来彼此转化．A ω，影响图象的外形，k ϕ，影响图象与x 轴交点的
地位．由A 惹起的变换称振幅变换，由ω惹起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ惹起的变换称相位变换，由k 惹起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也能够将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象
ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()
A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象．
先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象． x
y sin =)
3
sin(π
+
=x y )
3
2sin(π
+=x y )
3
2sin(3π
+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍
例1 将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214
y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4
个单位长度，得
πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到本来的12，得πsin 24
y x ⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭
的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍，得π2sin 24
y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象；④最初把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到本来的2倍，得2sin y x
=的图象；②将所得图象的横坐标缩小到本来的12
，得2sin 2y x =的图象；③
将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28
y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象；④最初把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214
y x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的图象．
说明：不管哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移
π8
个单位长度得到的函数图象的解析式是
πsin 28y x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭而不是
)
3
2sin(3π
+=x y x
y sin =x
y 2sin =)
3
2sin(π
+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位
横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍
πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象的横坐标缩小到本来的
12，得到的函数
图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24
y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象．
分析：应先通过引诱公式化为同名三角函数．
解：ππsin 2cos 2cos 222
y x x x ⎛⎫⎛
⎫==-=- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，
在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222
y x a x a ⎡⎤⎛
⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣
⎦
⎝
⎭
． 根据题意，有ππ2222
4
x a x --=-，得π8
a =-．
所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24
y x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
的图象．。