新高考 高中数学 选修一 课件+类型题1.2.1空间中的点、直线与空间向量

线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段.并且空
间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线
的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.
思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长
度?
提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段
若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为
u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).
1.如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);
2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·
u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得
简单.
练：
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的
中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为(
)
A.
30
10
B.
30
15
C.
30
30
D.
15
15
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则
B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
欧啦 ·数学
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·选修1
选修一
第一章
空间向量与立体几何
1.2
空间向量在立体集合中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
一、空间中的点与空间向量
一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意
⇀
⇀
一点P的位置,都可以由向量OP唯一确定,此时,OP通常
称为点P的位置向量。
提示:不唯一.
三、空间中两条直线所成的角
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小
为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos
θ=|cos<v1,v2>|;l1⊥l2⇔<v1,v2>= π ⇔v1·v2=0.
2
(1)பைடு நூலகம்统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形
求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.
(2)向量法:在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A,B 和 C,D,则AB与CD可
分别为 a,b 的方向向量,则 cos θ=
|AB ·CD |
|AB ||CD |
造,但计算量一般较大.
练：
已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(
A.a∥c,b∥c
B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥b
D.以上都不对
答案:C
)
类型二、异面直线所成的角
例2、如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面
OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA= 3,求异面直线
A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
解:以 O 为坐标原点,, 的方向为 x 轴,y 轴的正方向.建立如图所
示的空间直角坐标系,
则 O(0,0,0),O1(0,1, 3),A( 3,0,0),A1( 3,1, 3),B(0,2,0),
∴1 =(- 3,1,- 3),1 =( 3,-1,- 3).
.这一方法思路简单,不需构
运用向量法常用两种途径:
①基底法
在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,
这是小技巧.在由公式cos<a,b>=
求向量a,b的夹角时,关键是求
a·b
出a·
b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.
|a||b|
②坐标法
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,
证:EF⊥BC.
证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的
直线为x轴,BC所在直线为y轴,
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直
角坐标系,
易得 B(0,0,0),A 0,-1, 3 ,D( 3,-1,0),C(0,2,0),
| · |
∴|cos<1 , 1 >|=| 1 || 1 |
1
|(- 3,1,- 3)·( 3,-1,- 3)|
=
7× 7
1
1
= 7.
1
∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为7.
方法点评：
求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,
除此之外还要注意其他方法的要领.
∴1 =(-1,-1,-2),
1 =(1,0,-2),
∴cos<1 , 1 >=
答案:A
-1+4
1+1+4× 1+4
=
30
10
.
类型三、证明线线垂直问题
例3、如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且
AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求
对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂
线段的长度.
典型例题
类型一、利用向量法判定直线的位置关系
例1设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件
判断l1,l2的位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的
位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定。
二、空间中的点与空间向量
一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个
非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,
则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平
行,记作v∥l。
思考：空间一条直线的方向向量唯一吗?
小练：
已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则
k=
.
解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2
或k=-1.
答案:-1或-2
四、异面直线与空间向量
异面直线的距离：
一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直
解:①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
1
3
∴a=- b.∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0.
∴a⊥b.∴l1⊥l2.
点评：
解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对
于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.