五年级趣味数学第5讲 整除的基本原理
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能被3整除：477、528、375、855、852、807
能被9整除：477、855
能同时被2和3整除：528、852
二、精讲精练
仿真练习： 1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
(3+A+A+1)÷9 = n（n为自然数） 所以 A = 7
二、精讲精练
仿真练习： 2. 六位数20□□08能被99整除，□□是________。
二、精讲精练
仿真练习： 1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数， 所以306371能被13整除，不能被7整除。
二、精讲精练
仿真练习：
2、试说明形式的6位数
一定能被11整除。
=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
能被2整除：14、60、356、750、434、7864
能被4整除：60、356、7864
能被8整除：7864
二、精讲精练
题型一 尾系：即根据末位判断整除 例1 下面有9个自然数：14、35、60、356、750、434、3475 、7864、36125。在这些自然数中，请问： （2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除 ？
二、精讲精练
题型四 拆分系
例5 五位数
能被36整除，求这样的五位数．
36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除， 能被4整除的数：后两位能被4整除； 能被9整除的数：各位数字的和能被9整除； 由此可知：y可能是2或6， 如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6； 如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2； 所以这个五位数是26892或22896．
(20+□□+08)÷99 = n（n为自然数） 所以 □□ = 71
二、精讲精练
题型二 和系：即根据断开的数段之和判断 例3 判断下列各数能否被27或37整除： （1）2673135 （2）8990615496
135+673+2 = 810 能被27整除 496+615+990＋8 = 2109→111能被37整除
=100100a+10010b+1001c
=1001×（100a+10b+c）
因为11能整除1001，
所以
形式的6位数一定能被11整除．
二、精讲精练
仿真练习： 3、已知九位数2007A12B2既是9的倍数，又是11的倍数； 那么，这个九位数是多少？
2＋7＋A＋1＋2＋B＋2是9的倍数，则 A＋B=4,或A＋B = 13。 (2＋0＋A＋2＋2)，(7＋1＋B)两数差是11的倍数, 则 A－B = 2 或 B－A = 13 可得A=3,B=1,所以这个数是：200731212
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位一段，然后 将每段上的数相加，所得的和能被27（或37）整除，那么 这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被 27（或37）整除。
一、知识简介
3、差系：即根据断开的数段之差判断（+1因数的判定法则 为k位截断奇偶相减） （1）能否被1001整除：三位截断，奇偶相减 （2）判断一个多于4位的整数能否被7，11，13整除：三位 截断，奇偶相减 （3）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶 数位数字之和的差是否为11的倍数，这个差除以11余几就代 表这个数除以11余几。
第五讲 整除的基本原理
五年级趣味数学（下）
一、知识简介
1. 尾系：即根据末位判断整除（因数的判定法则为看末k位） （1）能否被2和5整除是看末一位； （2）能否被4和25整除是看末两位； （3）能否被8和125整除是看末三位。
一、知识简介
2. 和系：即根据断开的数段之和判断（10k-1因数的判定法则 为k位截断相加） （1）能否被9整除是看数字之和是不是9的倍数； （2）能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所 有的数段和能否被99整除； （3）能否被999整除是把多位数从个位开始三位一段，看 所有的数段和能否被999整除； 判断一个数能否被27或37整除的方法：
一、知识简介
4、拆分系： 72=8×9
12=3×4
1001=7×11×13
二、精讲精练
题型一 尾系：即根据末位判断整除 例1 下面有9个自然数：14、35、60、356、750、434、3475 、7864、36125。在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
二、精讲精练
仿真练习： 1、在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437， 11159126，131313555，266117778。
能被27整除：1884924，2560437，131313555，266117778。 能被37整除：1861026， 2175683，11159126，131313555。
二、精讲精练
仿真练习：
1、九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
21=3×7，能被21整除，就要能同时被3和7整除， 能被3整除的数：每位数和能被3整除； 能被7整除的数：（321＋876－5□4）能被7整除； 由此可知：8+7+6+5+4＋3＋2＋1＋□=36＋□能被3整除；
能被5整除：35、60、750、3475、36125
能除：750、36125
二、精讲精练
题型二 和系：即根据断开的数段之和判断 例2 有如下9个三位数：412、477、528、375、855、852、715 、775、807。这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能 同时被2和3整除？
二、精讲精练
题型三 差系：即根据断开的数段之差判断 例4 有如下4个自然数：6391、1045、4914、23205。 这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？
6391：391－6 = 385 能被11，7整除 1045：45－1 = 44 能被11整除 4914：914－4 = 910 能被7，13整除 23205：205－23 = 182 能被7，13整除
能被9整除：477、855
能同时被2和3整除：528、852
二、精讲精练
仿真练习： 1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
(3+A+A+1)÷9 = n（n为自然数） 所以 A = 7
二、精讲精练
仿真练习： 2. 六位数20□□08能被99整除，□□是________。
二、精讲精练
仿真练习： 1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数， 所以306371能被13整除，不能被7整除。
二、精讲精练
仿真练习：
2、试说明形式的6位数
一定能被11整除。
=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
能被2整除：14、60、356、750、434、7864
能被4整除：60、356、7864
能被8整除：7864
二、精讲精练
题型一 尾系：即根据末位判断整除 例1 下面有9个自然数：14、35、60、356、750、434、3475 、7864、36125。在这些自然数中，请问： （2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除 ？
二、精讲精练
题型四 拆分系
例5 五位数
能被36整除，求这样的五位数．
36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除， 能被4整除的数：后两位能被4整除； 能被9整除的数：各位数字的和能被9整除； 由此可知：y可能是2或6， 如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6； 如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2； 所以这个五位数是26892或22896．
(20+□□+08)÷99 = n（n为自然数） 所以 □□ = 71
二、精讲精练
题型二 和系：即根据断开的数段之和判断 例3 判断下列各数能否被27或37整除： （1）2673135 （2）8990615496
135+673+2 = 810 能被27整除 496+615+990＋8 = 2109→111能被37整除
=100100a+10010b+1001c
=1001×（100a+10b+c）
因为11能整除1001，
所以
形式的6位数一定能被11整除．
二、精讲精练
仿真练习： 3、已知九位数2007A12B2既是9的倍数，又是11的倍数； 那么，这个九位数是多少？
2＋7＋A＋1＋2＋B＋2是9的倍数，则 A＋B=4,或A＋B = 13。 (2＋0＋A＋2＋2)，(7＋1＋B)两数差是11的倍数, 则 A－B = 2 或 B－A = 13 可得A=3,B=1,所以这个数是：200731212
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位一段，然后 将每段上的数相加，所得的和能被27（或37）整除，那么 这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被 27（或37）整除。
一、知识简介
3、差系：即根据断开的数段之差判断（+1因数的判定法则 为k位截断奇偶相减） （1）能否被1001整除：三位截断，奇偶相减 （2）判断一个多于4位的整数能否被7，11，13整除：三位 截断，奇偶相减 （3）能否被11整除：规律是从右开始数奇数位数字之和与偶 数位数字之和的差是否为11的倍数，这个差除以11余几就代 表这个数除以11余几。
第五讲 整除的基本原理
五年级趣味数学（下）
一、知识简介
1. 尾系：即根据末位判断整除（因数的判定法则为看末k位） （1）能否被2和5整除是看末一位； （2）能否被4和25整除是看末两位； （3）能否被8和125整除是看末三位。
一、知识简介
2. 和系：即根据断开的数段之和判断（10k-1因数的判定法则 为k位截断相加） （1）能否被9整除是看数字之和是不是9的倍数； （2）能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所 有的数段和能否被99整除； （3）能否被999整除是把多位数从个位开始三位一段，看 所有的数段和能否被999整除； 判断一个数能否被27或37整除的方法：
一、知识简介
4、拆分系： 72=8×9
12=3×4
1001=7×11×13
二、精讲精练
题型一 尾系：即根据末位判断整除 例1 下面有9个自然数：14、35、60、356、750、434、3475 、7864、36125。在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
二、精讲精练
仿真练习： 1、在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437， 11159126，131313555，266117778。
能被27整除：1884924，2560437，131313555，266117778。 能被37整除：1861026， 2175683，11159126，131313555。
二、精讲精练
仿真练习：
1、九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
21=3×7，能被21整除，就要能同时被3和7整除， 能被3整除的数：每位数和能被3整除； 能被7整除的数：（321＋876－5□4）能被7整除； 由此可知：8+7+6+5+4＋3＋2＋1＋□=36＋□能被3整除；
能被5整除：35、60、750、3475、36125
能除：750、36125
二、精讲精练
题型二 和系：即根据断开的数段之和判断 例2 有如下9个三位数：412、477、528、375、855、852、715 、775、807。这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能 同时被2和3整除？
二、精讲精练
题型三 差系：即根据断开的数段之差判断 例4 有如下4个自然数：6391、1045、4914、23205。 这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？
6391：391－6 = 385 能被11，7整除 1045：45－1 = 44 能被11整除 4914：914－4 = 910 能被7，13整除 23205：205－23 = 182 能被7，13整除